Prova scritta di Meccanica Razionale - 12.06.2018
Cognome e Nome . . . . N. matricola . . . .
C.d.L.: AMBLT CIVLT Anno di Corso: 2 altro
FILA 1
Esercizio 1. Nel riferimento cartesiano Oxyz si consideri la lamina omogenea di massa m (vedi figura). Sapendo che OA = OE = 2L, ED = DC = OF = OH = L, si chiede di calcolare:
1. le coordinate del baricentro della lamina (punti 2);
2. la matrice d’inerzia I
Odella lamina rispetto al riferimento Oxyz (punti 7);
3. il momento d’inerzia I
rdella lamina rispetto alla retta r passante per i punti F e D (punti 3).
O
x y
D
C
A B E
F
H
r
1
Esercizio 2. In un piano verticale Oxy, si consideri un sistema materiale pesante costituito da due aste omogenee AB, di massa m e lunghezza 3L, e BC, di massa m e lunghezza L, saldate ad angolo retto nell’estremo B comune. L’estremo A `e vincolato a scorrere senza attrito sull’asse Ox ed `e richiamato in O da una molla ideale di costante elastica k. Oltre alle forze peso, nell’estremo C dell’asta BC agisce la forza ~ F
C= 5
2 mg~ı, dove ~ı `e il versore dell’asse Ox.
O x
y
C A
B θ
ξ
Scelti come parametri lagrangiani l’angolo θ che l’asta AB forma con la verticale e l’ascissa ξ del punto A, si chiede:
1. determinare l’espressione della funzione potenziale di tutte le forze attive agenti sul sistema (punti 4);
2. determinare le configurazioni di equilibrio del sistema (punti 3);
3. determinare la reazione vincolare esterna nelle configurazioni di equilibrio (punti 1);
4. scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema (punti 4);
5. scrivere le equazioni differenziali del moto del sistema (punti 4);
6. determinare la reazione vincolare dinamica esterna nell’istante iniziale, sapendo che per t = 0, ξ(0) = 5mg
2k , θ(0) = π
2 e l’atto di moto del sistema `e nullo (punti 4).
Avvertenze:
1. Non `e consentita la consultazione di testi e appunti.
2. Durata della prova: 150 minuti.
3. Ammissione alla prova orale con punteggio 16/30.
2
Soluzioni Esercizio 1
1. coordinate del baricentro: G = (2 3L;2
3L) 2. matrice d’inerzia rispetto ad O:
I11= I22=37 42mL2 I33=37
21mL2 I12= −43
84mL2 3. momento d’inerzia rispetto alla retta r di equazione y = x + L:
Ir=73 84mL2 Esercizio 2
1. potenziale U delle forze attive:
U= 7mgL(cosθ + sinθ) +5
2mgξ −1 2kξ2+ c 2. posizioni di equilibrio:
(ξe, θe) : (5mg 2k ,π
4) , (5mg 2k ,5π
4 ) 3. reazione vincolare esterna all’equilibrio:
Φ~A= 2mg ~j 4. energia cinetica:
T =1
2m[2 ˙ξ2+ L(9cosθ − sinθ) ˙ξ ˙θ +37 3L2θ˙2] 5. equazioni differenziali del moto:
4 ¨ξ+ L(9cosθ − sinθ)¨θ − L(9sinθ + cosθ) ˙θ2− 5g + 2k mξ= 0 74
3L¨θ+ (9cosθ − sinθ)¨ξ − 14g(cosθ − sinθ) = 0 6. reazione vincolare dinamica esterna nell’istante iniziale:
~ΦA(0) = −170 293mg ~j
