1. Sfera di centro C(a

R

Riiccoonnoosscciimmeentntooeededetteerrmmiinnaazziioonnee s

sffeerree ee

cciirrccoonnffeerreennzzeenenelllloossppaazziioo

P

Poossiizziioonniipipiaannoo--sfsfeerraa P

Piiaannoottaannggeenntteeadadununaasfsfeerraaiinnununptptoo

RoRottaazziioonnee didipupunnttii aattttorornnooaarerettttee

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.11 14 maggio 2008

ESERCIZIO 1.(CONTINUAZIONE DALL’ESERCITAZIONE PRECEDENTE)

Riconoscimento di circonferenze nello spazio

Sia data C ^:

_¯^®­₃^x_x^{2 +}₋^y_4y^{2 +}₊^z₁₅^{2 −}₌²₀^{x −4y −4=0 :}_:^S_π

^.

a) provare che C è una circonferenza b) trovare centro e raggio di C .

1. Sfera di centro C(a

1

, a

2

, a

3

) e raggio R ≥0 è per def. l’in- sieme delle soluzioni dell’equazione

(x- a

1

)

²

+(y- a

2

)

²

+(z- a

3

)

²

= R

²

S: x

²

+ y

²

+ z

²

-2x-4y-4=0 . Completiamo i quadrati : (x

²

-2x+1

²

-1

²

)+(y

²

-4y +2

²

-2

²

)+ z

²

-4 =0

Ÿ S: (x-1)

²

-1 + (y-2)

²

-4 + z

²

-4 =0 S: (x-1)

²

+ (y-2)

²

+ z

²

=9

S è la sfera di centro C(1,2,0) e raggio R=3

Per provare che C ^{è una}

circonferenza occorre verificare che:

1. S è una sfera, π è un piano 2. d(C, π) <R

(x-1)

²

(y-2)

²

2. Occorre ora verificare che sia d(C, π)<3 , ossia la distanza del centro C(1,2,0) dal piano π: 3x-4y+15=0 sia minore del raggio della sfera, in tal caso π∩S = C ^con C ^circon-

ferenza.

d(C, π ) =d(C,Q)

con Q P.O. di s su π: Q= π ∩ s s: retta per C di vettore dir.

N

_π

=(3,-4,0)

s:

°¯

°®

­

+

=

− +

= +

=

t z

t y

t x

) 0 ( 0

) 4 ( 2

) 3 ( 1

Ÿ Q:

°°

¯

°°

®

­

= +

−

=

−

= +

=

0 15 4 3

0 4 2

3 1

y x z

t y

t x

Ÿ

°°

¯

°°

®

­

= + +

− +

=

−

= +

=

0 15 16 8 9 3

0 4 2

3 1

t t

z t y

t x

Ÿ

°°

°

¯

°°

°

®

­

=

= Ÿ +

=

−

= +

=

5 -2 t 0 10 25

0 4 2

3 1

t z

t y

t x

Ÿ Q:

°°

°

¯

°°

°

®

­

=

= +

=

=

−

=

0 5 18 5 2 8

5 -1 5 1 6

z y x

π

C

Q

s

C

N

_π

d(C,Q) =

0

5 2 18 5 1 1

2 2

¸ +

¹

¨ ·

©§ −

¸ +

¹

¨ ·

©§ +

= 2 < 3 OK !

N.B. Qui Q=C1 centro della circonferenza sezione di S con π

b) trovare centro C

1

e raggio r di C .

r

²

+[d(C,C

1

)]

²

=R

²

Ÿ sostituendo si ha: r

²

=9-4 =5

Ÿ r= 5

- C

1

è la P.O. di C su π : già trovato !

C

1

=

^¸

¹

¨ ·

©§ − ,0 5 ,18 5 1

- r è t.c. r

²

+[d(C,C

1

)]

²

=R

²

ESERCIZIO 2.

Piani tangenti/esterni a sfere Sia S la sfera di equazione cartesiana x

²

+y

²

+z

²

+2y=0.

a) Determinare il piano tangente ad S in P(0,-2,0).

b) Verificare che il piano π: x+2y-z+10=0 è esterno ad S e determinare la sfera S

^∗

riflessa di S rispetto a π.

a) Controlliamo che il punto P(0,-2,0) ∈S : sì !

Completiamo i quadrati per determinare centro e raggio di S : x

²

+y

²

+z

²

+2y=0.

x

²

+(y

²

+2y)+z

²

=0 Ÿ x

²

+[(y

²

+2y+1)-1]+z

²

=0

Ÿ S: x

²

+ (y+1)

²

+z

²

=1 S ha centro C(0,-1,0) e raggio R=1

Un piano π è tangente ad una sfera se la distanza del centro della sfera dal piano π è uguale al raggio della sfera. In tal caso la sfera e il piano si intersecano in un solo pto.

Poiché conosciamo il pto di contatto, π è il piano passante per P(0,-2,0) con vettore normale N=C-P = (0,1,0) : π: 0(x-0)+1(y+2)+0(z-0)=0

Ÿ π:y+2=0

b) π: x+2y-z+10=0 è esterno alla sfera ⇔ d(C, π)>R

^S

=1 Occorre trovare la P.O. Q di C su π :

°°

¯

°°

®

­

= +

− +

−

= +

−

= +

=

0 10 2

0 2 1 0

z y x

t z

t y

t x

… Q

^¸

¹

¨ ·

©

§− − 3 ,4 3 , 11 3 4

Ora d(C, π)=d(Q,C) =

^{96 >}₉ ¹

Ÿ π esterno ad S.

Il pto medio M del segmento C

S

C

S*

coincide con …

Risposta : S

^∗

:

₃^{8 19}_{3 3}^{8 1}

2 2

2

=

¸¹

¨ ·

©§ − +

¸¹

¨ ·

©

§ + +

¸¹

¨ ·

©

§x + y z

S* ha stesso raggio di S.

Il centro di S* è

il riflesso del

centro di S.

ESERCIZIO 3.

Determinazione di circonferenze nello spazio Siano dati nello spazio reale R

³

i tre pti P(0,0,1), Q(0,1,1), S(1,1,1).

a) Verificare che per P, Q, S passa una ed una sola circonferenza.

b) Determinare due distinte rappresentazioni cartesiane della circonferenza C passante per P, Q, S.

L’esercizio è l’equivalente dell’esercizio 3. ( Eserc. N.10) nello spazio, anziché nel piano. Vediamo le variazioni che comporta !

a) P(0,0,1), Q(0,1,1), S(1,1,1) sono allineati ? P-Q = (0,-1,0) , S-Q=(1,0,0) : P-Q, S-Q L.I.

Ÿ P,Q,S non allineati Allora per P, Q, S passa una ed una sola circonferenza, giacente nel piano π di P,Q,R.

b) π passante per 3 pti non allineati

^{A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3),} C(c1, c2, c3)

:

(cfr.Esercitazione N.8, pag.6 )

π:

⁰

3 3 2 2 1 1

3 3 2 2 1 1

3 2

1

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

a c a c a c

a b a b a b

a z a y a x

Ÿ

⁰

0 1 0

0 0

1

1 0

0

=

−

−

−

− y z

x

Ÿ π: z=1

In alternativa al determinante si può individuare

π

come il piano per un pto di data giacitura …

Dunque π: z=1.Sorpresa ? !… i tre pti P,Q,S hanno tutti la stes- sa quota z=1, quindi stanno necessariamente nel piano z=1 !

• Ora siamo sul piano π che contiene P, Q, S

Nell’esercizio svolto nel piano R

²

la situazione era quella della figura:

Nel piano l’asse di un segmento è una retta, la retta passante per il pto medio M di PQ e perpendicolare a PQ.

Nello spazio il luogo dei pti equidistanti dagli estremi di un segmen- to è un piano (detto piano-asse): il piano passante per il pto medio del segmento e ad esso perpendicolare.

L’intersezione del piano asse α con π è l’asse del segmento PQ nel pianoπ e così π∩β è l’asse del segmento QS in π.

L’asse di un segmento in R², R³è il luogo dei pti equidistanti dagli estremi del segmento.

Nel piano il centro C, essendo equidistante dai 3 pti P, Q, S, sta su entrambi gli assi ed è quindi l’intersezione dell’asse h del segmento PQ con l’asse k del segmento QS.

Nello spazio il centro C, essendo equidistante dai 3 pti P, Q, S, sta su entrambi i piani assi e quindi sta sulla retta α∩β, ma C sta anche suπ, quindi C=α∩β∩π.

La circonferenza

C

può essere rappresentata in infiniti modi:

intersezione di una sfera che la contiene con il piano π.

Una sfera contenente

C

ha il centro V sulla retta α∩β ( luogo dei pti equidistanti da P, Q, S) che è ⊥ al piano π in C.

• Se V coincide con C allora abbiamo la sfera di cui

C

è la circonfe- renza di raggio massimo, ″equatore″ ( centro e raggio della sfera coincidono con centro e raggio della circonferenza).

• Se V ≠ C abbiamo una sfera di cui

C

^{è un} ″parallelo″ non equa- toriale.

Iniziamo quindi a determinare α eβ.

α : piano per M=

2 Q P+

, ortogonale a P-Q

P(0,0,1), Q(0,1,1), P-Q=(0,-1,0) = N

_α

M= 2 Q P+

= (0, 2 1,1)

Ÿ α : (X-M) ⋅

N

_α

=0

Ÿ (x-0,y- 2

1,z-1)⋅

(0,-1,0)=0

Ÿα : y-₂¹=0

β : piano per N=

2 S Q+

, ortogonale a S-Q

Q(0,1,1),S(1,1,1), S-Q=(1,0,0) = N

_β

N=

2 S Q+

=(2 1,1,1)

Ÿβ : (X-N) ⋅

N

_β

=0

…

Ÿ β : x-₂¹=0

Ora la retta α∩βè:

°°

¯

°°®

­

=

−

=

− 2 0 1 2 0 1

x y

.

Scegliamo un pto di α∩β, ad esempio V ¸

¹

¨ ·

©

§ ,0 2 ,1 2

1 , V∉π e lo conside- riamo centro di una sfera Fcontenente

C .

In tal caso il raggio di F è la distanza di V da uno qualsiasi dei tre pti P, Q, S : VP= ₂^{1 2 1}₂¸²+( )−¹² = ₂³

¹

¨ ·

© +§

¸¹

¨ ·

©

§ .

In definitiva

C

⁼F ∩π :

°¯

°®

­

=

−

= +

¸¹

¨ ·

©

§ − +

¸¹

¨ ·

©

§ − 0 1

2 3 2

1 2

1 2

2 2

z

z y

x .

Invece per rappresentare

C

tramite la sfera di cui

C

è equatore,

determiniamo C : α∩β∩π :

°°

°

¯

°°

°

®

­

=

=

=

1 2 1 2 1

z y x

Ÿ C(

2 1,

2 1,1)

Raggio della circonferenza

C

è la distanza del suo centro C da uno dei tre pti, ad esempio r = d(C,P) =

2 2

2 1 2

1 ¸

¹

¨ ·

© +§

¸¹

¨ ·

©

§ =

2 1

Ora la circonferenza C si può rappresentare, in modo diverso da prima, come intersezione del piano π con la sfera di cui C è l’equatore

C :

^{( )}

°¯

°®

­

=

−

=

− +

¸¹

¨ ·

©

§ − +

¸¹

¨ ·

©

§ − 0 1

2 1 1 2

1 2

1 2

2 2

z

z y

x

.

ESERCIZIO 4.

Rotazione di un pto attorno ad un asse Siano dati la retta r:

¯®

­

=

=

−

− 1

0 3 x

z

y

e il pto P(2,0,1).

Determinare una rappresentazione cartesiana della circonferenza descritta dalla rotazione di P attorno ad r.

r:

¯®­

=

=

−

− 1

0 3 x

z

y

Ÿ D(r) :

¯®

­

=

=

− 0

0 x

z y

Ÿ D(r)=<(0,1,1)>

Ÿ u

r

=(0,1,1).

P (P∉r) descrive una circonferen- zaC , con centro C sull’asse di rotazione, giacente sul piano π passante per P e ⊥ all’asse.

C è la P.O. di P su r , ma per rappresentare C non è indi- spensabile determinarlo ! C : S∩π con S sfera di centro un pto V qualsiasi dell’asse e raggio VP.

Possiamo scegliere N

_π

=u

r

=(0,1,1) e il piano π per P(2,0,1), con vettore normale N

_π

è :

a(x-x

0

)+b(x-x

0

)+c(x-x

0

)=0

Ÿ 0(x-2)+1(y-0)+1(z-1)=0 Ÿ π: y+z-1=0

Scegliamo ora V sulla retta r:

¯®

­

=

=

−

− 1

0 3 x

z

y

, ad.es. V(1,3,0)

^(*)

Ora calcoliamo d(P,V), con P(2,0,1) : d(P,V) =

¹+⁹+¹

=

¹¹

Sfera di centro V e raggio d(P,V) : S: (x-1)

²

+(y-3)

²

+z

²

= 11

Quindi C : S ∩π :

¯®

­

=

− +

= +

− +

−

0 1

11 )

3 ( ) 1

( ^{2 2 2}

z y

z y

x

(*)Si osservi che in questo caso V∉π: y+z-1=0; se si fosse scelto V=(1,2,-1), si poteva notare che essendo il pto

V= r∩ π , V coincide con C= P.O. di P su r, ossia il centro e il raggio della sfera coincidono con il centro e il raggio della circonferenza ( ′equatore′ )

ESERCIZIO 5.

Superfici di rotazione

a) Sia L la linea di rappresentazione parametrica :

°¯

°®

­

−

= +

=

−

= t t z

t y

t x

2 1 2

2

2

al variare di t in R. Determinare una

rappresentazione cartesiana della superficie ottenuta facendo ruotare la linea L attorno alla retta q:

¯®

­

=

= 0

0 z

y

.

b) Sia s la retta :

¯®

­

=

= 0 0 y

x

. Determinare una rappresenta- zione cartesiana della superficie generata dalla rota- zione di s attorno alla retta r:

°¯

°®

­

−

=

−

=

= t 1 z

t y

t x

e stabilire di che superficie si tratta.

a)

…continua alla prossima eserc.

SUPERFICIE DI ROTAZIONE: luogo delle circonfe- renze descritte al variare di P∈L attorno all’asse . Ogni circonferenza

- giace sul piano per P , ⊥ asse - ha il centro

sull’asse ( vedi es. prec.)