Prova scritta di Meccanica Razionale - 15.01.2019
Cognome e Nome . . . . N. matricola . . . . C.d.L.: . . . . Anno di Corso: 2 3 altro
FILA 1
Esercizio 1. Nel riferimento cartesiano Oxyz si consideri il sistema materiale costituito da un disco omogeneo di massa m e raggio R, da un’asta non omogenea AB, di massa m e lunghezza R, la cui densit` a di massa ρ varia con la legge ρ(P ) = k|B − P |, (k > 0) e da un’asta omogenea BC di massa m e lunghezza 4R (vedi figura).
Si chiede di determinare:
1. l’ascissa del baricentro del sistema materiale (punti 3);
2. il momento d’inerzia I
Ozdel sistema materiale (punti 9).
O x
y
C
A B
1
Esercizio 2. In un piano verticale Oxy, si consideri un sistema materiale pesante, costituito da un disco omogeneo, di massa m e raggio R, che rotola senza strisciare sull’asse Ox e da un’asta omogenea AB, di massa 2m e lunghezza 2R, avente l’estremo A scorrevole senza attrito sull’asse positivo Oy
+, in modo che l’asta si mantenga sempre parallela all’asse Ox. Oltre alle forze peso, sul sistema agiscono una molla ideale, di costante elastica k = βmg/R, (β > 0), che collega il vertice B dell’asta con il centro C del disco, ed una coppia di momento ~ M = −mgR~ı × ~, agente sul disco, dove ~ı e ~ sono i versori rispettivamente degli assi Ox ed Oy.
O
A B
H C
x
y
Scelti i parametri lagrangiani x = x
C, x ∈ R ed y = y
A, y ∈ R, si chiede:
1. determinare la funzione potenziale di tutte le forze attive agenti sul sistema (punti 5);
2. determinare le configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine del sistema in funzione di β (punti 4);
3. studiare la stabilit`a delle configurazioni di equilibrio ordinarie del sistema (punti 2);
4. scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema (punti 2);
5. scrivere le equazioni differenziali del moto del sistema (punti 4);
6. calcolare la reazione vincolare dinamica in H nell’istante iniziale, sapendo che per t = 0, x(0) = 0, y(0) = R e l’atto di moto `e nullo (punti 3).
Avvertenze:
1. Non `e consentita la consultazione di testi e appunti.
2. Durata della prova: 150 minuti.
3. Ammissione alla prova orale con punteggio 16/30.
2
Soluzioni Esercizio 1
1. ascissa del baricentro: xG=(3√ 3 − 5)
9 R
2. momento d’inerzia: IOz= 37 3 mR2 Esercizio 2
1. potenziale U delle forze attive:
U= 2mgy − mgx −βmg
2R (2R − x)2−βmg
2R (y + R)2+ c 2. posizione di equilibrio ordinaria:
(xe, ye) : ((2β − 1)
β R,(2 − β)
β R)
esiste se 0 < β < 2 ed `e stabile dove esiste 3. posizione di equilibrio di confine:
((2β − 1) β R,0) esiste se β ≥ 2
4. energia cinetica:
T= 3
4m˙x2+ m ˙y2 5. equazioni differenziali del moto:
3 2x¨+βg
Rx+ (1 − 2β)g = 0 2¨y+βg
Ry+ (β − 2)g = 0 6. reazione vincolare dinamica in H nell’istante iniziale:
~ΦH(t = 0) = −2
3(β + 1)mg~i − (2β + 1)mg~j
