La lezione di oggi

Un altro modo di risolvere i problemi:

•  Lavoro

•   Energia

•   Potenza

La lezione di oggi

2

!  Lavoro

!  Energia cinetica

!  Forze conservative

!  Energia potenziale

!  Conservazione dell’energia meccanica

Le forze, il lavoro e l’energia

!  Il lavoro è il prodotto di forza per spostamento

Forza e Spostamento sono vettori. Il lavoro è uno scalare.

!  Se forza e spostamento sono paralleli ! lavoro massimo

!  Se forza e spostamento sono ortogonali ! lavoro nullo

!  Applico una forza ad un oggetto per spostarlo:

!  Se esercito una forza maggiore, faccio più lavoro

!  Se lo sposto per un tragitto maggiore, faccio più lavoro

!  L’energia che spendo può venire da molte fonti (chimica, termica, gravitazionale, ...)

dL = !

F · d! s = F ds cos ✓

F

d!s

Lavoro compiuto da una forza costante

Lavoro: L = F⋅d

"  

Si misura in (newton) x (metro) = joule (J)

"  

Dimensionalmente: L = Fd = (ma)(d) = [M][LT

][L] = [M][L

][T

]

L = 0 quando d = 0

In questo esempio: forza e spostamento paralleli

Quanti joule sono...

Attività Lavoro (J)

Utilizzazione annuale

di energia in Italia 10¹⁹

Cibo mangiato in media in un giorno

da una persona

10⁷

Lampadina da 100 W per 1 minuto 6 10³

1 battito del cuore 0.5

Salto di una pulce 10^-7

Rottura di un legame di DNA 10^-20

x y

F θ"

F cosθ

F senθ

Se Forza e Spostamento non sono paralleli

Asse x

d Asse y

d

= 0

d θ cos d

d

= =

cosθ F

F

=

senθ F

F_y =

d Fcosθ

d F

L = ⋅ = ⋅

Lavoro negativo

o

o

θ 90

90 quando

0

Fcosθ > − < <

0 cosθ

Fd

L = >

o

o

o 270

90 θ

quando 0

Fcosθ = =

0 cosθ

Fd

L = =

270

θ 90

quando 0

Fcosθ < < <

0 cosθ

Fd

L = <

A spasso con il cane…

Lavoro nullo e lavoro totale

Nota: se la componente della forza lungo lo spostamento è nulla, il lavoro è nullo

Quindi, se porto una valigia di 30 kg, anche se cammino per 1 km,

il lavoro che faccio è zero !

n 2

1

totale

L L ... L

L = + + +

Se su un corpo agiscono più forze

(F

, F

, ..., F

)

w

y

Esercizio

Un’automobile di massa m = 850 kg scende in folle lungo una strada inclinata di un angolo θ = 20

rispetto all’orizzontale. Se l’aria esercita

una forza costante di 1.5 kN in direzione opposta al moto e l’auto percorre una distanza d = 2.0 km, qual è il lavoro totale fatto sull’auto ?

x

y N

x y

d

x y

f_aria

w sen θ w co

sθ

MJ 2.7

J 10

2.7 ⋅ ⁶ =

=

d = 0

Asse y

L = 0

( ^{- f mg senθ} ) ^d

L =

+ ⋅ =

Asse x

(

)

= (-1.5 10³ N (850 kg) (9.8ms^-2) (sen 20^o) 2.0 10³ m N

w f_aria

d

!  Lavoro

!  Energia cinetica

!  Forze conservative

!  Energia potenziale

!  Conservazione dell’energia meccanica

Energia cinetica

Teorema delle forze vive

mv

2 K = 1

"   E’ uno scalare

"   Si misura in joule

"   E’ sempre ≥ 0

2

iniziale 2

finale

totale

mv

2 - 1 2 mv

K 1

L = Δ =

Teorema delle forze vive

! 

Consideriamo il caso di una forza costante parallela allo spostamento.

! 

Per uno spostamento s, la velocità finale è

! 

da cui si ricava l’accelerazione:

! 

Il lavoro vale:

v _f ² = v _i ² + 2a (x _f x _i ) = v _i ² + 2as

a = v

v

2s

L = 1

2 mv _f ² 1

2 mv _i ²

L = F s = mas = ms v _f ² v _i ²

2s

Calcolo del lavoro per una forza generica

Piano (F – d)

•   Asse x: spostamento (d)

•   Asse y: forza (F)

! Area = F⋅d = L

2 Forze costanti

Forza variabile approssimata con n forze costanti

4 Forze costanti

∫ ^⋅

=

2

1

) (

x

x

dx x F L

Forza elastica F = kx

Il lavoro della forza elastica

y = kx

Area = L = ½ xy = ½ x(kx) = ½ kx

Il lavoro della forza elastica

Un blocco è collegato a una molla

compressa

La molla si espande e spinge il blocco

Forza e velocità (" spostamento) hanno lo stesso verso

Il lavoro fatto dalla forza elastica sul blocco > 0 " K_finale > K_inizale

Un blocco si muove con velocità v e comprime una molla

La molla si comprime e rallenta il blocco

Forza e velocità (" spostamento) hanno verso opposto

Il lavoro fatto dalla forza elastica sul blocco < 0 " K_finale < K_inizale

Potenza

! 

E’ uno scalare

! 

Unità di misura SI: watt (W) = joule/s

! 

Dimensionalmente:

!  newton: [M][L][T^-2]

!  joule: newton x [L] = [M][L²][T^-2]

!  watt: joule x [T^-1] = [M][L²][T^-3]

P = ΔL Δt

P =

! F · ! s

t ⁼

! F · ! v t

t = !

F · ! v

Se forza e velocità sono paralleli: P=Fv (dove F e v sono le componenti

Esercizio

Calcolare il lavoro fatto da una persona di m = 80 kg per salire un piano di scale con dislivello = 3.0 m

Calcolare la potenza sviluppata,

se le scale sono salite in t = 20.0 s

Soluzione

J 2300 )(3.0m)

ms kg)(9.8

(80 mgh

Δh w

Δh F

L = ⋅ = ⋅ = =

=

W s 120

20.0 J 2300

t

P = L = =

lavoro fatto da una persona di m = 80 kg

per salire un piano di scale con dislivello = 3.0 m

potenza sviluppata,

se le scale sono salite in t = 20.0 s

!  Lavoro

!  Energia cinetica

!  Forze conservative

!  Energia potenziale

!  Conservazione dell’energia meccanica

Forze conservative e non conservative

La gravità è una forza

conservativa

=

il lavoro fatto dalla persona viene restituito

dalla gravità

L’attrito è una forza non conservativa

=

il lavoro fatto dalla

persona non viene

restituito dall’attrito

Forze conservative e non conservative

Il lavoro compiuto contro una forza conservativa può essere utilizzato

sotto forma di energia cinetica

La forza gravitazionale è conservativa

L

= L

+ L

+ L

+ L

= 0-mgh + 0 + mgh = 0

L=0 L=0

L= - mgh L=mgh

montagne russe

L’attrito è una forza non conservativa

L

= L

+ L

+ L

+ L

= −4 µ

^mgd

Vista dall’alto

L= - µ_kmgd

L= - µ_kmgd

L= - µ_kmgd

L= - µ_kmgd

L

= 

F

⋅ d  s

B

∫ ^{= − µ}

^mgd

Il lavoro dipende dal percorso scelto. Se si

andasse da A a B procedendo a zig-zag il lavoro sarebbe maggiore perché si farebbe più strada

Una forza conservativa

applicata lungo un percorso chiuso compie un lavoro totale nullo

L₁

L₂

L₃

0 L

L

+

= 0 L

L

+

=

L = L

Il lavoro fatto da una forza conservativa è indipendente dal percorso

F ⋅ d  

∫ s ^{= 0}

!  Lavoro

!  Energia cinetica

!  Forze conservative

!  Energia potenziale

!  Conservazione dell’energia meccanica

L’energia potenziale

E’ l’energia che viene immagazzinata da un corpo quando su di esso viene fatto del lavoro meccanico contro una forza conservativa

Quando una forza conservativa compie lavoro su un corpo, la sua (del corpo) energia potenziale varia della quantità -ΔU

L = - ΔU = - U (

-U

)

Nota: il segno negativo indica che

il lavoro compiuto dalla forza conservativa si traduce in una diminuzione

Energia potenziale gravitazionale

Per andare da 0 a y ho dovuto compiere un lavoro L contro la

forza di gravità

L = - ΔU = - U (

-U

) ^{= −(U}

^{− mgy)}

La persona si tuffa e la gravità compie su di lei un lavoro

L

= wd = mgy

Energia potenziale gravitazionale

U

ha un valore arbitrario

! pongo U

= 0

L = mgy

Energia potenziale elastica

L = U

-U

= 1

2 kx

L’energia potenziale elastica è sempre > 0

!  Lavoro

!  Energia cinetica

!  Forze conservative

!  Energia potenziale

!  Conservazione dell’energia meccanica

Conservazione dell’energia meccanica

U -

K

L

= Δ = Δ

finale iniziale

iniziale

finale

K U U

K − = −

iniziale iniziale

finale

finale

U K U

K + = +

Definisco l’energia

meccanica E = U + K

iniziale

finale

E

E =

In un sistema in cui operano solo forze conservative, l’energia meccanica si conserva

Nota: questa è una delle leggi di conservazione

fondamentali !

Conservazione dell’energia meccanica nel campo gravitazionale

iniziale iniziale

finale

finale

U K U

K + = +

mgh 2 mv

1

=

v = 2gh

origine

Conservazione dell’energia meccanica nel campo gravitazionale

iniziale iniziale

finale

finale

U K U

K + = +

0 mgh

2 mv 1

=

−

v = 2gh

origine

Linee equipotenziali (o curve di livello)

Sono il luogo dei

punti che hanno

uguale potenziale

La molla orizzontale

x=A K=1/2 mv²=0

U_el=1/2kx²=1/k2A² x=0 K=1/2 mv²

U_el=1/2kx²=0 x=-A K=1/2 mv²=0

U_el=1/2kx²=1/2kA² x=0 K=1/2 mv²

U_el=1/2kx²=0

… grav

grav

U

U = + +

+

+

=0 el x 0 x A el x A

x

U K U

K

1

2 mv

+ 0 + cost = 0 + 1

2 kx

+ cost ⇒ 1

2 mv

= 1

2 kx

prima dopo

x

Molla verticale

Un blocco di massa m = 1.70 kg è appoggiato su una molla di costante elastica k = 955 N/m. Inizialmente la molla è compressa di 4.60 cm e il blocco è fermo.

Quando il blocco viene rilasciato, accelera verso l’alto.

Calcolare il modulo della velocità quando la molla passa per la posizione di riposo della molla (scarica ! elongazione nulla) .

iniziale iniziale

finale

finale

U K U

K + = +

mgx) 2 kx

( 1 0

) 0 0

( 2 mv

1

− +

= +

+

=

= - 2gx

m v kx

2

= (955 Nm^-1)(4.60 ⋅10^-2 m)²

-2(9.8 ms^-2)(4.60 ⋅10^-2 m) = 0.535 ms⁻¹

x

O

Pendolo semplice

L cosθ₀

T B mg

A

! 

Un pendolo è costituito da una sfera di massa m appesa a una corda di massa trascurabile di lunghezza L. La sfera è lasciata cadere dal

punto A a partire dalla quiete. Si calcoli la

velocità in B,

trascurando gli attriti

Pendolo semplice

L cosθ₀

T B mg

A

K

+ U

= K

+ U

0 + mgL (1 cos ✓ ₀ ) = 1

2 mv _B ² + 0

v

= p

2gL (1 cos ✓

)

Pendolo semplice

Lavoro ed energia permettono la semplice risoluzione di molti problemi

La conservazione dell’energia meccanica è una legge fondamentale della fisica

Prossima lezione:

Gli urti e quantità di moto

Riassumendo

L₁

L₂

L₃