Diario Geometria Uno a.a. 2020/21

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S1L1(2h)-28.09.2020 Presentazione del Corso di Laurea in Matematica (direttore del Dipartimento:

Bruno Chiarellotto, presidente del Corso di Laurea: Riccardo Colpi, intervento dei rappresentanti degli studenti).

Introduzione al corso di Geometria Uno: organizzazione del corso (lezioni, esercizi, esami, tutorato, ricevimento, registrazioni). Panoramica sul programma del primo semestre (numeri complessi e geometria del piano, algebra lineare: spazi vettoriali, applicazioni lineari, determinanti, forme canoniche di matrici) e del secondo (teoria di Jordan delle matrici, Geometrie Affine, Euclidea, Hermitiana). Riferimenti: appunti sulla pagina web del corso (https://www.math.unipd.it/∼maurizio/xG1.html) e pagina Moodle.

Perch´ e non si fa pi` u la geometria “assiomatica” alla Euclide (oggi detta “sintetica” e di interesse ormai solo storico-didattico-divulgativo), ma si fa in parallelo con l’algebra lineare/quadratica.

S1L2(2h)-29.09.2020 Questioni di terminologia (verr` a approfondita nei corsi di Algebra e Analisi, ma noi dobbiamo usarla subito): insiemi, funzioni, relazioni, equivalenze, quozienti; strutture algebriche di gruppi, anelli, corpi e campi.

S1R(2h)-29.09.2020 Ricevimento per domande ed esercizi su insiemi, relazioni e funzioni.

S1L3(1h)-30.09.2020 Esercizi su insiemi, relazioni e funzioni.

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S2L1(2h)-05.10.2020 Campo C dei numeri complessi: motivazione (R non `e algebricamente chiuso), costruzione (rappresentazione cartesiana), operazioni, parti reali e immaginaria, interpretazione geometrica della somma (parallelogramma), coniugio (coordinate hermitiane e relazione con quelle cartesiane) e modulo, numeri complessi di modulo 1, argomento e rappresentazione trigonometrica, interpretazione geometrica del prodotto (rotazioni e dilatazioni).

S2L2(2h)-06.10.2020 Potenze e radici nei numeri complessi, formule di De Moivre, radici dell’unit` a (poligoni regolari nel cerchio unitario). Teorema fondamentale dell’algebra: versione complessa (C `e algebri- camente chiuso), versione reale (polinomi irriducibili in R e fattorizzazione).

Esponenziale complessa, forma esponenziale dei numeri complessi; prodotto, potenze e radici in forma esponenziale; logaritmi nei numeri complessi, logaritmo principale.

S2R Niente ricevimento perch´ e ero impegnato per esami di recupero.

S2L3(1h)-07.10.2020 Esercizi sui numeri complessi.

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S3L1(2h)-12.10.2020 Applicazione dei numeri complessi allo studio della geometria del piano euclideo.

Distanza tra due punti e angolo tra tre punti (nozione di rapporto semplice, espressione algebrica per il coseno). Teoremi di Carnot e Pitagora.

Descrizione di rette e circonferenze con le coordinate hermitiane. Allineamento di tre punti e retta per due punti. Perpendicolarit` a di segmenti e asse di un segmento. Angoli al centro e angoli alla circonferenza.

Teorema di Tolomeo-Eulero sui quadrangoli e circonferenza per tre punti (nozione di birapporto tra quattro numeri).

S3L2(2h)-13.10.2020 Applicazione dei numeri complessi allo studio della geometria dei triangoli. Punti notevoli: baricentro (mediane), ortocentro (altezze), circocentro (assi), incentro (bisettrici) . Teorema della retta di Eulero (bari-, orto- e circocentro allineati e l’incentro vi appartiene sse il triangolo ` e isoscele).

Similitudine di triangoli, triangoli equilateri. Teorema di Napoleone. Cenni al teorema di Morley e al cerchio dei nove punti.

S3R(2h)-13.10.2020 Ricevimento per domande ed esercizi su numeri compessi e geometria del piano.

S3L3(1h)-14.10.2020 Esercizi sulla geometria del piano e dei triangoli.

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S4L1(2ht)-19.10.2020 Trasformazioni di Moebius sui numeri complessi. Definizione (trasformazioni lineari fratte), traslazioni, dilatazioni, affinit` a, inversione; decomposizione in inversione seguita e preceduta da affinit` a. Studio delle inversioni (effetto su rette e circonferenze).

Proiezione stereografica e uso del simbolo ∞ in C. Costruzione delle trasformazioni di Moebius date le

immagini di tre punti, invarianza del birapporto. Conformit` a delle trasformazioni di Moebius.

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S4L2(2ht)-20.10.2020 Spazi Vettoriali. Definizioni, propriet` a algebriche di base, commutativit` a della somma. Esempi: spazi vettoriali standard, polinomi e polinomi troncati, serie formali, funzioni a valori in un campo. Prodotti di spazi vettoriali.

S4R(2ht)-20.10.2020 Ricevimento per domande ed esercizi sulla geometria del piano e sulle trasfor- mazioni di Moebius.

S4L3(1ht)-21.10.2020 Spazi Vettoriali. Sottospazi, esempi, criterio per sottospazi.

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S5L1(2ht)-26.10.2020 Spazi Vettoriali. Sottospazi, combinazioni lineari, sottospazi generati, inter- sezione e somma di sottospazi, struttura di reticolo non distributivo dell’insieme dei sottospazi. Sottospazi complementari e caratterizzazioni. Quozienti.

S5L2(2ht)-27.10.2020 Spazi Vettoriali. Nozioni di insiemi generatori e linearmente indipendenti o liberi. Basi. Teorema di struttura degli spazi vettoriali: ogni spazio vettoriale ammette basi, e due basi dello stesso spazio hanno la stessa cardinalit` a. Dimensione. Dimostrazione nel caso di dimensione finita (lemma di scambio).

S5R(2ht)-27.10.2020 Ricevimento per domande ed esercizi sui sottospazi.

S5L3(1ht)-28.10.2020 Spazi Vettoriali. Calcolo delle dimensioni dei prodotti e dei quozienti.

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S6L1(2h)-02.11.2020 Spazi Vettoriali. Coordinate di vettori in una fissata base, equazioni cartesiane di sottospazi (descrizione dei sottospazi tramite generatori, equazioni parametriche, equazioni cartesiane:

relazione tra numero minimo di parametri e numero minimo di equazioni parametriche).

S6L2(2h)-03.11.2020 Spazi Vettoriali. Formula di Grassmann e conseguenze.

S6R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi sui sottospazi.

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S6L3(1h)-04.11.2020 Definizione di applicazione lineare. Primi esempi: derivazione, valutazione dei polinomi, applicazioni associate a matrici, proiezioni e simmetrie (asse e direzione come sottospazi comple- mentari).

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S7L1(2h)-09.11.2020 Applicazioni Lineari: definizione di nucleo e immagine, esempi, formula delle dimensioni per una funzione lineare. Le funzioni lineari sono determinate dal loro valore su una base del domino, conseguenze per gli endomorfismi di spazi di dimensione finita (equivalenza di iniettivit` a, suriettivit` a, automorfismi). Coordinate associate ad una base come isomorfismo con spazi vettoriali standard. Inverse destre e sinistre di funzioni lineari.

S7L2(2h)-10.11.2020 Applicazioni Lineari e matrici associate: matrici associate ad applicazioni lineari scelte basi dei due spazi. Azione sulle coordinate (nelle basi scelte). Prodotto riga per colonna tra matrici come operazione corrispondente alla composizione di funzioni lineari. Matrici scalari, diagonali, invertibili.

Struttura di algebra delle matrici quadrate e degli endomorfismi.

S7R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi su applicazioni lineari e matrici.

S7L3(1h)-11.11.2020 Esercizi su applicazioni Lineari e matrici associate.

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S8L1(2h)-16.11.2020 Applicazioni Lineari: i tre teoremi di isomorfismo e conseguenze.

S8L2(2h)-17.11.2020 Cambiamenti di base per le matrici di applicazioni lineari. Sistemi Lineari:

definizioni, teorema di Roch´ e-Capelli. Problema inverso come eliminazione di parametri.

S8R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi vari.

S8L3(1h)-18.11.2020 Sistemi Lineari: sistemi equivalenti, operazioni e matrici elementari, riduzione di Gauss (matrici scala ridotta speciale), Risoluzione di sistemi lineari. Calcolo dell’inversa di una matrice invertibile, calcolo di inverse destre e sinistre. Decomposizione EU, decomposizione LU.

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S9L1(2h)-23.11.2020 Applicazioni Lineari: riassunto ed esercizi sulle matrici a blocchi. Matrici invert- ibili come isomorfismi e come cambiamenti di base, relazioni tra le matrici delle stessa applicaziome lineare scritte in basi diverse.

S9L2(2h)-24.11.2020 Dualit` a: definizione di spazio duale, basi duali e dimensione del duale. Covettori come iperpiani dello spazio. Duali di applicazioni lineari e matrici trasposte. Biduale e teorema di bidualit` a.

Ortogonalit` a e antiisomorfismo involutorio tra reticoli di sottospazi di uno spazio e del suo duale.

S9R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi su sistemi lineari.

S9L3(1h)-25.11.2020 Dualit` a: nucleo e immagine di funzioni duali (ortogonali di immagine e nucleo

della funzione data). Duali di sottospazi e di quozienti.

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S10L1(2h)-30.11.2020 Determinanti: motivazioni (sistemi lineari quadrati, indipendenza lineare, cal- colo di volumi), definizioni (applicazioni lineari alternanti, formula esplicita con le permutazioni), molti- plicativit` a (teorema di Binet) e calcolo alla Gauss, esempi iniziali (matrici di ordine due e tre, diagonali, triangolari, elementari).

S10L2(2h)-1.12.2020 Determinanti: sviluppi di Laplace e applicazioni. Sviluppi con i cofattori alieni, matrice dei cofattori e calcolo della matrice inversa. Regola di Cramer per i sistemi quadrati invertibili.

Minori di una matrice e calcolo del rango; principio dei minori orlati e applicazione alle equazioni cartesiane di sottospazi.

S10R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi sui determinanti.

S10L3(1h)-2.12.2020 Esercizi sui determinanti: matrici a blocchi, Vandermonde,

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S10L4(1h)-9.12.2020 Esercizi sui determinanti.

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S11L1(2h)-14.12.2020 Equivalenza di matrici e classificazione per equivalenza (rango, matrici pseu- doidentiche).

S11L2(2h)-15.12.2020 Similitudine di matrici, esempi, autovalori e autovettori, criterio banale di dia- gonalizzabilit` a, criterio di tringolarizzabilit` a, indipendenza di autospazi, polinomio caratteristico, molteplicit` a e nullit` a di autovalori, primo criterio di diagonalizzabilit` a.

S11R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi (inversa di Vandermonde, fattorizzazione di mappe lineari).

S11L3(1h)-16.12.2020 Esercizi di calcolo di polinomi caratteristici (ogni polinomio ` e polinomio carat- teristico, della matrice compagna).

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S12L1(2h)-21.12.2020 Matrici e polinomi: mappa di valutazione, teorema di Hamilton-Cayley, poli- nomio minimo, teorema di decomposizione. Secondo criterio di diagonalizzabilit` a.

S12L2(2h)-22.12.2020 Esercizi di diagonalizzazione di matrici.

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S13L1(2h)-11.01.2021 Esercizi riassuntivi.

S13L2(2h)-12.01.2021 Caso dei campi finiti e degli spazi vettoriali sui campi finiti: conteggi di vettori, basi, sottospazi di fissata dimensione; realizzazione matriciale dei campi finiti estensione dei campi F

p

.

S13L3(1h)-13.01.2021 Lezione telematica su esercizi richiesti, in particolare diagonalizzazione simul-

tanea.

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S1L1(2h)-01.03.2021 Riassunto sulle forme canoniche per similitudine, triangolarizzazione e diagonal- izzazione. Decomposizione dello spazio secondo i divisori coprimi del polinomio minimo. Riduzione al caso di potenze di polinomi irriducibili.

S1L2(2h)-02.03.2021 Teoria di Jordan: riduzione al caso di un solo autovalore, riduzione al caso nilpotente. Matrici nilpotenti standard. Studio degli autospazi generalizzati, costruzione di una base in cui la matrice ` e a blocchi nilpotenti standard. Tipo di nilpotenza di una matrice nilpotente.

S1L3(1h)-03.03.2021 Rappresentazione tramite diagrammi di Young. Matrici (a blocchi) di Jordan e teorema di Jordan (un endomorfismo ammette matrice in forma di Jordan sse ` e triangolarizzabile, cio` e sse ha tutti gli autovalori nel campo).

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S2L1(2h)-08.03.2021 Applicazioni della teoria di Jordan: calcolo delle potenze di una matrice, espo- nenziale di una matrice... Esistenza di vettori ciclici per un endomorfismo.

S2L2(2h)-09.03.2021 Applicazioni della teoria di Jordan: calcolo del centralizzante e delle matrici polinomiali di una matrice data. Esempi di Jordanizzazione di matrici.

S2L3(1h)-10.03.2021 Considerazioni sui compiti di recupero e sui questionari. Introduzione generale alla parte di geometria.

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S3L1(2h)-15.03.2021 Definizione di spazio affine (insieme con azione fedele e transitiva di uno spazio vettoriale). Esempi: spazi affini standard, spazio affine dei complementari di un sottospazio vettoriale,

“vettori geometrici”.

S3R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi (esercizi su Jordan).

S3L2(2h)-16.03.2021 Riferimenti affini, punti in posizione generale, coordinate di punti in un rifer- imento e cambiamenti di riferimento (espressioni matriciali). Sottospazi affini, equazioni parametriche e cartesiane in un fissato riferimento.

S3L3(1h)-17.03.2021 Posizioni reciproche di sottospazi affini: incidenti, paralleli, sgembi, complemen- tari. Esempi. Formule di Grassmann affini (disuguaglianza con uguaglianza in caso di sottospazi incidenti o sghembi), fenomeni di parallelismo.

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S4L1(2h)-22.03.2021 Fasci e stelle di sottospazi affini, casi di iperpiani e rette. Risoluzione di problemi di incidenza (rette trasversali a tre date, generalizzazioni).

S4R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi

S4L2(2h)-23.03.2021 Discussione geometrica di Rouch´ e-Capelli. Coordinate baricentriche e loro pro- priet` a.

S4L3(1h)-24.03.2021 Coordinate baricentriche e loro propriet` a.

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S5L1(2h)-29.03.2021 Rapporti semplici, propriet` a principali. Teoremi classici (Ceva, Menelao, Talete, versioni affini di Desargues e Pappo).

S5R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi

S5L2(2h)-30.03.2021 Nozione di trasformazioni affini e affinit` a (rispettare il calcolo baricentrico, o i rapporti semplici per punti allineati, o avere sovrastante lineare a meno di traslazioni). Notazione vettoriale scelti dei punti come origine. Notazione matriciale scelti dei riferimenti affini.

S5L3(1h)-31.03.2021

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S5L4(1h)-07.04.2021 Traslazioni e affinit` a centrali, decomposizione di affinit` a, cenno al prodotto semidiretto (le traslazioni sono un sottogruppo normale isomorfo allo spazio direttore).

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S6L1(2h)-12.04.2021 Omotetie e parallelismo. Simmetrie e proiezioni affini. Proiezioni di centro

affine.

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S7L1(2h)-19.04.2021 Spazi vettoriali euclidei ed hermitiani. Prodotto scalare/hermitiano e sue pro- priet` a. Positivit` a, definizione di norma e propriet` a della norma. Spazi (affini) euclidei, distanza tra punti e sue propriet` a. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (caso euclideo e caso hermitiano), definizione di angoli tra vettori.

S7R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi

S7L2(2h)-20.04.2021 Ortogonalit` a. Proiezioni ortogonali. Basi ortogonali e ortonormali; matrici ortogonali e ortogonali speciali; matrici unitarie e unitarie speciali. Ricerca di basi ortonormali, procedimento di Gram-Schmidt.

S7L3(1h)-21.04.2021 Distanza tra sottospazi affini di spazi euclidei, punti di minima distanza.

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S8L1(2h)-26.04.2021 Spazi Euclidei: calcoli di distanze, angoli ecc.

S8R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi

S8L2(2h)-27.04.2021 Prodotto vettore (cross-product in dimensione n e caso particolare n = 3)) e sue propriet` a.

S8L3(1h)-28.04.2021 Teorema di Lagrange, generalizzazione di Binet-Gram (interpretazioni geomet- riche come generalizzazioni di teoremi classici: calcolo di aree di parallelogrammi, teorema di Pitagora), calcolo di volumi.

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S9L1(2h)-03.05.2021 Isometrie euclidee, definizioni equivalenti (rispettare il prodotto scalare o le norme; biiettivit` a e linearit` a sono implicate). Matrici in basi ortonormali: gruppo ortogonale e ortogonale speciale.

S9R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi

S9L2(2h)-04.05.2021 Propriet` a delle matrici ortogonali, simmetrie ortogonali (calcolo delle matrici in generale), teorema di Cartan-Dieudonn´ e nel caso euclideo: ogni isometria ` e composizione di simmetrie ortogonali rispetto a vettori.

S9L3(1h)-05.05.2021

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S10L1(2h)-10.05.2021 Studio dei gruppi ortogonali in dimensione 2 (relazione con S

¹

⊆ C), caso generale. Calcolo del numero di parametri da sui dipendono i gruppi ortogonali.

S10R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi

S10L2(2h)-11.05.2021 Studio dei gruppi ortogonali in dimensione 3, 4 (definizione dei quaternioni di Hamilton e rappresentazione delle isometrie: per coniugio in dimensione 3, per moltiplicazione a sinis- tra/destra in dimensione 4). Cenno agli ottonioni di Cayley e alle generalizzazioni.

S10L3(1h)-12.05.2021 Isometrie euclidee o rigidit` a: classificazione di Eulero nel piano (dirette/inverse,

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S11L2(2h)-18.05.2021 Applicazioni aggiunte, auto/anti-aggiunte, normali; spazi corrispondenti di matrici (trasposte coniugate, simmetriche/hermitiane, antisimmetriche/antihermitiane, normali). Teorema spettrale reale (una matrice ` e simmetrica sse ` e ortogonalmente diagonalizzabile; un’applicazione ` e autoag- giunta sse ammette una base ortonormale di autovettori), e complesso hermitiano (una matrice ` e normale sse

` e unitariamente diagonalizzabile; un’applicazione ` e normale sse ammette una base ortonormale di autovet- tori). Problemi di spettri (reale per matrici simmetriche/hermitiane, puramente immaginario per matrici antisimmetriche/antihermitiane, unitario per matrici ortogonali/unitarie) e caratterizzazioni corrispondenti.

S11L3(1h)-19.05.2021 Esercizi sulle rigidit` a; studio delle composizioni di due rotazioni nello spazio;

studio della composizione di una rotazione e una riflessione (ortogonale).

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S12L1(2h)-24.05.2021 Conseguenze del teorema spettrale: problemi di classificazione per equivalenza e similitudine ortogonali. Valori singolari (equivalenza ortogonale per matrici qualsiasi a matrici pseudodiago- nali, relazioni con gli autovalori delle matrici simmetriche) e decomposizione polare (ogni matrice quadrata ` e prodotto di una simmetrica/hermitiana e di una ortogonale/unitaria). Teorema di Schur (triangolarizzazione ortogonale).

S12R(2h) Ricevimento per domande ed esercizi

S12L2(2h)-25.05.2021 Pseudoinverse (caratterizzazioni geometrica ed algebrica, calcolo tramite de- composizioni a rango massimo e tramite valori singolari) ed applicazioni (soluzioni ai minimi quadrati per sistemi linerari, soluzioni di equazioni matriciali ).

S12L3(1h)-26.05.2021 Esercizi di riepilogo.

S12L4(1h)-26.05.2021 Esercizi di riepilogo.

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fuori programma

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S12L5(1h)-26.05.2021 Motivazioni per la Geometria Proiettiva: proiezioni di centro affine, problemi di parallelismo nelle intersezioni di sottospazi, omogeneizzazione dei sistemi lineari aggiungendo la variabile X

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. Definizione di spazio proiettivo (punti come sottospazi vettoriali di dimensione 1), relazione con gli spazi affini; modelli reali e complessi.

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S13L1(2h)-31.05.2021 Introduzione alla interpretazione proiettiva della dualit` a: spazio proiettivo

duale, principio di dualit` a ed esempi di asserzioni duali nel piano e nello spazio;

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