Esercizio 1. i) Determinare l’integrale generale dell’equazione y

EDO 13 GENNAIO 2010

Esercizio 1. i) Determinare l’integrale generale dell’equazione y

(t) = 3ty(t) + ty(t)

.

ii) Scrivere le soluzioni (e i loro domini di esistenza, come soluzioni) dei problemi di Cauchy, ed abbozzarne i grafici.

½ y

(t) = 3ty(t) + ty(t)

y(0) = 100

 



 

y

(t) = 3ty(t) + ty(t)

y(1) =

µ 1

4 e

− 1 3

¶

3

Soluzione (traccia). ` E un’equazione di Bernoulli con α = −1/2. Quindi deve essere y > 0. Sostituendo z = y

si ha

z(t) = Ce

− 1 3 .

Ora, essendo z il cubo della radice quadrata di y ed essendo la funzione radice quadrata positiva per definizione, deve essere pure z > 0. Questo porge l’integrale generale

y : R → R, t 7→

µ

Ce

− 1 3

¶

3

con C >

y :

# 2 3

µ log

µ 1 3C

¶¶

2

, +∞

"

, t 7→

µ

Ce

− 1 3

¶

3

con 0 < C ≤

y :

#

−∞, − 2 3

µ log

µ 1 3C

¶¶

2

"

, t 7→

µ

Ce

− 1 3

¶

3

con 0 < C ≤

Esercizio 2. Si consideri il seguente sistema autonomo

½ x

= 2y − 4 y

= 4x

− 8x.

i) Determinare gli eventuali punti di equilibrio.

ii) Provare che

E(x, y) = (y − x

)(y + x

− 4)

1

`e un integrale primo e disegnare un grafico qualitativo delle traiettorie.

iii) Indicare tre traiettorie (di comportamento differente) che siano defi- nite per tutti i tempi.

iv) Esistono traiettorie periodiche?

v) Classificare i punti di equilibrio (sono sufficienti considerazioni ottenute dal grafico).

Soluzione (traccia). Due curve di livello notevoli di E sono le due parabole y = x

e y = −x

+ 4. Queste si intersecano in due punti di equilibrio e delimitano una regione limitata del piano contenente il terzo punto di equilibrio, che `e un estremo locale per E. All’interno di questa regione le traiettorie sono perci`o periodiche e definite per tutti i tempi. Altre traiettorie certamente definite per tutti i tempi (in quanto contenute in curve di livello limitate) sono i tre punti di equilibrio e le due traiettorie date dagli archi di parabole che connettono due punti di equilibrio.

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