AMMISSIONE ALLA CLASSE DI SCIENZE SOCIALI DELLA SCUOLA GALILEIANA Prova di Matematica

AMMISSIONE ALLA CLASSE DI SCIENZE SOCIALI DELLA SCUOLA GALILEIANA Prova di Matematica

Padova, 7 Settembre 2018

PROBLEMA 1

Sia r 1 un cono circolare retto di altezza h e raggio di base R. Chiamiamo A il vertice di r 1. Sia poi B1 la palla (sfera solida) iscritta nel cono. L'intersezione tra l'asse del cono e B1 è un segmento che risulta essere un diametro di B 1. Uno dei due estremi di questo diametro appartiene alla base del cono. Si chiami l'altro estremo E 1 e si consideri il piano passante per E 1 ortogonale all'asse del cono; questo piano divide r 1 in un tronco di cono (che contiene B1) e in un cono, che chiamiamo r 2 (r2 ha vertice A) .

Sia B2 la palla iscritta in r2. L'asse del cono interseca B2 in un segmento con un estremo in E 1. Chiamiamo E 2 l'altro estremo del segmento. Il piano ortogonale all'asse di r 1 passante per E2 separa r 1 in un tronco di cono (che contiene B1 U B

e in un cono che chiamiamo r 3 (r3 ha vertice A). Sia B3 la palla iscritta in r

Iterando il processo precedente si costruiscano n palle { B1, B

Bn} ( n E N) con centro sull'asse di r

(1) Si calcoli in funzione di h e di R il volume del solido ottenuto sottraendo B1 e B2 a r1 .

(2) Si determini in funzione di h e di R il volume del solido ottenuto sottraendo B1UB2UB3dar1.

(3) Si ricavi una formula per il volume Vn del solido ottenuto sottraendo B

U B2 U

· · · U Bn da r 1. Si calcoli infine

lim Vn.

n-too

Ricordiamo che il volume di una palla di raggio r è !wr

e che il volume di un cono circolare retto di altezza h e raggio di base R è wR

h/3.

PROBLEMA 2

Si determini quante soluzioni (x, y, z) dell'equazione x+y+z=n

con x, y, z numeri interi strettamente positivi (x, y, z E N \{O}) soddisfano le tre disugua- glianze

{

x:s;y+z y<x+z

Z

:s;

y.

(Si considerino div erse le soluzioni che differiscono nell'ordine dei termini.)

1

2

PROBLEMA 3

Sia {a

,an} l'insieme (non ordinato) dei primi n numeri interi positivi, sia, cioè, {ai

· · · a }

= {1

· · ·

n}

(1) Si dimostri che

a2 a3 an

ai + - ₂ + - ₃ + · · · + - n > - n.

(2) Si stabilisca quando e se può valere l'uguaglianza.

Per le soluzioni contattare il Prof. Paolo Ciatti paolo.ciatti@unipd.it