Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N.
Precorso di Matematica APPUNTI
(preparati da Pier Luigi Ferrari)
3. Piano cartesiano
Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine per entrambi. Ciascuno dei due assi è dotato di un’unità di misura (non necessariamente la stessa). Una volta che ciascun asse è dotato di origine e di unità di misura ogni suo punto può essere associato a uno e un solo numero reale. Se si tracciano da un punto qualunque del piano le perpendicolari agli assi coordinati, i numeri associati alle intersezioni delle perpendicolari con gli assi coordinati sono le coordinate del punto.
Ogni punto del piano cartesiano può quindi essere rappresentabile come coppia ordinata di numeri reali. Per questo nelle formule i punti del piano vengono identificati con coppie di numeri reali, e il piano cartesiano viene denotato \2
Esempi
La coppia (1, -2) rappresenta il punto di ascissa 1 e ordinata –2.
La coppia (-2, 1) rappresenta il punto di ascissa –2 e ordinata 1.
La figura a sinistra rappresenta una porzione di piano cartesiano in coordinate isometriche. Sono evidenziati i punti ((1,-2) e (-2,1) e le relative perpendicolari agli assi coordinari.
La corrispondenza fra i punti del piano e le coppie ordinate di numeri reali consente di rappresentare sottoinsiemi del piano attraverso relazioni numeriche.
Nella figura che segue è rappresentato (attraverso la punteggiatura) l’insieme dei punti del piano la cui ascissa è minore di –1. In formula:
{ (
x y,)
∈\2 x < −1}
−6 −4 −2 2 4 6
−2
−1 1 2
x y
Nella figura seguente è rappresentato, in coordinate non isometriche, l’insieme dei punti le cui coordinate x, y verificano la relazione x+y=1. In formula:
{ (
x y,)
∈\2 x + =y 1}
−6 −4 −2 2 4 6
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
x y
3.1. Rette
Le rette del piano cartesiano sono rappresentabili mediante equazioni. Due sono le forme più usate:
y=mx+n (forma esplicita) le rette verticali, cioè parallele all’asse delle ordinate non sono rappresentabili in questa forma
ax+by+c=0 (forma implicita) tutte le rette del piano sono rappresentabili in questa forma.
Esempi
Consideriamo la retta di equazione y=2x-3.
◊ È vero che il punto (2, 3) sta sulla retta? No, perché se si sostituiscono il valore 2 a x e il valore 3 a y la relazione non è verificata.
◊ È vero che il punto (7, 11) sta sulla retta? Sì, perché se si sostituiscono il valore 7 a x e il valore 11 a y la relazione è verificata.
Consideriamo la retta di equazione x+3y-5=0.
◊ È vero che il punto (8, -1) sta sulla retta? Sì, perché se si sostituiscono il valore 8 a x e il valore -1 a y la relazione è verificata.
◊ È vero che il punto (-1, 8) sta sulla retta? No, perché se si sostituiscono il valore -1 a x e il valore 8 a y la relazione non è verificata.
◊ È vero che il punto (0, 0) sta sulla retta? No, perché se si sostituiscono il valore 0 a x e il valore 0 a y la relazione non è verificata.
La retta di equazione y=2x-3 può essere rappresentata dall’equazione equivalente in forma implicita 2x-y-3=0.
La retta di equazione x+3y-5=0 può essere rappresentata dall’equazione equivalente in forma
esplicita 5
3 3
= − +x
y .
Significato dei parametri
Consideriamo una retta di equazione y=mx+n.
♦ Che cosa succede se m rimane costante e n viene fatto variare? Il diagramma che segue mostra alcuni casi.
♦ Che cosa succede se n rimane costante e m viene fatto variare? Di seguito vediamo i grafici delle rette di equazione y=mx+1 per m=3, m=1, m=0, m=-1, m= 1
− . 3
−6 −4 −2 2 4 6
−4
−3
−2
−1 1 2 3 4
x y
Il parametro m è chiamato anche coefficiente angolare e determina la pendenza della retta.
Il parametro n determina l’ordinata del punto in cui la retta taglia l’asse delle y (cioè, in corrispondenza di x=0). Il punto in cui la retta taglia l’asse delle x (cioè, per y=0) ha come ascissa
n
−m.
Data una retta (che non sia verticale) la sua rappresentazione nella forma y=mx+n è univocamente determinata. In altri termini, data una retta non verticale, esistono unici m, n (
m n
) tali che l’equazione y=mx+n rappresenta la retta., ∈ \
Data una retta qualunque, la sua rappresentazione nella forma ax+by+c=0 non è univocamente determinata. I parametri a, b, c sono determinati a meno di un coefficiente moltiplicativo. Quindi al variare di k (k ∈ \*) tutte le equazioni della forma kax+ kby+ kc=0 rappresentano la stessa retta.
Esempio
Le equazioni 4x-0.5y+1=0 e -4x+0.5y-1=0 rappresentano la stessa retta. Per verificarlo basta osservare che la seconda equazione si può riscrivere come -(4x-0.5y+1)=0 e che quindi ha evidentemente le stesse soluzioni della prima, oppure scegliere 2 punti che soddisfano la prima equazione (ad esempio, (0,2) e (1, -4)) e verificare che soddisfano anche la seconda. Infatti, date due rette del piano, esistono solo tre possibilità:
• non hanno punti in comune (rette parallele non coincidenti);
• hanno un solo punto in comune (rette incidenti);
• sono la stessa retta (rette coincidenti).
Quindi se due rette hanno almeno 2 punti in comune, allora coincidono.
3.2. Parallelismo
Da quanto osservato nella sezione precedente, segue che 2 rette sono parallele se hanno la stessa pendenza.
Esempio
Le rette di equazione rispettivamente y=-2x-1, x+0.5y+3=0, 2x+y-p=0
sono parallele (per ogni valore reale di p). Il coefficiente angolare della prima è -2, come pure quelli delle altre due.
3.3. Sistemi lineari
Abbiamo visto che un’equazione della forma ax+by+c=0, se a e b non sono entrambi nulli, è soddisfatta da infiniti punti del piano cartesiano. In altre parole l’equazione ha infinite soluzioni. Se cerchiamo i punti che soddisfano contemporaneamente due equazioni di quella forma, dobbiamo risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite, usualmente rappresentato come segue
0
' ' '
ax by c a x b y c
+ + =
+ + =
0
0 0
0 0
Un problema di questo tipo equivale a cercare le intersezioni nel piano cartesiano fra le rette rappresentate dalle due equazioni. Da questo punto di vista ci sono tre possibilità:
Le due equazioni rappresentano una sola retta: in tal caso il sistema ha infinite soluzioni.
Esempio: il sistema 2 3 1
6 9 3
x y x y
+ − =
+ − =
Le due rette sono distinte ma parallele: in tal caso il sistema non ha soluzioni. Esempio: il sistema 2 3 2
6 9 3
x y x y
+ − =
+ − =
Le due rette non sono parallele: in tal caso il sistema ha una sola soluzione. Esempio: il
sistema 2 1
6 9 3
x y x y
+ − =
+ − =
0 0
0
Per verificare se le due rette sono parallele, è sufficiente calcolare il loro coefficiente angolare.
Quindi dato un generico sistema della forma 0 possono accadere tre cose:
' ' '
ax by c a x b y c
+ + =
+ + =
' '
a a
b b
− = − e ' '
c c
b −b
− = : le equazioni rappresentano una sola retta.
' '
a a
b b
− = − e ' ' c
b −bc
− ≠ : le equazioni rappresentano rette distinte e parallele.
' '
a a
b b
− ≠ − : le equazioni rappresentano rette non parallele.
Problemi
1) Trovate le intersezioni delle rette di equazione 3x-3y=1 e 4x+2y=3.
2) Trovate le intersezioni delle rette di equazione 4x-3y=15 e 3x+2y=7 3) Trovate le intersezioni delle rette di equazione 3x-3y=1 e -6x+6y+2=0 4) Trovate le intersezioni delle rette di equazione x-5y=1 e 2x-10y=3
