Prova scritta di Meccanica Razionale - 19.11.2018
Cognome e Nome . . . . N. matricola . . . . C.d.L.: . . . . Anno di Corso: 2 3 altro
FILA 1
Esercizio 1. Nel riferimento cartesiano Oxyz si consideri il sistema materiale costituito da un disco omogeneo di massa 4
3 m e raggio R, da un’ asta omogenea AB di massa m e lunghezza R e da un’asta non omogenea BC di massa m e lunghezza 4R, la cui densit` a di massa ρ varia con la legge ρ(P ) = k|B − P |, (k > 0) (vedi figura).
Si chiede di determinare:
1. le coordinate del baricentro del sistema materiale (punti 6);
2. il momento di deviazione I
xydel sistema materiale (punti 8).
x y
O
A B
C
1
Esercizio 2. In un piano verticale Oxy, si consideri un sistema materiale pesante, costituito da un disco omogeneo, di massa m e raggio R, che rotola senza strisciare sull’asse Ox e da un’asta omogenea AB, di massa 3m e lunghezza 2R, avente l’estremo A scorrevole senza attrito sull’asse Oy, in modo che l’asta si mantenga sempre parallela all’asse Ox. Oltre alle forze peso, sul sistema agiscono una molla ideale, di costante elastica k = mg/R, che collega il vertice B dell’asta con il centro C del disco, ed una coppia di momento ~ M = mgR~ı × ~ , agente sul disco, dove ~ı e ~ sono i versori rispettivamente degli assi Ox ed Oy.
x
y O
A B
C
H
Scelti i parametri lagrangiani x = x
C, x ∈ R ed y = y
A, y ∈ R, si chiede:
1. determinare la funzione potenziale di tutte le forze attive agenti sul sistema (punti 4);
2. determinare la configurazione di equilibrio del sistema (punti 2);
3. calcolare il complesso delle reazioni vincolari esterne nella configurazione di equilibrio (punti 5);
4. scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema (punti 3);
5. calcolare la reazione vincolare dinamica in H (punti 4).
Avvertenze:
1. Non `e consentita la consultazione di testi e appunti.
2. Durata della prova: 150 minuti.
3. Ammissione alla prova orale con punteggio 16/30.
2
Soluzioni Esercizio 1
1. coordinate del baricentro: G = ((8√ 3 − 11)
20 R ;6 5R) 2. momento di deviazione: Ixy= (7 − 2√
3)
3 mR2
Esercizio 2
1. potenziale U delle forze attive:
U = 3mgy + mgx −mg
2R(2R − x)2−mg
2R(y + R)2+ c 2. posizione di equilibrio:
(xe, ye) : (3R, 2R) 3. complesso reazioni vincolari esterne all’equilibrio:
Φ~A= −mg~i , M = 3mg~~ k
~ΦH= mg~i − 4mg~j 4. energia cinetica:
T =3
4m ˙x2+3 2m ˙y2 5. reazione vincolare dinamica in H:
Φ~H x= m¨x +mg
R (x − 2R)
~ΦH y= −mg
R(y + 2R)
