Prof. Massimiliano de Magistris

(1)

Elettrotecnica

Introduzione ai circuiti

Prof. Massimiliano de Magistris

massimiliano.demagistris@uniparthenope.it

Mutuo accoppiamento magnetico/Risonanza Università di Napoli PARTHENOPE

Dipartimento di Ingegneria

(2)

In questa lezione tratteremo due distinti argomenti, il mutuo accoppiamento magnetico e la risonanza.

Il mutuo accoppiamento magnetico rappresenta l’unico

esempio di doppio bipolo dinamico introdotto nel corso, di cui, a partire da una breve descrizione fisica, introdurremo

caratteristiche, proprietà e circuiti equivalenti tramite il trasformatore ideale.

Lo studio della risonanza nei circuiti rappresenta anzitutto

un’importante primo esempio di analisi in frequenza. L’analisi del fenomeno in relazione ai parametri permette di

evidenziarne in modo generale i principali aspetti fisici, anche dal punto di vista energetico. Infine l’applicazione al filtraggio dà un’idea dell’importanza anche applicativa di tale tipologia di circuito

Mutuo accoppiamento magnetico/Risonanza

2

(3)

Unità 1: Struttura e caratteristiche del mutuo accoppiamento magnetico, energia immagazzinata e condizioni di fisica

realizzabilità; accoppiamento perfetto e coefficiente

d’accoppiamento; circuiti equivalenti con il trasformatore ideale.

Unità 2: analisi un circuito RLC serie forzato sinusoidalmente, risposta in modulo e fase e frequenza di risonanza; fattore di qualità e diagramma dei fasori alla risonanza; considerazioni energetiche; curve universali di risonanza; analisi in frequenza e frequenze di taglio a metà potenza.

Mutuo accoppiamento magnetico/Risonanza

3

(4)

Mutuo accoppiamento magnetico/Risonanza

4

Unità 1:

Struttura e caratteristiche del mutuo accoppiamento, energia immagazzinata e condizioni di fisica

realizzabilità.

Accoppiamento perfetto e coefficiente d’accoppiamento; circuiti equivalenti con il

trasformatore ideale.

(5)

Un mutuo accoppiamento magnetico è tipicamente realizzato come schematizzato in figura. Due avvolgimenti, primario e secondario, sono realizzati con filo conduttore, smaltato con vernice isolante, su un supporto materiale di elevata

permeabilità magnetica.

Realizzazione classica di mutuo

accoppiamento su supporto magnetico

+

- v₁ i1

+ - v2

i₂

Analogamente a quanto già visto per un induttore, le tensioni ai terminali di ciascun avvolgimento sono legate dalla legge di Faraday alle variazioni di flusso magnetico concatenato:

1 2

1 d ; 2 d

v v

dt dt

F F

= =

Mutuo accoppiamento: struttura e realizzazione

5

(6)

F₁ ed F₂ si immaginano generati dalle sole correnti i₁ e i₂

(assenza di correnti e campi “esterni”); in ipotesi di linearità:

1 2

1 1 12

1 11 12 1 1 12 2

1 21 22 21 1 2 2 1 2

2 21 2

di di

v L M

L i M i dt dt

M i L i di di

v M L

dt dt

ì = +

F = F + F = + üý ® ïïí

F = F + F = + þ ï = +

ïî

È possibile mostrare (vedremo più avanti) che M₁₂=M₂₁=M, per cui le caratteristiche divengono, associate al simbolo circuitale in figura sono le seguenti:

1 2

1 1

1 2

2 2

di di

v L M

dt dt

di di

v M L

dt dt

= +

L1 L2

i1 M i2

v1 v2

+

-

+

-

Simbolo del mutuo accoppiamento

Mutuo accoppiamento: caratteristiche e simbolo

6

(7)

I parametri L₁, L₂, M sono dimensionalmente induttanze

(henry); L₁, L₂, sono le induttanze dei due avvolgimenti, presi separatamente; M è il coefficiente di mutua induzione. Con le convenzioni fatte L₁³0, L₂³0, M invece può avere segno

qualsiasi!

Consideriamo la potenza assorbita:

( )

( ) 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

1 2 1 1 2 2 1 2

1 1

, 2 2

a m

m

di di di di dW

p v i v i L M i M L i

dt dt dt dt dt

W i i L i L i Mi i

æ ö æ ö

= + = çè + ÷ø + çè + ÷ø =

= + +

Il differenziale dW = ×p dt = L i di_{1 1} ₁ + Mi di₁ ₂ + Mi di₂ ₁ + L i di_{2 2} ₂

risulta “esatto” in virtù della condizione M₁₂=M₂₁=M. Dunque la funzione W_m (i₁, i₂), è conservativa, e la variazione di energia tra due punti (i’₁, i’₂), (i’’₁, i’’₂) è indipendente dal percorso.

Mutuo accoppiamento: proprietà/1

7

(8)

Dunque il mutuo accoppiamento è un DB dinamico

conservativo. W_m (i₁, i₂) rappresenta la massima energia erogabile dall’elemento, a partire dalla condizione (i₁, i₂), dunque definisce l’energia immagazzinata. Dunque il

trasformatore è un elemento passivo e conservativo. L’energia immagazzinata è (sempre) una quantità definita positiva:

(

1 2

)

2² 1 ¹²2 ¹ 2

2 2

1 1

, 0

2 2

m

i i

W i i i L M L

i i

æ ö

= ç + + ÷ ³

è ø

È immediato, studiandone il segno, ricavare la condizione sui coefficienti L₁L₂³M². Si definisce coefficiente di accoppiamento k come:

1 2 1 2

0 0 (induttori disaccoppiati)

1; 1 (accoppiamento perfetto)

k M

k M L L

L L

= ® =

= £ ìïí

= ® =

ïî

Mutuo accoppiamento: proprietà/2

8

(9)

Cerchiamo ora di interpretare sul piano fisico la condizione di accoppiamento perfetto ed il coefficiente di accoppiamento k. A tale scopo, denominati N₁ ed N₂ i numeri di spire dei due

avvolgimenti, definiamo i cosiddetti “flussi medi” F_ij di auto e mutua induzione, ed i “flussi dispersi” primario F_1d e

secondario F_2d:

1 1 12 2 21 1 2 2

11 12 21 22

1 1 2 2

1 11 21 2 22 12

, , ,

,

m m m m

d m m d m m

L i M i M i L i

N N N N

f f f f

f f f f f f

= = = =

= - = -

La condizione F_1d=F_2d=0 corrisponde a L₁L₂=M². Dunque in assenza di flussi dispersi l’accoppiamento è perfetto! In

questa condizione una corrente nel primo avvolgimento

produce, mediamente, lo stesso flusso concatenato per spira sia nel primo che nel secondo avvolgimento e, viceversa.

Condizione di accoppiamento perfetto/1

9

(10)

= = =

1 1

2 2

L M N

M L N n

Dalle relazioni precedenti, sempre annullando il flusso disperso, abbiamo

dove definiamo n il rapporto tra il numero di spire dei due avvolgimenti.

Sempre nel caso di accoppiamento perfetto (e solo in esso),

l’energia immagazzinata W_m (i₁, i₂) si può annullare anche se le correnti i₁ e i₂ non sono entrambe nulle. Difatti:

( )

2 2

1 2 1 1 2 2 2 1

1 2

1 2 1 2

1

1 1

, 2 2

, 0

m

M M

W i i L i i L i i

L L

W i i i M i

L

æ ö æ ö

= ç + ÷ = ç + ÷

è ø è ø

= « = -

Condizione di accoppiamento perfetto/2

10

(11)

Vogliamo trovare il legame tra mutuo accoppiamento e

trasformatore ideale. Consideriamo il caso di accoppiamento perfetto, L₁L₂=M²à L₁/M=M/L₂=n. Dalle caratteristiche si ha:

1 1 2 1

1 2

1 1 2

2 1 2

1

1 1 1

v di di v n

L dt n dt v

v di di

L dt n dt M dt n dt

ì = + ìï =

ïï ® ï

í í

ï = + ï = +

ï ï

î î

dunque il mutuo accoppiamento risulta equivalente ad un trasformatore ideale di rapporto n se l’accoppiamento è perfetto e l’induttanza primaria è infinita.

1 1 2

1

1 1

v 0 di di

L i i

L dt n dt n

® ¥ Þ = = + Þ = -

Nel caso limite di induttanza L₁ infinita si ha:

Circuiti equivalenti del mutuo accoppiamento /1

11

(12)

Nel caso più realistico di L₁ limitata, in riferimento al circuito in figura è facile mostrare l’equivalenza. Difatti:

=

= +

1 2

1 1 2

1

v v n

v di di

L dt n dt

Circuito equivalente (caso ad accoppiamento perfetto)

(

¹ ¹^*

)

1 1 2

1 1 1 1

L d i i 1

di di di

v L L L

dt dt dt n dt

- æ ö

= = = ç + ÷

è ø

Dunque:

i

₁

i

₂

v

₁

v

₂

+

-

+

- n:1

L

₁

i

₁

*

Circuiti equivalenti del mutuo accoppiamento /2

12

(13)

Infine, supposti L₁ limitato e l’accoppiamento non perfetto (flusso disperso ¹ 0) ponendo:

i₁ i₂

v₁ v₂

+

-

+

- n:1

L₁* DL₁

Circuito equivalente (caso generale)

2 2

* *

1 1 1 1 1 1

2 2

; M ; M

L L L L L L

L L

= + D = D = -

È abbastanza semplice giustificare l’equivalenza con il circuito in figura, quando le equazioni siano poste nella forma:

* 1 2

1 1

1 2

2 2

di di

di L M

v L dt dt dt

di di

v M L

dt dt

ì æ + ö

ï = D + ç ÷

ï ç ÷

í ç ÷

ï = ç + ÷

ï è ø

î

Circuiti equivalenti del mutuo accoppiamento /3

13

(14)

Unità 2:

Analisi un circuito RLC serie forzato sinusoidalmente, risposta in modulo e fase e frequenza di risonanza;

Fattore di qualità e diagramma dei fasori alla risonanza;

considerazioni energetiche.

Curve universali di risonanza; analisi in frequenza e frequenze di taglio a metà potenza.

Mutuo accoppiamento magnetico/Risonanza

14

(15)

Studiamo ora un circuito RLC serie in regime sinusoidale, ma da un nuovo punto di vista: vogliamo farne l’analisi in funzione della pulsazione del generatore forzante. Ciò ci permette di

studiare il fenomeno della risonanza nei circuiti, introducendo al tempo stesso l’analisi in frequenza. Poniamo:

Circuito RLC serie in regime sinusoidale

e(t)=E

_m

cos w t

+ -

R L

C i(t)

( ) _m cos _m; ( ) _m cos( ) _m ^j

e t = E wt « E = E i t = I wt + j « I = I e ^j tenuto conto che gli elementi sono tutti in serie, si ha:

m 1

eq

E I E

Z R j L

w C

w

= =

æ ö

+ ç - ÷

è ø

!

Circuito risonante RLC serie

15

(16)

Esplicitiamo le espressioni per il modulo e l’argomento del fasore I in funzione di w, con gli andamenti corrispondenti in figura:

( ) ( )

₂

( )

¹

2

; tan 1 1

m m

I I E L R

R L C

C

w w j w w

w w

w

- éæ ö ù

= = + æç - ö÷ = - êëçè - ÷ø úû

è ø

Modulo e argomento di I(w) in un circuito RLC serie

Circuito risonante: analisi con I fasori

16

W

|X(W)|

1

p/2

-p/2

/X(W) 1

1 W

Q Q

(17)

È immediato verificare che I_m(ω) tende a zero per ω→0 e per ω→∞; assume il massimo corrispondenza della pulsazione ω_r, caratteristica del circuito, per la quale:

( ) ( )

1 1 ; ^m ; 0

r r r r

r

L I E

C LC R

w w w j w

= w ® = = =

w_r prende il nome di pulsazione di risonanza del circuito, in

quanto in tali condizioni le oscillazioni “naturali” del circuito non forzato hanno la stessa pulsazione del generatore.

L’andamento della I(ω) disvela l’aspetto più peculiare di tale circuito: difatti solo nell’intorno della pulsazione di risonanza ω_r l’ampiezza della corrente è significativa, mentre tende a ridursi rapidamente quanto più ci si allontana. Questo

comportamento, che dunque discrimina le diverse pulsazioni, è alla base del filtraggio in frequenza.

Circuito risonante: analisi con i fasori/2

17

(18)

Un aspetto molto significativo della risonanza è che le tensioni nel circuito possono eventualmente superare (in ampiezza)

quella del generatore. Consideriamo, ad esempio, la tensione dell’induttore alla risonanza:

( ) ( )

L L

m r

r r r m m

E L

V j L V E Q E

R R

w = w ® w = w =

Il parametro adimensionale Q è detto fattore di qualità o di merito del circuito risonante serie. Esso può, in generale, superare l’unità, in funzione dei parametri del circuito.

Se si considera la tensione del condensatore analogamente:

1 1

( ) ; ( )

C C

r m r r m

r r

V E L V Q E

CR CR R

w w w

w w

= = ® =

Circuito risonante: fattore di qualità

18

(19)

I E

_ _

p/2 V__L

V__C -p/2

Diagramma fasoriale alla risonanza nel caso Q>1

È istruttivo considerare il diagramma fasoriale delle grandezze del circuito alla risonanza. Per quanto sin qui visto si ha:

( )

( ) ;

L

C

r

r r

r

I E

R

V j L E jQ E R

V j E jQ E

RC

w

w w

=

= =

= - = -

Dunque la corrente risulta in fase con la tensione del generatore, la tensione

dell’induttore in anticipo di p/2, quella del condensatore in ritardo di p/2.

Circuito risonante: diagramma fasoriale

19

(20)

Per cogliere appieno il significato fisico della risonanza è molto utile farne un’analisi di tipo energetico. Considerate le potenze complesse relative a tutti gli elementi si ha:

( ) ( )

2 2 2

( ) * ( )

2 2 2 2

( ) ( )

1 1 1 1

ˆ ; ˆ

2 2 2 2

ˆ ; ˆ

2 2 2 2

e m a m

E r R r

a r m m a r m m

L r C r

r r

E E

P E I P R I

R R

LI V CV I

P j j P j j

L C

w w

= × = = × =

= = = - = -

Per la conservazione della potenza complessa, inoltre:

= + + ® = = -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ_Eê ˆ_Râ ˆ_L â ˆ_Câ _Eê _Râ ; _Lâ _Câ

P P P P P P jQ jQ

Dunque alla risonanza si bilanciano la potenza attiva del

generatore e del resistore, e quelle reattive del condensatore e dell’induttore.

Circuito risonante: considerazioni energetiche/1

20

(21)

( )

^m ^cos ^;

( )

^m ^cos ₂ ^m ^sin

L r C r r

r r

E E E

i t t v t t t

R CR CR

w w p w

w w

æ ö

= = çè + ÷ø =

( ) ( ) ( )

² ²

( ) 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 cos 1 sin

2 2 2 2

i m m

L C r r

r

E E

W t Li t Cv t L t C t

R

w

C R

w

= + = +

w

Nel dominio del tempo le espressioni di i_L e v_C sono:

Di conseguenza l’energia immagazzinata ha espressione:

che, tenuto conto della condizione di risonanza, diviene:

( ) ( )

2 2

( ) 2 2

2 2 2 2

1 1

; sin cos cost.

2 2

m m i

r r

r

E E

L C W W t W t t

R C R w w

= w = = + =

t i_L(t)

T=2p /w ^t

WL(i) WC(i) W

T=2p /w v_C(t)

Andamenti di v_C, i_L ed energie immagazzinate alla risonanza

Circuito risonante: considerazioni energetiche/2

21

(22)

I diagrammi dell’ampiezza e della fase della risposta del circuito risonante possono porsi in una generale forma adimensionale. Dividendo per |I_max|, introducendo la

pulsazione normalizzata W=w/w_r e ricordando la definizione di Q si ottiene:

( )

( ) ( )

¹ ¹ ² ¹ ²

r

I X Q

I

w w

æ ö

= W = + çèW - W ÷ø

Curve universali di risonanza al variare del fattore di merito Q

W

|X(W)|

1

p/2

-p/2

/X(W) 1

1 W

Q Q

Per la fase si può ragionare analogamente.

Circuito risonante: curve universali

22

(23)

L’analisi della risonanza mette in evidenza un comportamento selettivo in frequenza. Solo quando la pulsazione w del

generatore è vicina ad w_r la risposta è significativa, altrimenti risulta fortemente attenuata. Se abbiamo in ingresso segnali a pulsazione diversa, la relazione ingresso uscita è rappresentata dalla figura, dove le ampiezze in ingresso e in uscita sono

simboleggiate dalle altezze delle frecce verticali.

Rappresentazione della risposta in ampiezza ad ingressi distribuiti in frequenza per un circuito risonante (filtro passa banda)

w₁ w₂ w₃ w₄ w₅

spettro di ampiezza

del segnale in ingresso risposta in ampiezza spettro di ampiezza del segnale in uscita 1

w₆ w₁ w₂ w₃ w₄ w₅ w₆ w₁ w₂ w₃ w₄ w₅ w₆

Circuito risonante: filtraggio

23

(24)

Consideriamo le pulsazioni w_-< w_r < w₊ per cui l’ampiezza è ridotta a 1/Ö2 del suo valore massimo. Per la potenza si ha:

Frequenze di taglio a metà potenza

( ) ( )

2

2 max max

1 1

2 2 2 ^R2

R

I P

P w_± = R I w_± = R =

e dunque le pulsazioni w₊,w_- sono anche dette di taglio a metà potenza. Per esse è possibile ricavare un’espressione

approssimata (v. testo p.261) in funzione di Q.

L’intervallo ω₊−ω₋= ω_r/Q, per il quale la potenza

trasferita al resistore è superiore alla metà della potenza massima, è anche detto banda passante del circuito risonante.

w w+

w-

max 2

I

I 1 1

r 2Q

w_± = w ^æçè ± ^ö÷ø

Circuito risonante: frequenze di taglio

24