x2− y2 a) determinare e disegnare il dominio D di f (1pt)

Corso di Laurea in Informatica 21 sett. 2011 tema A

Complementi di Matematica (mod.Analisi) (4 cfu) 1) Risolvere il problema di Cauchy (6pt)

½ y⁰= 3x²(−y + 1 + x³) y(0) = 3

2) Risolvere l’equazione differenziale 4y⁰⁰+ y = 0 con le condizioni iniziali y(π) = 1 e y⁰(π) = −1 (4pt).

3) Data la seguente funzione

f (x, y) = log(x − 3y) + x²− y² a) determinare e disegnare il dominio D di f (1pt);

b) determinare i punti stazionari di f (4pt) e stabilirne la natura (3pt);

c) calcolare le derivate direzionali di f (x, y) nel punto P = (1, −1) nelle direzioni determinate dalla retta di equazione y = −x + 1 = 0 (2pt).

4) Sia D la regione D =©

(x, y) ∈ R²| x²+ y²≤ 2, y ≥ −√³ xª

. Disegnare D (2pt) e calcolare l’integrale (8pt)

Z Z

D

y dxdy .