RISONANZA MAGNETICA INTRODUZIONE... 2

RISONANZA MAGNETICA

INTRODUZIONE... 2

PRINCIPI FISICI DI RISONANZA MAGNETICA NUCLEARE ... 4

Comportamento dei nuclei in un Campo Magnetico esterno ... 5

Dalle equazioni di Bloch ai Fenomeni di rilassamento ... 12

HARDWARE MRI ... 16

Magnete principale ... 16

Bobine di gradiente ... 17

RF Coil ... 22

RF Surface Coil ... 22

Saddle shape RF coil ... 26

Bobine ausiliarie ... 27

Bobine di shimming ... 27

Bobine di schermatura (shielding) ... 27

La Radiofrequenza ... 27

Impulso RF ... 28

Modulazione SSB... 31

Separatore ... 33

FORMAZIONE DELLE IMMAGINI MRI ... 35

Gradiente di campo... 35

Selezione della fetta ... 35

Codifica in frequenza ... 36

Codifica in fase ... 37

Equazione delle immagini dall’equazione di Bloch ... 37

Immagini a risonanza magnetica 2-D ... 38

Ricostruzione con retroproiezione ... 39

Ricostruzione con la trasformata di Fourier 2D ... 46

La trasformata di Fourier bidimensionale ... 51

Sequenze di eccitazione ... 52

Sequenza 90-FID ... 53

Sequenza Spin-Echo ... 53

Imaging con sequenze Spin-Echo ... 54

Sequenza Inversion Recovery ... 55

Imaging con sequenze Inversion Recovery ... 56

Imaging con sequenze Gradient Echo ... 57

Immagini pesate T1 e T2 ... 58

K spazio... 62

FOV e risoluzione ... 65

Aliasing ... 66

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INTRODUZIONE

La Risonanza magnetica per Imaging (MRI) è una tecnica di diagnostica per immagini basata sull’utilizzo di campi RF e campi magnetici. L’MRI è basata sui principi della Risonanza Magnetica Nucleare (NMR), una tecnica spettroscopica usata dai ricercatori per ottenere informazioni di tipo microscopico, chimico e fisico, sulle molecole. L’MRI è una tecnica di imaging tomografico, in grado cioè di produrre un’immagine del segnale NMR di una sottile fetta del corpo umano. Ciascuna fetta in cui possiamo pensare suddiviso il distretto anatomico in esame ha un determinato spessore (thickness). Ricordiamo che con il termine “imaging tomografico” si intende una modalità di imaging in grado di produrre l’immagine di una “fetta” del corpo umano.

Una fetta è composta di vari elementi tridimensionali detti voxel. L’ immagine tomografica è composta da molti elementi bidimensionali chiamati pixel; l’ intensità di un pixel è proporzionale all’ intensità del segnale NMR del voxel corrispondente.

Figura 1: immagini rappresentative di voxel e pixel

Le informazioni date dalle immagini di risonanza magnetica sono essenzialmente di natura diversa rispetto a quelle degli altri metodi di imaging, infatti è possibile la discriminazione tra tessuti sulla base della loro composizione biochimica. L’imaging a risonanza magnetica è basato sull’assorbimento e l’emissione di energia nel range delle frequenze radio dello spettro elettromagnetico. Le immagini vengono prodotte sulla base di variazioni spaziali in fase e frequenza dell'energia assorbita ed emessa dall'oggetto esaminato.

Figura 2: Imaging a risonanza magnetica di un cervello sano (a destra) e di un cervello affetto dal morbo di Alzheimer (a sinistra)

L'RM è generalmente considerata non dannosa nei confronti del paziente, e quest'ultimo non è sottoposto a radiazioni ionizzanti come nel caso delle tecniche facenti uso di raggi X o di isotopi radioattivi. Tuttavia gli svantaggi dell'utilizzo di questa tecnica sono principalmente i costi e i tempi necessari all'acquisizione delle immagini.

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PRINCIPI FISICI DI RISONANZA MAGNETICA NUCLEARE

Per comprendere l’MRI dobbiamo comprendere i principi fisici basilari dell’NMR fenomeno per il quale alcuni nuclei esibiscono un certo comportamento in presenza di un campo magnetico. Il corpo umano è principalmente costituito da grasso e acqua. Grasso e acqua contengono atomi di idrogeno in una misura pari al 63% del totale degli atomi di idrogeno del corpo umano. I nuclei di idrogeno possono generare un segnale NMR. Il segnale MRI rappresenta il segnale NMR proveniente dai nuclei di idrogeno opportunamente “sollecitati”. Per l’MRI, quindi, l’idrogeno è l’elemento più significativo per via dell’ elevata concentrazione nel corpo umano delle molecole d’acqua. Ciascun voxel di una immagine del corpo umano contiene uno o più tessuti. Per esempio possiamo avere un voxel costituito da un unico tipo di tessuto. All’ interno di ogni singolo voxel sono presenti le cellule. In ogni cellula ci sono molecole di acqua che come sappiamo sono costituite da un atomo di ossigeno e due di idrogeno. Ogni atomo di idrogeno è costituito da un singolo protone dotato di uno spin (spin nucleare) a cui può essere associato un piccolo campo magnetico (momento magnetico) grazie al quale gli atomi di idrogeno interagiscono a sollecitazioni magnetiche esterne.

Che cosa è lo spin? Lo spin è una proprietà fondamentale della natura come la carica elettrica o la massa. In meccanica quantistica lo spin è il momento angolare intrinseco associato alle particelle (legato alla rotazione di un corpo intorno al suo centro di massa). Lo spin assume valori multipli di 1/2 e puo' essere positivo (+) o negativo (-). I protoni, gli elettroni e i neutroni possiedono uno spin.

In MRI si prende in considerazione l’ interazione del singolo protone dell’atomo di idrogeno con il campo magnetico statico Bo. Due o piu' particelle con spin di segno opposto possono appaiarsi ed annullare gli effetti misurabili dello spin risultante dell’ intero atomo. Sono gli spin nucleari spaiati ad essere importanti nell'NMR. In questo caso il nucleo dell’atomo di idrogeno ha un momento magnetico “somma” diverso da zero e pari proprio a quello del protone, quindi può interagire con un campo magnetico esterno. Ad esempio, consideriamo un nucleo con due protoni come un sistema isolato. Il principio di esclusione di Pauli indica che il momento angolare di ogni protone deve assumere spin opposti. Questa è la configurazione energetica più stabile. In questa configurazione il momento magnetico netto del nucleo è zero. Pertanto tali nuclei non interagiscono con un campo magnetico esterno. Per nuclei che hanno un numero dispari di protoni è impossibile arrangiare gli spin per produrre un momento magnetico netto pari a zero. Nei nuclei con magnetizzazione netta diversa da zero si ha interazione con il campo magnetico esterno e si verifica il fenomeno della risonanza magnetica nucleare.

Nuclei Protoni Spaiati Neutroni Spaiati Spin Risultante γ (MHz/T)

1H 1 0 1/2 42.58

2H 1 1 1 6.54

31P 1 0 1/2 17.25

23Na 1 2 3/2 11.27

14N 1 1 1 3.08

13C 0 1 1/2 10.71

19F 1 0 1/2 40.08

Tabella 1: configurazione degli spin in vari atomi e relativi valori del rapporto giromagnetico

In altre parole per comprendere il significato dello spin si può immaginare il protone come una piccola sfera di carica positiva distribuita che ruota ad alta velocità intorno al suo asse. Poiché il protone ha una massa la rotazione genera un momento angolare. Ma il protone ha anche una carica:

al movimento della carica si associa una corrente. Questa corrente produce un piccolo campo magnetico analogo a quello generato da un piccolo magnete (dipolo magnetico) a cui è possibile associare un momento magnetico (μ). Quindi allo spin può essere associato un momento magnetico (μ) analogo a quello generato da un piccolo magnete (dipolo magnetico). La relazione fra il momento angolare J e il momento magnetico μ di un nucleo è

μ= γ*J (1.1)

Figura 3: piccolo magnete con un polo nord e un polo sud

dove γ è una costante di proporzionalità caratteristica del nucleo conosciuta come rapporto giromagnetico.

Comportamento dei nuclei in un Campo Magnetico esterno

Ora consideriamo gli effetti legati all’applicazione di un campo magnetico esterno B_o (per convenzione nella direzione z) ad un protone isolato. Il protone (si considera solo la sua componente z) può assumere una fra due possibili posizioni di equilibrio rispetto al campo applicato. C’è una configurazione o stato di bassa energia in cui i poli sono allineati al campo magnetico principale e uno stato di alta energia in cui i vettori sono antiparalleli.

z

Bo μ

Figura 4: Configurazioni possibili del momento magnetico del protone sotto l’azione di un campo magnetico esterno

Entrambe gli stati sono considerati stabili, sebbene l’energia associata allo stato parallelo è minore di quella associata allo stato antiparallelo.

Riepilogando quando un certo materiale viene sottoposto all’azione di un campo magnetico esterno, i suoi nuclei originariamente orientati in maniera casuale, subiscono un momento magnetico torcente che tende ad allinearli in due distinte direzioni: parallela ed antiparallela. La percentuale di nuclei orientati in una direzione o nell’altra dipende dall’intensità del campo magnetico e dall’agitazione termica; alla temperatura ambiente questa percentuale è relativamente bassa. Da notare che quando si parla di campo magnetico, si intende una densità di flusso magnetico.

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Figura 5: Livelli energetici di spin in presenza di un campo magnetico esterno.

L’energia potenziale magnetostatica E del singolo dipolo μm dipende dall’angolo che esso possiede rispetto alla direzione del campo magnetico B di modulo B₀

( ) μ cos θ B

E θ = −

⋅

Si osserva che per θ= 0°, posizione parallela, l’energia potenziale E(θ) è minima e vale -μm·B₀, mentre essa risulta massima per θ= 180°, posizione antiparallela, e vale μm·B0. Ne deriva che l’energia ΔE da fornire ad un protone di momento magnetico μm

0 min

max

E 2 B

E

E = − = µ

∆

, per passare dallo stato parallelo a quello antiparallelo, è pari a

(1.3)

Questa relazione è nota come effetto Zeeman, all’equilibrio termico il numero di nuclei nello stato energetico superiore è leggermente inferiore al numero di nuclei nello stato energetico inferiore. Un nucleo dello stato energetico superiore può decadere nello stato inferiore emettendo un fotone di energia pari alla differenza dei due stati, mentre un nucleo dello stato energetico inferiore può saltare allo stato superiore assorbendo un fotone di energia pari alla differenza dei due stati.

In realtà sarebbe più corretto parlare di allineamento della componente z del momento magnetico del protone perché l’ interazione con il campo magnetico determina la rotazione (precessione) del momento magnetico elementare μ intorno alla direzione di Bo con una precisa frequenza angolare f_o, detta frequenza di Larmor o frequenza di risonanza, che dipende dal tipo di nucleo e dall’

intensità del campo magnetico B_o .

fo= γ * Bo

γ è il rapporto giromagnetico ed è caratteristico di ogni nucleo atomico che presenta il fenomeno della risonanza. Per l'idrogeno, γ = 42.58 MHz / T.

(1.4)

Figura 6: Movimento “giroscopico” del momento magnetico del protone rispetto alla direzione del campo magnetico B_o

La differenza di energia fra i due stati è

ΔE=2μmB0. (1.5)

Quindi se un protone “flippa”(cambia da uno stato di energia a un altro) esso emetterà o assorbirà un fotone alla frequenza ν. Questa frequenza può essere ricavata dalla relazione di Bohr

ΔE=hν. (1.6)

Combinando le 1.5 e 1.6 si dimostra che la frequenza è direttamente proporzionale all’ intensità del campo magnetico.

ν= 2μm B0 /h (1.7)

Si considera ora l’effetto del campo magnetico applicato sul movimento del momento magnetico.

(Vedi appendice). Senza perdere di generalità, si può assumere che l’istante iniziale è zero, ed il momento magnetico è

( )

∧

∧

∧ + +

= μ 0

(1.8)

Il momento torcente che agisce sul momento magnetico è B0

×

= μ

τ _(1.9)

D’altronde il momento torcente che agisce su un qualsiasi oggetto è proporzionale al suo momento angolare, in base alla definizione di momento angolare

dt

= dJ τ

(1.10) Ricordando la relazione (1.1) e combinando le (1.9) e (1.10) si ha

(

)

= μ dtμ γ d

(1.11) Tale equazione rappresenta tre equazioni scalari¹

B0

dt γμ dμ

y x =

(1.12)

B0

dt γμ dμ

x y =−

(1.13)

=0 dt dμz

(1.14) Che risolte con la condizione iniziale (1.8) forniscono

( )

(

) (

)

∧

∧

∧ + + − +

= cos sin cos sin

μ (1.15)

Dove ω = γΒ_0.

1 le equazioni scalari si ottengono considerando le tre componenti del prodotto vettoriale µ x Bo.

Ricordando che Bo ha componenti (0,0,Bo) e µ ha componenti (µx, µy, µz)

Questa espressione rappresenta la precessione del momento magnetico intorno all’asse del campo applicato

8

Figura 7: Un protone precede intorno all’asse del campo magnetico applicato.

La frequenza di tale moto di precessione è

2π

2π ⁰

γB f = ω =

(1.16) Che è la frequenza di Larmor, o di risonanza, del nucleo. Da cui si ha che

0

2 B h μ f = γB⁰ = ^z

2π ^(1.17)

Che corrisponde alla stessa frequenza della radiazione scambiata nella transizione tra gli stati parallelo ed antiparallelo.

Nel caso più generale, si considera un campione di un materiale non magnetico, in condizioni di equilibrio termodinamico con l’ambiente esterno. Prima dell’applicazione del campo sono presenti protoni, e quindi spin, orientati casualmente in tutte le direzioni e ciò comporta un momento magnetico risultante nullo

Figura 8: Un campione di un materiale non magnetico, in assenza di campo applicato, non ha un momento magnetico risultante, a causa dell’orientamento casuale dei momenti magnetici individuali dei nuclei.

Poiché si è interessati solo ai nuclei di idrogeno 1H, si trascura l’effetto di altri nuclei sulla magnetizzazione del materiale. Una volta che il campo magnetico è applicato, ogni singolo momento magnetico deve allinearsi nello stesso verso o nel verso opposto del campo esterno.

Nel seguito si indica con α lo stato energetico inferiore, cioè parallelo, e con β lo stato energetico superiore, cioè antiparallelo; inoltre si suppone che Nα rappresenta la probabilità che un certo nucleo si trovi nello statoα, e che Nβ rappresenta la probabilità che si trovi nello stato β. Dato che un certo protone deve assumere necessariamente uno stato si ha

= 1 +

α

N

N

Se il sistema è in condizioni di equilibrio termico, le probabilità sono governate dalla statistica di Boltzmann



 



= 

β α

κ T E N

N

B

exp Δ

(1.21)

Dove κ_Β

κ T E N

N

B

1+ Δ

≈

β α

è la costante di Boltzmann e vale 1.38 × 10-23 J·K, T è la temperatura assoluta del campione e ∆E è la differenza energetica tra i due stati. Per i protoni a 20 °C vale la cosiddetta high temperature approximation

(1.22) Supponendo N_α ≈ Nβ

κ T N E

N

2 B

≈ Δ

− _β

α

≈ 1/2 si ha

(1.23)

L’equazione (1.23) rappresenta una stima della percentuale totale di protoni che sono allineati alla direzione del campo magnetico esterno. Il momento magnetico risultante per unità di volume, o magnetizzazione M, è pari a

( )

κ T z E nμ N

N _z

B

zˆ ˆ

2

≈ Δ

−

= _{α β}

M

(1.24)

Dove n indica il numero di protoni per unità di volume. Si può osservare che la magnetizzazione scompare all’aumentare della temperatura ed inoltre, poiché ∆E è proporzionale a B0, ne consegue che è proporzionale all’intensità del campo applicato.

Figura 9: Moto di precessione delle due sottopopolazioni di nuclei che ruotano intorno all’asse z.

Adesso si considera l’effetto della radiazione a radiofrequenza sulla magnetizzazione complessiva del campione, in presenza di un campo magnetico applicato uniformemente. Per fare ciò, è necessario sviluppare le equazioni che governano il comportamento della magnetizzazione in presenza di campi magnetici.

10 Quando un campione di un materiale viene posto in un campo magnetico uniforme diretto lungo la direzione z, esso sviluppa una magnetizzazione nella stessa direzione. Si suppone che all’istante t = 0 la magnetizzazione è diretta nella direzione, come indicato in figura (10 b)

( )

M (1.25)

L’equazione (1.25) è la condizione iniziale di un problema con le seguenti tre equazioni differenziali²

B0

dt γM dM

y x =

(1.26) B0

dt γM dM

x

y =−

(1.27)

=0 dt dM_z

(1.28) La soluzione a queste equazioni è

( )

0 cos sin _z

x x ωt y ωt zM

M ˆ − ˆ +ˆ

=

M (1.29)

Dove ω = γΒ₀

ω t y ω t x

x ˆcos _r ˆsin _r

ˆ′= −

è la frequenza angolare di precessione ed il vettore magnetizzazione M ruota nel verso orario. L’espressione (1.29) rappresenta la traiettoria del vettore magnetizzazione nel sistema di riferimento di laboratorio, che è un sistema di riferimento fisso. Si vuole trovare un sistema di riferimento in cui il vettore magnetizzazione è stazionario, per fare ciò si sceglie un insieme di vettori di base (x’, y’, z’) con

(1.30)

ω t y ω t x

yˆ′= ˆsin _r + ˆcos _r

(1.31)

z z ˆ

ˆ ′ =

Dove ω_r è la frequenza angolare del riferimento, che si definisce sistema di riferimento rotante. Se si assume ω_r = γΒ₀

0

0 z

x zM

M

x′ + ′

= ˆ ˆ

M

, il vettore magnetizzazione nel sistema di riferimento rotante risulta come (1.33) Tale espressione è costante e ciò mostra che il vettore magnetizzazione è stazionario nel sistema di riferimento rotante.

2 Si noti come la forma delle tre equazioni scalari sia analoga a quella del momento magnetico µ del singolo protone.

Stiamo osservando infatti adesso la magnetizzazione netta nell’intero volume dato dalla somma degli effetti dei momenti magnetici dei vari protoni presenti nel campione di interesse.