DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I (L–Z) CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

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DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I (L–Z)

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA AEROSPAZIALE

DANIELE ANDREUCCI

DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA UNIVERSIT`A LA SAPIENZA

VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY

Le dimostrazioni fanno parte del programma, salvo che quando viene esplicitamente indicato il contrario con il simbolo (s.d.).

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1. Luned`ı 27/9/2010

Presentazione del corso.

Insiemi numerici N, Z, Q.

Qcome campo totalmente ordinato.

Teorema 1.1. Per ogni x ∈ Q, vale x · 0 = 0.

Per casa 1.2. Dimostrare che per ogni x ∈ Q, (−1) · x = −x. Teorema 1.3. (s.d.) Per ogni x, y > 0 razionali, esiste n ∈ N tale che nx ≥ y.

Rappresentazione decimale dei razionali.

Teorema 1.4. Non esiste nessun x ∈ Q tale che x²= 2.

Approssimazione di √

2 per eccesso e per difetto con numeri razionali.

Definizione di maggiorante.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.2.

2. Marted`ı 28/9/2010

Insiemi limitati superiormente e inferiormente.

Definizione di estremo superiore e inferiore, di massimo e di minimo.

Esistenza dell’estremo superiore in R di ogni insieme limitato superiormente.

Teorema 2.1. Se A `e limitato superiormente, inf(−A) = − sup A.

Teorema 2.2. Se A `e limitato superiormente, sup A `e il minimo dell’insieme dei maggioranti di A.

Esempio 2.3. Calcolo di sup e inf di:

A =n1

n| n = 1, 2, 3, . . .o

, A = {x |p

x²+ 10 < x + 1} , A = {xy | (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1)} .

Definizione di intervalli aperti e chiusi, limitati e illimitati.

Per casa 2.4. Calcolo di sup e inf di:

A =n1

n | n = 1, 3, 5, . . .o

∪n 1 − 1

n | n = 2, 4, 6, . . .o .

Per casa 2.5. Dimostrare:

Un insieme finito ha massimo e minimo.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2.1.

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3. Mercoled`ı 29/9/2010

Teorema 3.1. (s.d.) Sia Q che R \ Q sono densi in R.

Teorema 3.2. L’estremo superiore di un insieme `e unico.

Teorema 3.3. Se A `e superiormente limitato, M = sup A se e solo se i) M `e un maggiorante di A;

ii) per ogni ε > 0 esiste x ∈ A tale che x > M − ε.

Definizione di potenza x^q per ogni q ∈ Q.

Esempio 3.4. Sia x ∈ (0, 1), e definiamo A =

k

X

n=0

xⁿ| k = 1, 2, 3, . . . ; allora

sup A = 1 1 − x.

Per casa 3.5. Sia

B =

p

X

i=1

x^mⁱ| p = 1, 2, 3, . . . mi ∈ N , m1< m2< · · · < mp ; si dimostri che

sup B = 1 1 − x.

Teorema 3.6. Se a > 1, allora per k = 1, 2, 3, . . .

a^k≥ a + (k − 1)a(a − 1) . Teorema 3.7. (s.d.) Q `e numerabile, R non lo `e.

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4. Venerd`ı 1/10/2010

Definizione di valore assoluto di un numero reale.

Teorema 4.1. Per x ∈ R, a ≥ 0 vale

|x| ≤ a se e solo se

−a ≤ x ≤ a . Corollario 4.2. Per x, y, z ∈ R valgono

|x + y| ≤ |x| + |y| , e

|x − y| ≤ |x − z| + |z − y| . Esercizio 4.3. Risolvere le disequazioni:

|x − 7| ≤ x , |x − 1| ≥ x²

Teorema 4.4. (Principio di induzione) (s.d.) Se la proposizione Pn `e vera per n = m, e se da Pn segue Pn+1per ogni n ≥ m, allora Pn `e vera per ogni n ≥ m.

Esempio 4.5. Dimostrazione di

m

X

k=1

k = m(m + 1)

2 ,

e di

(a + b)^m=

m

X

k=0

m k

a^kb^m−k.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2, 1.4, 1.5, 1.6, App. 1.B.

5. Luned`ı 4/10/2010

Definizione di funzione; dominio, codominio, immagine, grafico, controimmagine.

Dominio naturale. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Restrizioni di dominio e codominio.

Funzione inversa di biiezione. Grafico ottenuto per simmetria rispetto alla retta y = x.

Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo assoluti. Esempi di esistenza e non esistenza del massimo e minimo.

Funzioni goniometriche: cos, sin, tg. La funzione inversa arctg : R → (−π/2, π/2).

Successioni come funzioni N → R.

Esempi.

Paragrafi di riferimento sul testo: App. 1.A, 2.1, 2.2, 2.3.

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6. Marted`ı 5/10/2010

Le funzioni arcsin e arccos.

Definizione di funzione composta f ◦ g.

La composizione `e associativa ma non commutativa.

Definizione di funzione crescente e strettamente crescente; definizione di funzione decrescente e strettamente decrescente.

Teorema 6.1. Se f `e strettamente crescente, allora `e invertibile.

Teorema 6.2. Se f `e strettamente crescente, anche l’inversa lo `e.

Teorema 6.3. Se f e g sono entrambe crescenti, o decrescenti, f ◦ g `e crescente.

Se una delle due `e crescente e l’altra decrescente, f ◦ g `e decrescente.

Esempio 6.4. La funzione

f (x) = 1

psin²x + 1

`e decrescente su [0, π/2].

Per casa 6.5. Se f `e crescente, e f (c) = f (d), allora f `e costante su [c, d]. Definizione di funzioni pari e dispari.

Esempio 6.6. Caso delle potenze intere: sono pari [dispari] se l’esponente `e pari

[dispari].

Per casa 6.7. Siano f pari, g dispari; oppure f dispari, g pari; oppure f pari, g pari; allora f ◦ g `e pari.

Siano f dispari, g dispari; allora f ◦ g `e dispari. Costruzione, a partire dal grafico di f (x), dei grafici di f (a + x), a + f (x), f (ax), af (x), |f(x)|, f(|x|).

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7. Mercoled`ı 6/10/2010

Definizione di funzioni monotone.

Esempio 7.1. Esempi di successioni monotone e no:

an= 1 + 1

n; bn =

n

X

k=0

1

2^k ; cn= 1 +(−1)^λⁿ

n , se π = 3, λ1λ2λ3. . . .

Differenza intuitiva tra {aⁿ} sopra e

dn=





 1 + 1

n, n dispari;

2 + 1

n, n pari.

Definizione di limite finito di una successione.

Significato grafico della definizione di limite.

Definizione della funzione parte intera.

Esempio 7.2. Calcolo del limite di:

n²+ n + 1

5n²+ 3 , cos n + 3 2n + sin n²

Teorema 7.3. Se {an} `e crescente e limitata, allora

n→∞lim an= sup

n∈N

an. Se {an} `e decrescente e limitata, allora

n→∞lim an= inf

n∈Nan. Definizione di limite infinito di una successione.

Esempio 7.4. Si ha

n!

2ⁿ → ∞ se n → ∞.

Per casa 7.5. Dimostrare che per ogni fissato A > 1 si ha

n!

Aⁿ → ∞ se n → ∞.

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8. Venerd`ı 8/10/2010

Definizione di successione convergente, divergente, irregolare.

Teorema 8.1. Una successione convergente `e limitata.

Esempio 8.2. Si ha per n → ∞ Aⁿ

n^b → ∞ , nⁿ n! → ∞ ,

ove A > 1, b > 0 sono costanti.

Definizione di sottosuccessione.

Teorema 8.3. Una successione converge a L ∈ R se e solo se ogni sua sottosuccessione converge a L.

Teorema 8.4. Una successione limitata ha una sottosuccessione convergente.

Commenti alla dimostrazione del teorema precedente; esempio di an= (−1)ⁿ

1 + 1 n

.

Teorema 8.5. Se {a2k} e {a2k+1} convergono allo stesso limite, allora tutta la successione {an} vi converge.

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9. Luned`ı 11/10/2010

Esempi di comportamento di funzioni vicino a x = 0:

x², [x] , sin 1 x, 1

xsin1 x.

Definizione di limite (finito e infinito) di una funzione f (x) per x → x⁰, x → x⁰±, x → ±∞.

Teorema 9.1. Il limite se esiste `e unico.

Teorema 9.2. (Permanenza del segno) Se f (x) → L > 0 per x → x0, allora f (x) > 0 per x ∈ (x0− δ, x0+ δ) \ {x0}, con δ > 0 opportuno.

Corollario 9.3. Se f (x) ≤ 0 per x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0}, con δ > 0, e se f (x) → L per x → x⁰, allora L ≤ 0.

Teorema 9.4. Casistica di

x→xlim0

[f (x) + g(x)] . Teorema 9.5. Casistica di

x→xlim0[f (x) · g(x)] . Teorema 9.6. Casistica di

x→xlim0

f (x) g(x).

Esempio 9.7. Comportamento per x → ∞ delle differenze delle funzioni x², x,

x + sin x.

Per casa 9.8. Costruire un esempio di f e g tali che

x→∞lim f (x) = ∞ , lim

x→∞g(x) = ∞ , lim

x→∞

f (x) g(x) 6 ∃ .

Esempio 9.9. Calcolo del limite per x → ∞ di

amx^m+ · · · + a0

bnxⁿ+ · · · + b⁰ . (9.1)

Per casa 9.10. Calcolo del limite per x → −∞ di (9.1). Paragrafi di riferimento sul testo: 4.2, 4.3.

10. Marted`ı 12/10/2010

Sospensione dell’attivit`a didattica decisa dalla Facolt`a.

11. Mercoled`ı 13/10/2010

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12. Venerd`ı 15/10/2010

13. Luned`ı 18/10/2010

Dimostrazione di

x→xlim0

[f (x)g(x)] = α + β , se lim

x→x0

f (x) = α , lim

x→x0

g(x) = β ;

x→xlim0

f (x)

g(x) = ∞ , se lim

x→x0

f (x) = α > 0 , lim

x→x0

g(x) = 0 + . Esercizi:

f (x) = x²+ 7

x³− 1, lim

x→1−f (x) = −∞ , lim

x→1+f (x) = +∞ , lim

x→2f (x) = 11 7 .

x→∞lim [x] + 1

x + 1 = 1 . f (x) = x − 3

x²− 5x + 6, lim

x→3−f (x) = 1 , lim

x→3+f (x) = 1 . f (x) = arctg x

π

2 + arctg x, lim

x→∞f (x) = 1

2, lim

x→−∞f (x) = −∞ . Definizione di potenza A^xcon A > 0 e x ∈ R.

Esercizio:

x→∞lim A^x

x^b = ∞ , A > 1 , b > 0 . Dimostrazione delle disuguaglianze

1

cos x > sin x

x > cos x , −π

2 < x < π

2 , x 6= 0 .

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14. Marted`ı 19/10/2010

Teorema 14.1. (del confronto) Se f (x) → L, g(x) → L per x → x⁰, e se f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) , 0 < |x − x0| ≤ ¯δ,

allora h(x) → L per x → x0. Esercizi:

x→0limsin x = 0 , lim

x→0cos x = 1 ,

x→0lim sin x

x = 1 , lim

x→0

1 − cos x x² = 1

2. Interpretazione geometrica degli ultimi due limiti.

Teorema 14.2. (cambiamento di variabile) Se f (x) → L per x → x⁰, g(y) → x0 per y → y⁰, con g(y) 6= x⁰, allora

y→ylim0

f g(y) = L . Esercizi:

x→xlim0

sin x = sin x0, lim

x→x0

cos x = cos x0,

x→0lim arctg x

x = 1 , lim

x→0

arcsin x x = 1 . Definizione di logaritmo log_ax con a > 0, a 6= 1 e x > 0.

Per casa 14.3.

x→1lim

x²− 2x + 1

x − 1 sinx +√ x x − 1

.

15. Mercoled`ı 20/10/2010

Esercizi sui limiti. Applicazioni del teorema di cambiamento di variabile.

Tra gli altri esercizi:

x→∞lim p3

x²+ 1 − ³ q

x²+ x√³ x − 2 ,

x→0+lim x^x, lim

x→1

x²− 2x + 1

x − 1 sinx +√ x x − 1

. Per casa 15.1. Dimostrare che

x→∞lim

[x]

X

n=1

cos(nx) xⁿ = 0 .

Definizione di funzione continua in un punto, e di continuit`a a sinistra e a destra.

Paragrafi di riferimento sul testo: 7.1.

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16. Venerd`ı 22/10/2010

Esempi di funzioni continue: funzioni trigonometriche, polinomi, funzioni razionali, logaritmi, potenze.

Prodotti, somme, quozienti e composizioni di funzioni continue sono continui.

Definizione dello spazio C (I) con I intervallo.

Definizione di discontinuit`a eliminabili, di I specie, di II specie.

Esempi dei vari tipi di discontinuit`a.

Esempio 16.1. La funzione (qui a > 1) f (x) = a¹^xsin1

x, x 6= 0 , f (0) = 0 ,

in x = 0 è continua da sinistra ma non da destra. Teorema 16.2. Una funzione monotona può avere solo discontinuità di salto, o eliminabili se negli estremi di un intervallo.

Teorema 16.3. (degli Zeri) Sia f ∈ C ([a, b]), con f(a)f(b) < 0. Allora esiste un c ∈ (a, b) tale che f(c) = 0.

(Dimostrazione con il sup e con il metodo delle bisezioni.) Paragrafi di riferimento sul testo: 7.1, 7.2, 7.3.

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17. Luned`ı 25/10/2010

Qui [a, b] `e un intervallo limitato e chiuso.

Teorema 17.1. (dei valori intermedi) Sia f ∈ C ([a, b]), con f(a) < f(b).

Allora per ogni f (a) < y < f (b) esiste un c ∈ (a, b) tale che f(c) = y.

Teorema 17.2. Siano f , g ∈ C ([a, b]), con f(a) < g(a), f(b) > g(b). Allora esiste c ∈ (a, b) tale che f(c) = g(c).

Teorema 17.3. Sia f ∈ C (I), I intervallo. Allora per ogni y ∈

infI f, sup

I

f esiste c ∈ I tale che f(c) = y.

Corollario 17.4. Se I `e un intervallo e f ∈ C (I), allora f(I) `e un intervallo.

Esempio 17.5. Applicazione all’esistenza di soluzioni dell’equazione 1 − 2^−x= a

x, x > 2 ,

al variare di a ∈ R.

Lemma 17.6. Se f ∈ C ([a, b]), allora f `e limitata su [a, b].

Teorema 17.7. (di Weierstrass) Se f ∈ C ([a, b]), allora sup

[a,b]

f = max

[a,b] f , inf

[a,b]f = min

[a,b]f . Definizione del numero di Nepero

e := lim

n→∞

1 + 1 n

ⁿ . Calcolo dei limiti

x→∞lim

1 + 1 x

x

= e . lim

x→−∞

1 + 1 x

x

= e , (per casa).

x→0lim(1 + x)¹^x = e .

x→0lim

ln(1 + x)

x = 1 . lim

x→0

e^x− 1 x = 1 .

x→0lim a^x− 1

x = ln a , (per casa) .

Definizioni di seno e coseno iperbolico. Per casa: cosh²x − sinh²x = 1 per x ∈ R.

Paragrafi di riferimento sul testo: 5.2, 6.2, 7.3.

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18. Marted`ı 26/10/2010

(dr Dario Bellaveglia)

• Numeri Complessi: Definizione. Parte Reale. Parte Immaginaria.

• Operazioni tra numeri complessi.

• Definizione e propriet`a del complesso coniugato.

• Rappresentazione trigonometrica. Modulo. Argomento. Formula di De Moivre.

• Rappresentazione Esponenziale di un numero complesso.

• Esercizio: calcolare parte reale e immaginaria del complesso coniugato di z = 3 + 2i

i − 2 .

• Esercizio: scrivere in forma esponenziale z = 4i

√3 + i.

• Esercizio: calcolare

2

√3 − i+1 i

2

.

19. Mercoled`ı 27/10/2010

Teorema 19.1. Se f : I → R (I intervallo) `e continua e invertibile, allora `e monotona.

Teorema 19.2. Se f : I → R (I intervallo) `e continua e invertibile, allora f⁻¹ `e continua.

Studiare la risolubiit`a delle seguenti equazioni in R:

x⁶+ 2x⁵− 3x²− x = 1 −√ 2 , x⁵+ 10x⁴− 3 = −25 ,

sin x −1 2

= 7 10. Calcolo del limite

x→0lim

(1 + x)^α− 1

x = α .

Definizione del simbolo o piccolo o(f (x)) per x → x0. Calcolo del limite

x→∞lim

x²+ 6x + 1 x²+ 6x

x²+sin x+1

= e .

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20. Venerd`ı 29/10/2010

• Radici n-esime di un numero complesso e loro rappresentazione geometrica.

• Teorema fondamentale dell’algebra (s.d.).

• Conseguenze nel caso di polinomi a coefficienti reali.

• Esercizio: trovare le soluzioni dell’equazione z⁴= −2

1 − i√ 3.

• Esercizio: trovare le soluzioni dell’equazione z⁴+ 2z²+ 2 = 0 .

• Esercizio: trovare le soluzioni dell’equazione z⁵+ z + zi = 0 .

21. Marted`ı 2/11/2010

• Esercizi sui numeri complessi: trovare, se esistono, z ∈ C soluzioni di z²− i¯z + |z|²= 4 ,

z³= 5¯z ,

|z|²− 2(¯z)²= 4i + 2 .

• Successioni ricorsive: definizione, esempi, criterio per la selezione dei possibili valori del limite.

• Esercizio: calcolare il limite per n → ∞ della successione ricorsiva (an+1=¹₄a²_n+ 1

a0= 1 .

• Esercizio: sia {aⁿ}_n∈N, una successione ricorsiva tale che (an+1≥ 3aⁿ

a0> 0 . Dimostrare che

n→∞lim an = +∞ ,

e mostrare con un controesempio che questa conclusione `e falsa se non si assume a0> 0.

• Formula di Stirling (s.d.), esempi.

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22. Mercoled`ı 3/11/2010

Problema del calcolo di aree. Approssimazione con plurirettangoli.

Definizione di suddivisione (o partizione) di un intervallo.

Ampiezza di una partizione, partizioni pi`u o meno fini di altre.

Definizione di somma inferiore e superiore relativa a una partizione e a una funzione limitata:

s(D, f) , S(D, f) . Teorema 22.1. Se D∗ `e pi`u fine di D∗∗, allora

s(D∗∗, f ) ≤ s(D∗, f ) ≤ S(D∗, f ) ≤ S(D∗∗, f ) .

Definizione di integrabilit`a secondo Riemann per funzioni limitate su intervalli chiusi e limitati.

Metodo di verifica di integrabilit`a: se esiste una famiglia di partizioni Dⁿ tale che

n→∞lim s(Dn, f ) = lim

n→∞S(Dn, f ) = L , allora f `e integrabile eRb

a f = L.

Esempio di funzione non integrabile:

f (x) = 1 , x ∈ [0, 1] ∩ Q , f (x) = 0 , x ∈ [0, 1] \ Q . Le funzioni costanti a tratti sono integrabili secondo Riemann.

23. Venerd`ı 5/11/2010

dr Dario Bellaveglia

• Ordine di infinito e di infinitesimo e confronti, definizioni ed esempi.

• Simboli di Landau, definizioni e propriet`a.

• Ordine di infinito (infinitesimo) rispetto all’infinito (infinitesimo) campione.

• Esercizio: calcolare l’ordine di infinito o infinitesimo per x → ∞ di (1 + x^α)

1 − cos 1 x

, al variare da α ∈ R \ {2}.

• Esercizio: calcolare il limite

x→1lim

log ^e+e₂^x − 1 x^α− x^−2α , al variare di α ∈ R \ {0}.

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24. Luned`ı 8/11/2010

Teorema 24.1. (della Media) Se f ∈ R(a, b), allora

(b − a) inf

[a,b]f ≤

b

Z

a

f ≤ (b − a) sup

[a,b]

f .

Se inoltre f ∈ C ([a, b]) allora esiste c ∈ [a, b] tale cheRb

a f = (b − a)f(c).

Lemma 24.2. (linearit`a) Se f , g ∈ R(a, b) e α, β ∈ R allora αf + βg ∈ R(a, b)

e b

Z

a

αf + βg = α

b

Z

a

f + β

b

Z

a

g .

Lemma 24.3. (monotonia) Se f , g ∈ R(a, b) e f ≤ g, alloraRb a f ≤Rb

a g.

Esempio 24.4. La f (x) =R1 0

dt

t+x, x > 0, `e decrescente. Lemma 24.5. (additivit`a risp. all’intervallo di integrazione) Se f ∈ R(a, b), e c ∈ (a, b), allora f ∈ R(a, c), f ∈ R(c, b), e

b

Z

a

f =

c

Z

a

f +

b

Z

c

f .

Vale anche il viceversa: se f ∈ R(a, c), f ∈ R(c, b), allora f ∈ R(a, b) e vale l’uguaglianza sopra.

Corollario 24.6. Gli integrali di funzioni non negative sono funzioni crescenti del secondo estremo di integrazione e decrescenti del primo estremo.

Lemma 24.7. Se f ∈ R(a, b) allora f⁺, f₋, |f| ∈ R(a, b) e

b

Z

a

f

≤

b

Z

a

|f| .

Per casa 24.8. Studiare la monotonia della funzione

f (x) =

1 x

Z

0

dt

t + x, x > 0 .

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25. Marted`ı 9/11/2010

Esempi di integrali come funzioni del secondo estremo.

Teorema 25.1. (Uniforme Continuit`a) Se f ∈ C ([a, b]) allora per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che

|x − y| ≤ δ , x, y ∈ [a, b] =⇒ |f(x) − f(y)| ≤ ε .

Teorema 25.2. Le funzioni continue su un intervallo limitato e chiuso sono ivi integrabili.

Teorema 25.3. Le funzioni monotone su un intervallo limitato e chiuso sono ivi integrabili.

Tasso di variazione dell’integrale come funzione del secondo estremo.

Migliore approssimazione lineare di una funzione.

26. Mercoled`ı 10/11/2010

Definizione di derivata, e di derivate destra e sinistra.

Esempi di funzioni derivabili: c, x, xⁿ. Punti angolosi e cuspidi.

Esempio 26.1. La funzione |x| ha un punto angoloso nell’origine, mentrep|x| ha

una cuspide.

Per casa 26.2. Calcolare la derivata di |x|³in x = 0. Una funzione derivabile in x0`e continua in x0.

Teorema 26.3. (Fondamentale del Calcolo Integrale) La derivata diRx c f in x0 vale f (x0), se f `e continua in x0.

Teorema 26.4. Linearit`a della derivata:

(αf + βg)^′ = αf^′+ βg^′, se f e g sono derivabili, e α, β ∈ R.

Derivate di polinomi.

Teorema 26.5. (Leibniz) Se f e g sono derivabili, allora (f g)^′= f^′g + f g^′.

Derivate di sin, cos.

Teorema 26.6. Se f è derivabile in y0 = g(x0), e se g è derivabile in x0, allora la funzione composta f ◦ g è derivabile in x0 e

(f ◦ g)^′(x0) = f^′(g(x0))g^′(x0) . Derivata di e^x, a^x, x^rcon r ∈ R, tg x.

Per casa 26.7. Derivare arctg x.

Paragrafi di riferimento sul testo: 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 9.4.

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(18)

27. Venerd`ı 12/11/2010

• Teorema (Derivata della funzione inversa.) Siano I un intervallo, x0∈ I e f : I → R continua e strettamente monotona. Se f `e derivabile in x0

e f^′(x0) 6= 0, allora l’inversa f⁻¹ di f `e derivabile in y0= f (x0) e vale (f⁻¹)^′(y0) = 1

f^′(x0).

• Derivata di loga(|x|), sinh(x), arcsin(x).

• Esempi: la funzione

f (x) =√³ x , non `e derivabile in x = 0;

l’inversa della funzione

f (x) = (x − 4)⁶,

non `e derivabile in y0= 0 (che corrisponde a x0= 4).

• Esercizio: Calcolare la derivata della funzione

f (x) = |x²− 1|

√1 + x⁴ e^x−1− 1

²3

.

• Esempio: la funzione f (x) =

(sin _x¹ , x 6= 0 , 0 , x = 0 ,

`e derivabile in R \ {0}.

• Esempio: la funzione f (x) =

(x^αsin ¹_x , x > 0 , 0 , x = 0 ,

`e derivabile in {0} se α ≥ 1.

• Esempio: la funzione

f (x) = (sin√ x)³

`e derivabile e ha derivata continua in [0, +∞).

• Esercizio: calcolare l’ordine di infinitesimo per x → ∞ di

f (x) = 1

2 cos x + x²log(2^x+ 7), g(x) = x^{1−log x}.

• Esercizio: calcolare

x→0lim⁺

√3

x sin²2x(√ x − 1) 1 + x − cos 3x . Paragrafi di riferimento sul testo: 8.3, 8.4, 8.5.

18

(19)

28. Luned`ı 15/11/2010

Definizione di estremo locale.

Teorema di Fermat.

Definizione di punto critico o stazionario.

Esempi di punti critici che sono o non sono punti di estremo, e di punti di estremo che sono o non sono critici.

Teorema: i punti di estremo locale sono critici, o punti ove la funzione non `e derivabile, o estremi dell’intervallo di definizione.

Esercizio 28.1. Trovare i punti di estremo locale di f (x) = x²p|x − 1| + 1. Uso del segno delle derivate destra e sinistra nei punti angolosi. Teorema di Rolle.

Esercizio 28.2. Trovare i punti di estremo locale di f (x) = x/(1 + x²). Teorema di Lagrange del valor medio.

Interpretazione geometrica del teorema di Lagrange.

Corollario: su intervalli, f^′> 0 implica f strettamente crescente, f^′≥ 0 equivale a f crescente. In modo analogo: f^′ < 0 implica f strettamente decrescente, f^′ ≤ 0 equivale a f decrescente.

Corollario: se f^′≡ 0 su (a, b) allora f =costante in (a, b).

Applicazioni allo studio di funzioni.

Esercizio 28.3. Studio di f (x) = arctg[e^x/(1 + e^x)]. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.6, 8.7.

19

(20)

29. Marted`ı 16/11/2010 dr Dario Bellaveglia

• Funzioni primitive; definizione ed esempi.

• Se una funzione ha una discontinuit`a di prima specie in un intervallo I non ammette primitive in I.

• Teorema: Siano F e G funzioni primitive nell’intervallo I della medesima f : I → R. Allora esiste una costante C ∈ R tale che

G(x) = F (x) + C , per ogni x ∈ I.

• Corollario: Sia f ∈ C([a, b]). Se F `e una primitiva di f in [a, b] allora

b

Z

a

f (s)ds = F (b) − F (a) .

• Definizione di integrale definito e indefinito

• Esempio: Calcolare _π

2

Z

−2

f (x)dx , dove

f (x) =

(x³, x < 0 , cos x , x ≥ 0 .

• Esercizio: studio delle funzioni

f (x) = lnx − arctg(x − 1) , g(x) =p(|x| − 1)(|x| − 2)³ ².

30. Mercoled`ı 17/11/2010

Sospensione della didattica decisa dalla Facolt`a.

20

(21)

31. Venerd`ı 19/11/2010

• Derivata seconda, funzioni convesse e concave.

• Esercizio: studio della funzione f (x) = x²

x + 1e^x+1^x .

• Integrazione delle funzioni razionali.

• Esercizi: Calcolare gli integrali indefiniti Z 2x + 2

x²+ x + 1dx . Z x⁵

x³− 1dx ,

Z x

√6x − 9x²dx ,

Z 2x − 1

(x − 1)(x − 2)dx , Z x³− 6

x⁴+ 6x²+ 8dx . Paragrafi di riferimento sul testo: 8.9, 9.6.1.

32. Luned`ı 22/11/2010

Formula di integrazione per parti.

Calcolo di

Z

ln x dx , Z

e^axcos bx dx , Z

arctg x dx ,

1

Z

0

x arctg x dx . Integrazione per sostituzione.

Calcolo di

ln 5

Z

0

e^x√ e^x− 1 e^x+ 3 dx ,

Z

ln x dx .

Integrazione di funzioni razionali di sin x, cos x: sostituzione delle formule parametriche

tgx

2 = t , sin x = 2t

1 + t², cos x =1 − t² 1 + t².

Calcolo di Z cos x

1 + sin x + cos x.

Significato geometrico del fattore ϕ^′(t) nella formula di integrazione per sostituzione.

21

(22)

• Esercizio: determinare dominio e asintoti della funzione f (x) =

s log(2x − 3) log(|x − 3|) − 1.

• Integrazione delle funzioni razionali.

• Esercizio: studiare la funzione f (x) = log

1

|x| − |x − 2|

, e disegnare il grafico qualitativo di

g(x) = 1

log

1

|x|−|x−2|

 , senza fare ulteriori calcoli.

• Esercizio: determinare A ∈ R in modo tale che la funzione f (x) =

((x + 1)⁴, −2 ≤ x ≤ −¹₂ A arctg(x + 3) − 1 , x < −2 ,

risulti continua nel suo dominio; per tale valore di A determinare estremo superiore e inferiore, massimi e minimi locali.

• Esercizio: determinare (se esistono) i punti di massimo e minimo locale in I = [−3, 3] della funzione

f (x) =

x⁴

Z

0

sinπ 2

√4

t dt .

• Esercizi: calcolare i seguenti integrali Z x²

4 + x⁶dx .

e

Z

1

log x (log x + 1)xdx , Z 2 +√³

x + 1 1 +√

x + 1dx ,

Z sin x

2 cos x − sin²x + 6dx , Z sin(2x) − cos x

sin x + 9 sin³xdx , Z

x²arccosxdx .

Paragrafi di riferimento sul testo: 9.5.2, 9.6.2.

22

(23)

34. Mercoled`ı 24/11/2010 3 ore

Integrazione di funzioni razionali; il metodo dei fratti semplici.

Calcolo di:

Z 2x + 1 x²+ 1dx ,

Z 1

x²+ px + q, con 4p²< q.

Calcolo di

Z R

x,r ax + bⁿ cx + d

dx , e in particolare di

Z r x + 1 x − 1dx ,

Z x²³

r x

x + 3dx . (34.1)

Calcolo di

3

Z

1

lnx²+ 2x + 3

|x|

dx .

Calcolo di Z

R(cos x) sin x dx , e in particolare di

√3

Z

0

√ x

4 − x²dx .

Definizione di integrale improprio su un intervallo limitato o illimitato. studio di integrali convergenti:

Z∞

0

e^−zdz = 1 ,

1

Z

0

dx x^α = 1

1 − α, se e solo se α < 1.

Applicazione allo studio della convergenza di serie.

Teorema del confronto per integrali impropri di funzioni nonnegative.

Applicazione alla gaussiana:

Z∞

0

e^−x²dx < ∞ .

23

(24)

35. Venerd`ı 26/11/2010

• Riepilogo forme indeterminate. Ogni forma indeterminata si pu`o ricondurre alle forme ⁰₀ o ^∞_∞.

• Teorema di de l’Hˆopital (Dimostrazione solo nel caso di funzioni infinitesime)

• Applicazioni: calcolare i seguenti limiti

x→0lim

x − sin x x³ ,

x→1lim

x^x− x 1 − x + log x,

x→0lim

x sin x − 2 + 2 cos x x log(1 + x) − x² .

• Esercizio: studiare la funzione

f (x) = 2x − 5x| log x|

log x ,

e dire se `e prolungabile in modo continuo e derivabile nell’origine

• Calcolo di

Z

R(x,p

1 − x²)dx . Z

R(x,p

x²+ c)dx , c ∈ R \ {0} ,

Paragrafi di riferimento sul testo: 8.7.2, 9.6.2.

24

(25)

36. Luned`ı 29/11/2010

Criterio del confronto asintotico per integrali impropri.

Esempio 36.1. Calcolo di

Z∞

2

dx x(ln x)^β

al variare di β.

Assoluta integrabilità. L’assoluta integrabilità implica l’integrabilità.

Esempio 36.2. La funzione (sin x)/x `e integrabile ma non assolutamente

integrabile su [1, ∞).

Definizione di serie convergente, divergente, irregolare.

Se la serieP an converge, allora an → 0 per n → ∞ (condizione necessaria per la convergenza).

Una serie converge se e solo se la serie resto (o coda) converge.

La condizione necessaria non `e sufficiente per la convergenza; per esempio

∞

X

n=1

1

n^α < ∞ ⇐⇒ α > 1.

SeP an eP bn convergono, converge ancheP(λan+ µbn).

Calcolo della somma della serie di Mengoli.

Teorema di confronto con gli integrali impropri: se f : [k0, ∞) → R, e f ≥ 0, f decrescente, allora

∞

X

n=k

f (n) < ∞ ⇐⇒

Z∞

k0

f (x) dx < ∞ .

Per casa 36.3. Discutere la convergenza della serie armonica generalizzata X∞

n=1

1 n^α

al variare di α ∈ R.

25

(26)

37. Marted`ı 30/11/2010

Criteri del confronto e del confronto asintotico per serie con termini nonnegativi.

Esempio 37.1. Studiare la convergenza di

∞

X

n=1

n (n + 1)³,

∞

X

n=1

n n + 1,

∞

X

n=1

2 (ln n)^β,

∞

X

n=2

1 (ln n)ⁿ ,

∞

X

n=2

1 (ln n)^{ln n},

∞

X

n=1

n^β

n+1

Z

n

π

2 − arctg x dx . Qui β ∈ R `e un parametro arbitrario. Calcolo della somma di

X∞ n=1

2ⁿ+ 3ⁿ 6ⁿ .

Criterio di Leibniz per serie a segno alterno.

Per casa 37.2.

∞

X

n=1

aⁿxⁿ n²+ 1,

∞

X

n=1

aⁿxⁿ n + 1,

∞

X

n=1

n² 2ⁿ,

∞

X

n=1

n!

(n + m)!,

∞

X

n=1

ln n n√

n + 1

∞

X

n=3

1

n ln n(ln ln n)^β,

∞

X

n=1

h

1 n

Z

0

√x 1 + x²

iβ

,

∞

X

n=0

exp (−√ n) .

Qui a > 0, m ∈ N e β ∈ R sono parametri assegnati.

26

(27)

38. Mercoled`ı 1/12/2010

dr Dario Bellaveglia; 3 ore

• Calcolo di Z

R(x,p

ax²+ bx + c)dx .

• Polinomio di Taylor: introduzione, definizione e prime propriet`a

• Teorema di Peano

• Sviluppi di MacLaurin fino all’ordine n di e^x, log(1 + x), cos x, sin x:

e^x=

n

X

k=0

1

k!x^k+ o(xⁿ) , x → 0 , log(1 + x) =

n

X

k=1

(−1)^k

k x^k+ o(xⁿ) , x → 0 , cos x =

n

X

k=0

(−1)^k

(2k)!x^2k+ o(x²ⁿ⁺¹) , x → 0 , sin x =

n

X

k=0

(−1)^k

(2k + 1)!x^2k+1+ o(x²ⁿ⁺²) , x → 0 .

• Polinomio di Taylor di funzioni composte.

Esempio: calcolare gli sviluppi di MacLaurin di e^{sin x}fino all’ordine 4.

• Esercizio: Dire per quali α ∈ R converge l’integrale improprio

+∞Z

1

3 x+ 5

e⁻²^x 1

x^2αdx , e calcolarne il valore per α = 1.

• Calcolare i seguenti integrali definiti:

3π 2

Z

−^π2

(x + 1)²| cos x|dx ,

4

Z

0

√x (x − 9)(√

x − 3)dx ,

5

Z

3

log(x²− 4) x³ dx , Z−1

−¹¹9

(x + 3)arccos√ 3x + 4

√3x + 4 dx .

Paragrafi di riferimento sul testo: 8.11, 9.6.2.

27

(28)

39. Venerd`ı 3/12/2010

• Sviluppi di MacLaurin fino all’ordine n di (1 + x)^α, cosh x, sinh x, arctgx.

• Applicazioni del Teorema di Peano al calcolo dei limiti e allo studio di funzioni

• Teorema:

Sia f : (a, b) → R, n volte derivabile in x0∈ (a, b), n ≥ 2 e tale che f^′(x0) = f^′′(x0) = · · · = f⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = 0 , f⁽ⁿ⁾(x0) 6= 0 . Allora

n pari ⇔

(x0 `e punto di minimo locale forte se f⁽ⁿ⁾(x0) > 0, x0 `e punto di massimo locale forte se f⁽ⁿ⁾(x0) < 0,

n dispari ⇔ x⁰ non `e punto di estremo.

• Esercizio: Dire se x⁰= 0 `e punto di estremo per la funzione f (x) = x⁴arctg(cosh(x²) − 1) .

• Sviluppare all’ottavo ordine in x0= 0 la funzione

x

Z

0

sin(t²)

t .

• Stabilire gli ordini di infinitesimo di f (x) =p

1 + 2x²− 1 − x², x → 0 , g(x) = e^{x sinh x}− e^x², x → 0 , h(x) = cos

2

√x

− 1 + log

1 + 2

x

, x → +∞ .

• Esercizio: Calolare i seguenti limiti

x→0lim

x arcsinx − x²

√1 + x⁴− cos(x²),

x→0lim

log(cos(2x)) log(1 + tan(2x)),

x→lim^π2

sin x − 1 − cos²x e^2x−π− 1 + π − 2x,

x→+∞lim

q1 + _x+1^x³ − x log x x

x^x¹ − 1

+√x log²x. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.11, 8.12, 8.12.1.

28

(29)

40. Luned`ı 6/12/2010

Teorema 40.1. Sia an> 0 per ogni n. Se an+1

an ≤ r < 1 per ogni n, allora la serieP

nan converge. Se an+1

an ≥ 1 per ogni n, allora la serieP

nan diverge.

Corollario 40.2. (Criterio del rapporto) Se esiste

n→∞lim an+1

an

= L ,

allora se L < 1 la serie converge, se L > 1 la serie diverge.

Applicazione (impossibile) alla serie armonica generalizzata.

Teorema 40.3. Sia an≥ 0 per ogni n. Se a^1/n_n ≤ r < 1 per ogni n, allora la serieP

nan converge. Se a^1/n_n ≥ 1 per ogni n, allora la serieP

nan diverge.

Corollario 40.4. (Criterio della radice) Se esiste

n→∞lim a^1/n_n = L ,

allora se L < 1 la serie converge, se L > 1 la serie diverge.

Definizione di convergenza assoluta.

Teorema 40.5. Se una serie converge assolutamente allora converge semplicemen- te.

Esercizio 40.6.

∞

X

n=1

n 2

√n− sin 2

√n

2

,

∞

X

k=1

k!

k^k−1,

∞

X

k=1

k²4^k 2^k+ 5^k,

∞

X

n=1

xⁿ n! .

Per casa 40.7.

∞

X

n=1

(n!)^b (an)!.

Paragrafi di riferimento sul testo: 5.8.3, 5.9.

29

(30)

41. Marted`ı 7/12/2010

• Approssimazione di funzioni con polinomi.

• L’approssimazione non migliora necessariamente con l’aumentare dell’ordine.

Esempio:

f (x) = (1 − x)⁻¹, x0= 0 , x = −1 .

• Teorema: Formula del resto di Lagrange (s.d).

Sia f : [a, b] → R, e x0 ∈ [a, b]. Se f `e n volte derivabile in [a, b], n + 1 volte derivabile in [a, b] \ {x⁰} e f⁽ⁿ⁾`e continua in [a, b], allora ∀x ∈ [a, b], x 6= x⁰, esiste y ∈ (x⁰, x) tale che

f (x) = Tn(x) +f⁽ⁿ⁺¹⁾(y)

(n + 1)! (x − x⁰)ⁿ⁺¹,

• Esempio: calcolare sin(0, 5) con un errore inferiore a 10⁻⁵

• Esempio: calcolare√

e con un errore inferiore a 10⁻⁶

• Esercizio: calcolare√

26 con un errore inferiore a 10⁻⁵

• Teorema (s.d): Se f(x) ∈ Cⁿ⁺¹[a, b], per ogni coppia x0, x ∈ [a, b] vale f (x) = Tn(x) +

x

Z

x0

(x − t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt .

• Esercizio: sviluppare al quarto ordine la funzione

f (x) = 1

1 + log(1 + x²).

• Esercizio: calcolare, al variare del parametro α, il limite

x→+∞lim

(2x + x²)^√³− (x + x²)^√³

x^α .

30

(31)

42. Venerd`ı 10/12/2010

• Esercitazione.

• Calcolare lo sviluppo di McLaurin di log1 + x

1 − x.

• Determinare il carattere della serie

+∞

X

n=1

tan

1

n + 1− sin1 n

2 3!

.

• Calcolare il limite

x→+∞lim

log(x + 3) − log(x) − 3 sin_x¹ cos¹_x− 1 .

• Determinare al variare dei parametri α, λ ∈ R il carattere della serie

+∞

X

n=1

sin 1

n− tan1 n

n^2α− λ .

• Determinare il polinomio P9(1/n) di grado 9 tale che la serie

+∞

X

n=1

"

cos1

n− 1

3

− P9

1 n

# n^α,

converga per α ∈ R pi`u grande possibile, e trovare il valore massimo di α.

• Determinare il carattere della serie

+∞

X

n=1 n^α

Z

(n+1)^α

sin(t³) t dt , al variare di α ∈ (−∞, 0).

• Trovare l’espressione che lega I(n) a I(n + 2) se I(n) =

Z e^x² xⁿdx .

• Trovare le radici complesse dell’equazione z²|z| = z .

31

(32)

43. Luned`ı 13/12/2010

• Teorema(s.d.):

Sia f : (a, b) → R, n volte derivabile in x0∈ (a, b), n ≥ 3 e almeno n − 1 volte derivabile in (a, b), e tale che

f^′′(x0) = f^′′′(x0) = · · · = f⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = 0 , f⁽ⁿ⁾(x0) 6= 0 . Allora

n pari ⇔

(x0 f è convessa in x0 se f⁽ⁿ⁾(x0) > 0, x0 f è concava in x0 se f⁽ⁿ⁾(x0) < 0, n dispari ⇔ x⁰ x0 è punto di flesso per f.

• Teorema(s.d.): Sia f : (a, b) → R derivabile in (a, b), allora sono equivalenti (1) f `e (strettamente) convessa in (a, b),

(2) f^′`e (strettamente) crescente in (a, b), (3) f ≥ (>)f(x⁰) + f^′(x0)(x − x⁰).

• Teorema(s.d.): Sia f : (a, b) → R una funzione (strettamente) convessa in (a, b). Allora

(1) f `e continua in (a, b),

(2) ∀x ∈ (a, b), esistono finite f₋^′, f₊^′ e f₋^′ ≤ f+^′, (3) f₋^′, f₊^′ sono (strettamente) crescenti.

• Esercizio: studiare la convessit`a di

f (x) = 1 + (|x| − 1)¹³.

• Definizione di serie di potenze, insieme di convergenza, raggio di convergenza

• Lemma: se la serie di potenzeP∞

k=0ak(x −x⁰)^k converge in x16= x⁰, x1∈ R, allora essa converge assolutamente per ogni x ∈ R tale che |x−x0| < |x1−x0|

• Teorema Sia r il raggio di convergenza diP∞

k=0ak(x − x0)^k, allora (1) la serie converge assolutamente per ogni x tale che |x − x0| < r, (2) la serie non converge per |x − x0| < r.

• Osservazione: il teorema precedente non da alcuna informazione nel caso

|x − x0| = r, che va considerato separatamente caso per caso.

• Teorema: Sia {ak} una successione reale. Se

k→∞lim

p|ak k| = L ∈ [0, ∞], oppure

k→∞lim

|ak+1|

|a^k| = L ∈ [0, ∞], allora la serieP_∞

k=0ak(x − x⁰)^k ha raggio di convergenza r =







1

L, se L ∈ (0, +∞) , 0 , se L = +∞ , +∞ , se L = 0 .

• Esercizio: determinare il raggio di convergenza di

∞

X

k=0

x^k (k²+ 2)2^k . Paragrafi di riferimento sul testo: 8.9, 5.10.

32

(33)

• Serie di Taylor, definizione ed esempi

• Se f ∈ C^∞(a, b) e x0 ∈ (a, b), allora f `e sviluppabile in serie di Taylor di centro x0in x, cio`e

f (x) =

∞

X

k=0

f^(k)

k! (x − x⁰)^k =: T [f, x0](x) , se e solo se En(x) = f (x) − Tn(x) → 0, quando n → +∞.

• Teorema: Sia f ∈ C^∞(a, b) e ∀x ∈ (a, b) risulti:

|f⁽ⁿ⁾(x)| ≤ MCⁿ, ∀n ∈ N , con M e C costanti positive, allora si ha

n→+∞lim En(x) = 0 , ∀x ∈ (a, b) .

• Applicazioni: Le serie di Taylor di e^x, sin x, cos x, sinhx e coshx convergono per ogni x ∈ (−∞, +∞).

• Teorema(s.d): sia P_∞

k=0ak(x − x0)^k una serie di potenze con raggio di convergenza r > 0 tale che

f (x) =

∞

X

k=0

ak(x − x0)^k, allora

(1) ak=^f_k!^(k) per ogni k ∈ N, (2) La serie di potenzeP∞

k=1kak(x−x⁰)^k−1ha lo stesso raggio di convergenza r e

f^′(x) = X∞ k=1

kak(x − x⁰)^k−1, ∀x ∈ (x⁰− r, x⁰+ r) , (3) La serie di potenze P_∞

k=0 ak

k+1(x − x⁰)^k+1 ha lo stesso raggio di convergenza r e

x

Z

x0

f (t)dt =

∞

X

k=0

ak

k + 1(x − x⁰)^k+1, ∀x ∈ (x⁰− r, x⁰+ r) .

In altre parole, all’interno dell’insieme di convergenza si pu`o derivare ed integrare per serie.

• Applicazioni: serie di Taylor di log(1 + x)

• Esercizio: Trovare l’insieme in cui converge assolutamente la serie

+∞

X

k=0

[x(x + 1)]^k 3^ke^k .

• Esercizio: dire se in x0 = 0 la funzione f (x) = x^x `e sviluppabile in serie di potenze di x, e/o in serie di potenze di altre funzioni.

• Esercizio: determinare i valori dei parametri α, λ ∈ R per i quali converge le serie

+∞

X

n=0

2 cos1

n− e⁻ⁿ²¹ − 1

n^α− λ

.

• Esercizio: calcolare la derivata della funzione F (x) =

cos(tan x)

Z

(sin x)²

e^t²dt ,

e stabilire l’ordine di infinitesimo di F^′(x) per x → 0.

Paragrafi di riferimento sul testo: 8.13.1, 9.9.

33

(34)

45. Mercoled`ı 15/12/2010

Riordinamenti di serie.

Teorema 45.1. Una serie che converge, ma non converge assolutamente pu`o essere riordinata per convergere a un numero arbitrario, o per divergere, o per essere irregolare. (s.d.)

Teorema 45.2. Se una serie converge assolutamente, tutti i suoi riordinamenti convergono alla sua stessa somma.

Intorni, punti di accumulazione, aperti, chiusi, frontiera, apertura e chiusura, insiemi compatti.

Esercizio 45.3. Studiare la convergenza delle seguenti serie

∞

X

n=1

Z∞

n

e^−x²dx ,

∞

X

n=1

(−1)ⁿtg 1 n^α,

∞

X

n=1

(n!)^b (an)!.

Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1, 5.11, 6.5.

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