ESERCIZI DI MATEMATICA 1. E’ data la similitudine di equazioni:

ESERCIZI DI MATEMATICA 1. E’ data la similitudine di equazioni:

( x

= 3x + 4y + 2 y

= −4x + 3y + 1 (a) trova le coordinate del punto fisso F di questa trasformazione;

(b) trova il fattore di scala della similitudine;

(c) scrivi le equazioni di un’omotetia che abbia F come punto fisso;

(d) esprimi la similitudine come composizione di questa omotetia e di una isometria. Di quale isometria si deve trattare?

2. E’ data una trasformazione di equazioni:

( x

=

√ 2 2

x+

√ 2 2

y + 3 y

=

√ 2 2

x −

√ 2 2

y + 1 (a) verifica che si tratta di un’isometria;

(b) verifica che non ha punti fissi e che quindi si tratta di una glissosimetria;

(c) stabilisci due punti A e B nel piano e cerca i trasformati A

e B

: trova i punti medi dei segmenti AA

e BB

e la retta r che passa per i punti medi;

(d) esprimi le equazioni della simmetria assiale di asse r e trasforma i punti A e B mediante tale simmetria;

(e) cerca il vettore di traslazione da comporre con l’isometria per ottenere la glissosimmetria.

3. (facoltativo, per chi è interessato alla questione dei gruppi) Sia G l’insieme delle potenze di base due ad esponente intero:

G = 2

, k ∈ Z . Sugli elementi di G è definita l’ordinaria operazione di moltiplicazione.

(a) si tratta di un’operazione interna a G?

(b) vale la proprietà associativa? esiste un elemento neutro? esiste un inverso rispetto a questa operazione?

(c) posso dire che (G, ·) è un gruppo?

(d) vale la proprietà commutativa? (nel caso che valga e che (G, ·) sia un gruppo, diremo che è un gruppo commutativo o

abeliano.