Sia W
tun processo di Wiener e {F
t}
t≥0una filtrazione non anticipante. Sia Inoltre X
tun processo a traiettorie C
1, adattato alla filtrazione tale che (t, ω) → X ˙
t(ω) ∈ L
2([0, T ] × Ω).
Esiste l’integrale (alla Stieltjes) rispetto al processo di Wiener (traiettoria per traiettoria) ed ` e
Z
t 0X
rdW
r= X
0W
t+ Z
t0
(W
t− W
r) ˙ X
rdr
Teorema 1. Risulta inoltre che E
Z
t 0X
rdW
r= 0 e
E h Z
t0
X
rdW
r2i
= E Z
t0
X
r2dr.
Si pu` o dimostrare di pi` u; infatti
E
Z
t 0X
rdW
r| F
s= Z
s0
X
rdW
re
E h Z
ts
X
rdW
r2| F
si
= E h Z
t sX
r2dr | F
si .
Dimostrazione. La prima ` e facile. Per la seconda consideriamo
X
0W
t+ Z
t0
(W
t− W
r) ˙ X
rdr
2= X
02W
t2+ 2X
0W
tZ
t 0(W
t− W
r) ˙ X
rdr + Z
t0
Z
t 0(W
t− W
r) ˙ X
r(W
t− W
ρ) ˙ X
ρdr dρ dove il termine medio ` e conveniente riscriverlo
X
0W
tZ
t 0(W
t− W
r) ˙ X
rdr = X
0Z
t0
(W
t− W
r)
2X ˙
rdr + Z
t0
W
r(W
t− W
r) ˙ X
rdr il cui valore di aspettazione risulta
E X
0Z
t0
(t − r) ˙ X
rdr = E − t X
02+ X
0Z
t 0X
rdr
1
Il valore di aspettazione del primo pi` u il secondo termine ` e quindi t E(X
02)+2 E −t X
02+X
0Z
t 0X
rdr = −t E(X
02)+2X
0Z
t 0X
rdr = Z
t0
X
r2dr−
Z
t 0(X
r−X
0)
2dr D’altra parte conviene riscrivere l’ultimo addendo (supponendo r < ρ)
(W
t− W
r) ˙ X
r(W
t− W
ρ) ˙ X
ρ= ˙ X
r(W
t− W
ρ)
2X ˙
ρ+ (W
ρ− W
r) ˙ X
r(W
t− W
ρ) ˙ X
ρda cui il valore di aspettazione risulta
E( X ˙
rX ˙
ρ)(t − ρ) e quindi
E
"
Z
t 0Z
t 0(W
t−W
r) ˙ X
r(W
t−W
ρ) ˙ X
ρdr dρ
#
= 2 E
"
Z
t 0dρ Z
ρ0
(W
t−W
r) ˙ X
r(W
t−W
ρ) ˙ X
ρdr
#
E
"
Z
t 0Z
t 0(W
t− W
r) ˙ X
r(W
t− W
ρ) ˙ X
ρdr dρ
#
= 2 Z
t0
dρ Z
ρ0
E( X ˙
rX ˙
ρ)(t − ρ) dr
= 2E Z
t0
(t−ρ) ˙ X
ρdρ Z
ρ0
X ˙
rdr = 2E Z
t0
(t−ρ) ˙ X
ρ(X
ρ−X
0)dρ = E Z
t0
(t−ρ) d
dρ (X
ρ−X
0)
2dρ
= E h
(t − ρ)(X
ρ− X
0)
2i
t 0−
Z
t 0(−1)(X
ρ− X
0)
2dρ
= E Z
t0
(X
ρ− X
0)
2dρ Sommando otteniamo
E h Z
t0
X
rdW
r2i
= E Z
t0
X
r2dr.
In quanto alla terza propriet` a, dalla Z
ts
X
rdW
r= X
s(W
t− W
s) + Z
ts
(W
t− W
r) ˙ X
rdr
otteniamo
E
Z
t 0X
rdW
r| F
s= E
Z
t sX
rdW
r| F
s+
Z
s 0X
rdW
rE
Z
t sX
rdW
r| F
s= E
X
s(W
t− W
s) + Z
ts
(W
t− W
r) ˙ X
rdr | F
s2
= X
sE(W
t− W
s) + E Z
t s(W
t− W
r) ˙ X
rdr | F
s= 0 + Z
ts
E
E (W
t− W
r) ˙ X
r| F
r| F
sdr
= Z
ts
E
X
rE(W
t− W
r) | F
sdr = 0
Infine per dimostrare l’ultima propriet` a si procede come per dimostrare la seconda
E h Z
t0
X
rdW
r2| F
si
= Z
s0
X
r2dr+2 Z
s0
X
rdr E h Z
t sX
rdW
r| F
si
+E h Z
t sX
rdW
r2| F
si
= Z
s0
X
r2dr + E h Z
ts
X
rdW
r2| F
si
perch´ e il termine medio ` e nullo per la terza formula. Calcoliamo l’ultimo addendo:
X
s(W
t− W
s) + Z
ts
(W
t− W
r) ˙ X
rdr
2= X
s2(W
t− W
s)
2+ 2X
s(W
t− W
s) ·
Z
t s(W
t− W
r) ˙ X
rdr + Z
t s(W
t− W
r) ˙ X
rdr
2Abbiamo tre termini. Per il primo
E(X
s2(W
t− W
s)
2| F
s) = X
s2(t − s) Per il secondo
X
s(W
t−W
s)·
Z
t s(W
t−W
r) ˙ X
rdr = X
sZ
t s(W
t−W
r)
2X ˙
rdr+X
sZ
t s(W
r−W
s)(W
t−W
r) ˙ X
rdr Z
ts
(t − r) ˙ X
rdr = −(t − s)X
s+ Z
ts
X
rdr e quindi sommando i primi due termini abbiamo
E h
X
s2(W
t− W
s)
2+ 2X
s(W
t− W
s) · Z
ts
(W
t− W
r) ˙ X
rdr | F
si
=
= −(t − s)X
s2+ 2X
sZ
t sE(X
r| F
s) dr = Z
ts
E((2X
sX
r− X
s2) | F
s) dr
3
= Z
ts
E(X
r2| F
s) dr − Z
ts
E((X
r− X
s)
2| F
s) dr Infine per l’ultimo termine
Z
t s(W
t− W
r) ˙ X
rdr
2= 2 Z
ts
dρ Z
ρs
(W
t− W
r) ˙ X
r(W
t− W
ρ) ˙ X
ρdr
E( X ˙
rX ˙
ρ| F
s)(t − ρ) E
Z
t s(W
t− W
r) ˙ X
rdr
2| F
s= 2 Z
ts
dρ Z
ρs
E( X ˙
rX ˙
ρ| F
s)(t − ρ) dr
= 2E Z
t sdρ ˙ X
ρ(t − ρ)(X
ρ− X
s) | F
s= E Z
t s(t − ρ) d
dρ (X
ρ− X
s)
2dρ | F
s= E Z
t s(X
ρ− X
s)
2dρ | F
sIl teorema 1 ` e dimostrato.
Inoltre abbiamo
E h Z
t0
X
rdW
r 2− Z
t0
X
r2dr | F
si
=
Z
s 0X
rdW
r 2− Z
s0
X
r2dr Infatti
E h Z
t0
X
rdW
r2− Z
t0
X
r2dr | F
si
= Z
s 0X
rdW
r2− Z
s0
X
r2dr
+E h Z
ts
X
rdW
r 2+ 2 Z
s0
X
rdW
rZ
ts
X
rdW
r− Z
ts
X
r2dr | F
si
= Z
s 0X
rdW
r2− Z
s0
