Capitolo
5
Limiti di successioni
5.1 Successioni
Quando l’insieme di definizione di una funzione coincide con l’insieme N costituito dagli infiniti numeri naturali 1, 2, 3, . . . (talvolta si considera anche lo zero), si ha una legge che ad ogni numero naturale fa corrispondere un determinato numero reale; in questo caso, invece di usare la notazione y = f (x), si usa la notazione {an} per indicare il valore assunto dalla funzione in corrispondenza del generico numero naturale. Si utilizza la lettera n per indicare la variabile, ponendola come indice nel simbolo che indica il corrispondente valore assunto dalla funzione. E invece di parlare di una funzione definita nell’insieme N dei numeri naturali, si parla di una successione di numeri reali, indicandola con
a1, a2, a3, . . . , an, . . . oppure {an}
n∈N, oppure {an}. (5.1) Con ci`o si intende esprimere che esiste una legge che a ciascuno dei numeri naturali 1, 2, 3, . . . , n, . . . fa corrispondere un determinato numero reale i cui valori si designano rispettivamente con a1, a2, a3, . . . , an, . . ..
Per definire una successione occorre dare la legge predetta, il che di solito si ottiene con una formula che esprime il valore del termine generico nella forma an = f (n).
5.2 Definizione di limite
Sia data una successione {an} e sia l un numero reale. Si dice che la successione {an} `e convergente al limite l e si scrive
lim
n→∞an = l (5.2)
quando, comunque si fissi un numero positivo ε, esiste in corrispondenza ad esso un ν ∈ N tale che, per ogni n ∈ N che sia maggiore di ν, risulti
l − ε < an< l + ε (5.3)
o, ci`o che `e lo stesso:
|an− l| < ε (5.4)
Si dice che la successione {an} `e divergente a +∞ (ovvero che diverge o tende a +∞) e si scrive
n→∞lim an = +∞ (5.5)
quando, comunque si fissi un numero reale k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un ν ∈ N tale che, per ogni n ∈ N che sia maggiore di ν, risulti
an > k .
Analogamente dice che la successione {an} `e divergente a −∞ (ovvero che diverge o tende a −∞) e si scrive
n→∞lim an = −∞ (5.6)
quando, comunque si fissi un numero reale k > 0, esiste in corrispondenza ad esso un ν ∈ N tale che, per ogni n ∈ N che sia maggiore di ν, risulti
an < −k .
Le successioni convergenti o divergenti si chiamano complessivamente successioni regolari;
si chiamano anche successioni che ammettono un limite determinato (finito nel caso delle successioni convergenti; infinito in quello delle successioni divergenti). Le successioni che non ammettono limite si chiamano successioni indeterminate.
Esponiamo nel seguito alcuni risultati che conseguono immediatamente dalla definizione di limite.
5.2.I (Permanenza del segno) Se la successione {an} `e regolare ed ha un limite diverso da zero, allora, per n abbastanza grande, i suoi termini an hanno lo stesso segno del limite.
5.2.II Se una successione {an} `e convergente, l’insieme costituito dai numeri an`e limitato.
Data una successione {an} e fissata una qualsiasi successione crescente p1 < p2 < p3 < . . . di numeri naturali, possiamo considerare la successione {bn} i cui termini sono cos`ı definiti:
b1 = ap
1, b2 = ap
2, b3 = ap
3, . . . , bn = ap
n, . . . ;
essa si chiama una successione parziale (o subordinata) della successione data {an} e si ha in proposito il seguente risultato:
5.2.III Se la successione {an} `e regolare, ogni sua successione parziale {bn} `e pure regolare ed ha lo stesso limite della prima.
Passando a considerare simultaneamente pi`u successioni, si hanno i seguenti risultati.
5.2.IV Date due successioni {an} e {bn}, supponiamo che da un certo indice in poi sia an < bn oppure an6 bn. Allora, se le due successioni sono entrambe regolari, si ha
n→∞lim an 6 lim
n→∞bn.
5.2. Definizione di limite
Se si suppone bn = b (costante) si deduce immediatamente il seguente risultato.
5.2.V Data la successione {an}, supponiamo che da un certo indice in poi sia an < b oppure an6 b. Allora, se la successione `e regolare, si ha
lim
n→∞an 6 b . Analogamente con le disuguaglianze opposte.
Si ha poi il seguente risultato.
5.2.VI Date le tre successioni {an}, {bn}, {cn}, supponiamo che da un certo indice in poi sia an 6 cn 6 bn. Allora, se le due successioni an, bn sono regolari ed hanno il medesimo limite, anche la cn `e regolare con quello stesso limite.
Il prossimo risultato riguarda una importante categoria di successioni regolari, le succes- sioni monotone. In analogia a quanto visto per le funzioni, si dir`a che la successione {an}
`e non decrescente [non crescente] quando, comunque si prendano due indici m < n, si ha sempre am 6 an [am > an].
5.2.VII Ogni successione monotona {an} `e regolare (convergente o divergente). Se essa `e crescente o non decrescente, il suo limite `e finito o +∞ e coincide con l’estremo superiore dell’insieme dei valori assunti dai termini an. Se la successione `e decrescente o non crescente, il suo limite `e finito o −∞ e coincide con l’estremo inferiore dell’insieme dei valori assunti dai termini an.
Una immediata applicazione di questo risultato consente di definire il numero e, la costante di Nepero.
Consideriamo la successione descritta dalla formula an =
1 + 1
n
n
(5.7) e dimostriamo che essa `e convergente. Faremo cio`e vedere che:
1. la successione (5.7) `e crescente;
2. l’insieme dei numeri an `e limitato superiormente.
Per provare che an cresce al crescere di n, osserviamo che, per la formula del binomio (A.12), si ha
an =
n
X
k=0
n k
1 n
k
=
n
X
k=0
n(n − 1) . . . (n − k + 1) k!
1 nk
=
n
X
k=0
1 k!·n
n·n − 1
n ·n − 2
n · . . . · n − k + 1 n
vale a dire
an=
n
X
k=0
1 k!
1 −1
n
1 − 2
n
. . .
1 −k − 1 n
; (5.8)
il termine an viene quindi espresso come somma di n + 1 addendi positivi. Consideriamo ora il termine successivo an+1 per il quale si pu`o scrivere
an+1 =
n+1
X
k=0
1 k!
1 − 1 n + 1
1 − 2 n + 1
. . .
1 −k − 1 n + 1
; (5.9)
ed `e somma di n + 2 addendi positivi. Poich´e 1 − 1
n + 1 > 1 − 1
n, 1 − 2
n + 1 < 1 − 2
n, . . . ,
si vede che ciascuno degli n + 1 termini della somma (5.8) `e minore del corrispondente termine della somma (5.9); inoltre in quest’ultima vi `e un termine (positivo) in pi`u. Dunque
`e sicuramente an < an+1 e questo prova che la successione (5.7) `e crescente. Ne deriva, fra l’altro, che, essendo a1 = 2 si ha sempre
an > 2. (5.10)
Dimostriamo ora che i numeri an formano un insieme limitato superiormente e precisa- mente dimostriamo che si ha sempre
an < 3. (5.11)
Infatti dalla (5.8) segue evidentemente an <
n
X
k=0
1
k! = 1 + 1 + 1
1 · 2 + 1
1 · 2 · 3 + . . . 1 1 · 2 · . . . n
ma si ha 1 · 2 · 3 > 1 · 2 · 2 = 22, 1 · 2 · 3 · 4 > 1 · 2 · 2 · 2 = 23, . . ., cosicch´e a maggior ragione sar`a
an < 2 +1 2 + 1
22 + . . . + 1
2n−1 = 2 +1 2
1 +1
2+ 1
22 + . . . + 1 2n−2
, vale a dire, esprimendo opportunamente il termine in parentesi,
an< 2 + 1 2
1 − 1 2
n−1
1 −1
2
= 3 − 1 2
n−1
< 3
e con ci`o `e provata la (5.11). La (5.7) `e dunque convergente e, per le (5.10) e (5.11), si ha:
2 6 lim
n→∞an < 3.
5.3. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate
Tale limite si indica con la lettera e e si chiama costante di Nepero. Si ha dunque per definizione
e = lim
n→∞
1 +1
n
n
.
Si pu`o dimostrare che e `e un numero irrazionale; con 15 cifre decimali esatte si ha:
e = 2, 718281828459045 . . . .
Si possono considerare i logaritmi in base e; essi prendono il nome di logaritmi naturali, e si suole indicarli semplicemente con log x in luogo di logex. Vedremo che, da un punto di vista teorico, essi sono i pi`u opportuni.
5.3 Operazioni sui limiti. Forme indeterminate
Date due successioni {an}, {bn}, restano ovviamente definite le quattro successioni {an+bn}, {an− bn}, {anbn}, {an/bn} (quest’ultima se si ha sempre bn 6= 0), che si chiamano rispetti- vamente successione somma, differenza, prodotto, quoziente delle due successioni date. Cos`ı pure, data una successione {an} di numeri tutti diversi da zero, si pu`o considerare la suc- cessione {1/an}, detta successione reciproca della data; se tutti gli an sono positivi, si pu`o considerare la successione {log an}.
Valgono i seguenti risultati.
5.3.I Se le due successioni {an}, {bn} sono convergenti rispettivamente ai limiti l, l0, anche le due successioni {an+ bn}, {an− bn}, sono convergenti, la prima al limite l + l0, la seconda al limite l − l0.
5.3.II Se le due successioni {an}, {bn} sono convergenti rispettivamente ai limiti l, l0, anche la successione prodotto {anbn} `e convergente, ed il suo limite vale l l0.
5.3.III Sia {an} convergente al limite l; se `e an 6= 0 per ogni n e l 6= 0, allora la successione reciproca {1/an} `e convergente al limite 1/l.
5.3.IV Le successioni {an}, {bn} siano convergenti rispettivamente ai limiti l, l0; sia inoltre bn 6= 0 per ogni n e l0 6= 0. Allora la successione quoziente {an/bn} `e convergente al limite l/l0.
5.3.V Sia {an} convergente al limite l. Se i suoi termini sono tutti positivi e se l > 0, allora la successione {log an} `e convergente al limite log l.
5.3.VI Sia {an} convergente al limite l. Allora la successione {ean} `e convergente ed il suo limite vale el.
Questi risultati si riferiscono a successioni convergenti. Risultati simili si hanno quando si prendono in considerazione una o due successioni divergenti. Li elenchiamo qui di seguito.
lim
n→∞an= l, lim
n→∞bn= +∞ ⇒ lim
n→∞(an+ bn) = +∞ ,
n→∞lim an= l, lim
n→∞bn= −∞ ⇒ lim
n→∞(an+ bn) = −∞ , lim
n→∞an= +∞, lim
n→∞bn= +∞ ⇒ lim
n→∞(an+ bn) = +∞ ,
n→∞lim an= −∞, lim
n→∞bn= −∞ ⇒ lim
n→∞(an+ bn) = −∞ . Non `e considerato qui il caso in cui
n→∞lim an = +∞, lim
n→∞bn = −∞ ; In tal caso, infatti, nulla si pu`o dire in generale circa
lim
n→∞(an+ bn) ,
che potrebbe anche non esistere. Si suole esprimere questo fatto dicendo che ∞ − ∞ `e una forma indeterminata.
Un secondo gruppo di risultati `e il seguente.
n→∞lim an = l, l 6= 0, lim
n→∞bn = +∞ ⇒ lim
n→∞anbn=
( +∞ (l > 0) ,
−∞ (l < 0) ,
n→∞lim an = l, l 6= 0, lim
n→∞bn = −∞ ⇒ lim
n→∞anbn=
( −∞ (l > 0) , +∞ (l < 0) ,
n→∞lim an = +∞, lim
n→∞bn = +∞ ⇒ lim
n→∞anbn = +∞ , lim
n→∞an = +∞, lim
n→∞bn = −∞ ⇒ lim
n→∞anbn = −∞ ,
n→∞lim an = −∞, lim
n→∞bn = −∞ ⇒ lim
n→∞anbn = +∞ . In questo gruppo di teoremi non sono presi in esame i casi
n→∞lim an= 0, lim
n→∞bn= ±∞ ; in tali casi, infatti, nulla si pu`o dire in generale circa
n→∞lim anbn,
che potrebbe anche non esistere. Si suole dire che 0 · ∞ `e una forma indeterminata.
5.3. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate
Si hanno ancora i seguenti risultati.
lim
n→∞an = l, lim
n→∞bn = ±∞, bn 6= 0 ⇒ lim
n→∞
an bn = 0 , lim
n→∞an = +∞, lim
n→∞bn = l, bn 6= 0, l 6= 0 ⇒ lim
n→∞
an bn =
( +∞ (l > 0) ,
−∞ (l < 0) ,
n→∞lim an = −∞, lim
n→∞bn = l, bn 6= 0, l 6= 0 ⇒ lim
n→∞
an bn =
( −∞ (l > 0) , +∞ (l < 0) , lim
n→∞an= l 6= 0, oppure lim
n→∞an = ±∞, lim
n→∞bn = 0, bn 6= 0 ⇒ lim
n→∞
an bn
= +∞ . In questo gruppo non sono presi in esame i casi
n→∞lim an= ±∞, lim
n→∞bn = ±∞
,
n→∞lim an = 0, lim
n→∞bn = 0
; poich´e in tali casi nulla si pu`o dire in generale sul
n→∞lim an bn ,
che potrebbe anche non esistere. Si suole dire che ∞/∞ e 0/0 sono forme indeterminate.
Si hanno poi i seguenti risultati.
an> 0, lim
n→∞an = 0 ⇒ lim
n→∞log an = −∞ , an > 0, lim
n→∞an = +∞ ⇒ lim
n→∞log an= +∞ ,
n→∞lim an = +∞, ⇒ lim
n→∞ean = +∞ ,
n→∞lim an = −∞, ⇒ lim
n→∞ean = 0 .
Da quanto precede si vede che, adottando opportune convenzioni di scrittura, `e possibile riassumere tutti i risultati elencati dicendo che: il limite di una somma o di un prodotto, o di un quoziente `e uguale rispettivamente alla somma, o al prodotto o al quoziente dei limiti, a meno che non si presenti una delle forme indeterminate ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞/∞, 0/0 (giacch´e allora non `e possibile dare alcun risultato generale e la questione va esaminata caso per caso); inoltre il limite di un logaritmo (o di un esponenziale) `e uguale al logaritmo (o all’esponenziale) del limite.
Da questi risultati se ne possono trarre altri, come ad esempio il seguente:
5.3.VII Se an > 0 e lim
n→∞an = l > 0, allora, qualunque sia il numero reale α, si ha
n→∞lim anα = lα.
5.4 Criterio di convergenza di Cauchy
Il criterio di convergenza di Cauchy permette di riconoscere se una data successione {an} sia o non sia convergente. Esso si enuncia come segue:
5.4.I Condizione necessaria e sufficiente affinch´e una data successione {an} sia convergente
`e che, comunque si fissi un numero positivo ε, esista in corrispondenza ad esso un indice νε tale che, presi ad arbitrio due indici m, n entrambi maggiori di νε, risulti
|am− an| < ε. (5.12)
5.5 Infinitesimi ed infiniti
Si dice che la successione {an} `e un infinitesimo quando si ha lim an= 0 per n → ∞; si dice che `e un infinito quando si ha lim |an| = +∞ per n → ∞.
Quindi, dire che {an} `e un infinitesimo significa che, dato ad arbitrio ε > 0, si ha |an| < ε per n abbastanza grande; dire che an `e un infinito significa che, dato ad arbitrio k > 0, si ha
|an| > k per n abbastanza grande.
Supposto che sia sempre an 6= 0, per cui `e possibile considerare la successione reciproca {1/an}, si ha:
5.5.I Se {an} `e un infinitesimo allora {1/an} `e un infinito. Se {an} `e un infinito allora {1/an} `e un infinitesimo.
Vediamo ora cosa accade con il prodotto di due infinitesimi o di due infiniti.
5.5.II Se {an}, {bn} sono infinitesimi [infiniti], anche la successione prodotto {anbn} `e un infinitesimo [un infinito].
Invece il prodotto di un infinitesimo per un infinito d`a luogo alla forma indeterminata 0 · ∞ e nulla si pu`o dire in generale sul limite di esso.
5.5.III Se la successione {an} `e un infinitesimo e la successione {bn} `e limitata, allora il prodotto {anbn} `e un infinitesimo.
5.5.IV Se la successione {an} `e un infinito e i termini della successione {bn} sono tali che esiste una costante positiva h in modo da aversi |bn| > h da un certo indice in poi, allora il prodotto {anbn} `e un infinito.
Circa il quoziente di due infinitesimi o di due infiniti, nulla si pu`o dire in generale perch´e ci si imbatte nelle forme indeterminate 0/0, ∞/∞. Vanno per`o introdotte alcune locuzioni.
5.5. Infinitesimi ed infiniti
Dati due infinitesimi {an}, {bn} e supposto che sia sempre bn 6= 0 in modo da poter considerare il quoziente {an/bn}, pu`o darsi che esista il lim |an/bn| per n → ∞; possono aversi le tre seguenti situazioni:
n→∞lim
an bn
= 0, (5.13)
n→∞lim
an bn
= l > 0, (5.14)
lim
n→∞
an bn
= +∞. (5.15)
Nel caso (5.13) si dice che {an} `e un infinitesimo di ordine superiore a {bn}; nel caso (5.14) si dice che {an} e {bn} sono infinitesimi dello stesso ordine; nel caso (5.13) si dice che {an} `e un infinitesimo di ordine inferiore a {bn}.
Analogamente, se {an}, {bn} sono infiniti, pu`o darsi che esista il lim |an/bn| per n → ∞;
possono aversi le tre seguenti situazioni:
n→∞lim
an bn
= +∞, (5.16)
n→∞lim
an bn
= l > 0, (5.17)
lim
n→∞
an bn
= 0. (5.18)
Nel caso (5.16) si dice che {an} `e un infinito di ordine superiore a {bn}; nel caso (5.17) si dice che {an} e {bn} sono infiniti dello stesso ordine; nel caso (5.18) si dice che {an} `e un infinito di ordine inferiore a {bn}.
Per esprimere che {an} `e un infinitesimo di ordine superiore a {bn}, si suole scrivere:
an = o (bn) (n → ∞). (5.19)
E inutile introdurre una notazione apposita per gli infiniti; per esprimere che {a` n} `e un infinito di ordine superiore a {bn}, si pu`o scrivere:
1
an = o 1 bn
(n → ∞). (5.20)
Diamo un’altra locuzione di largo uso. Se {cn} `e un infinitesimo [infinito], lo `e anche evidentemente {|cn|α} ove α `e un qualunque numero reale positivo. Dato un altro infinitesimo [infinito] {an}, pu`o accadere che si riesca a trovare un α > 0 in modo che {an} e {|cn|α} siano
infinitesimi [infiniti] dello stesso ordine; si dice allora che {an} `e un infinitesimo [infinito] di ordine α rispetto all’infinitesimo [infinito] principale {cn}. Questo significa che:
n→∞lim
|an|
|cn|α = l > 0. (5.21)
Di regola si assume come infinitesimo principale cn = 1/n e come infinito principale cn = n. Allora, dire che {an} `e un infinitesimo di ordine α significa che
lim
n→∞
|an|
(1/n)α = lim
n→∞ nα|an| = l > 0;
dire che {an} `e un infinito di ordine α significa che
n→∞lim
|an|
nα = l > 0.
Aggiungiamo un’osservazione che ha notevole importanza pratica. Si debba studiare il limite del rapporto tra due infinitesimi {an}, {bn}. Supponiamo che sia an = a0n + a00n, bn = b0n+ b00n con {a00n} infinitesimo di ordine superiore rispetto a {a0n} e {b00n} infinitesimo di ordine superiore rispetto a {bn0 }. Si pu`o allora scrivere
an
bn = a0n+ an00 b0n+ b00n = an0
b0n
1 + an00/a0n 1 + bn00/b0n
e poich´e l’ultima frazione ha limite (1 + 0)/(1 + 0) = 1, si deduce che lo studio dei limiti an/bn e a0n/b0n sono equivalenti. In altre parole nello studio del limite di an/bn basta tener conto sia a numeratore che a denominatore dei termini che hanno ordine di infinitesimo pi`u basso.
Analogamente nel caso che {an}, {bn} siano infiniti, si vede immediatamente che in tal caso basta tener conto sia a numeratore che a denominatore dei termini che hanno ordine di infinito pi`u alto.
Accanto al simbolo o (o piccolo) introdotto con la (5.19), sono largamente usati altri due simboli: O (o grande), ∼ (uguaglianza asintotica), i cui significati sono i seguenti.
Date due successioni {an}, {bn}, scrivendo:
an = O (bn) (n → ∞) (5.22)
si intende esprimere che bn 6= 0 e che il rapporto an/bn descrive un insieme limitato: esiste cio`e una costante K > 0 tale da aversi
an bn
< K, ∀ n.
5.5. Infinitesimi ed infiniti
Con la scrittura
an ∼ (bn) (n → ∞) (5.23)
che si legge an `e asintotica a bn per n → ∞, si intende esprimere che bn 6= 0 e che lim
n→∞
an bn = 1.
E ovvio che si pu`` o anche scrivere an= bn[1 + o(1)].
