Definizione assiomatica di equazione differenziale ordinaria

Definizione assiomatica di equazione differenziale ordinaria

Marcello Colozzo –http://www.extrabyte.info

Definizione 1 Dicesi equazione differenziale ordinaria di ordine n, un’equazione che stabilisce un legame funzionale tra una funzione reale y = y (x) e le sue derivate fino all’ordine n, in cui la funzione y (x) compare come incognita. Quindi:

F x, y, y^′, y^′′, ..., y⁽ⁿ⁾
= 0, (1) essendo F una funzione reale assegnata e definita in A ⊆ Rⁿ⁺².

Osservazione 2 L’equazione differenziale (1) `e scritta nella notazione apicale di Lagrange.

Nella notazione di Leibnitz si scrive:

F



x, y,dy dx,d²y

dx², ...,dⁿy dxⁿ



= 0

Osservazione 3 L’ordine di un’equazione differenziale `e l’ordine massimo della derivata della funzione incognita.

Ad esempio, l’equazione differenziale:

y^′− 8xy²+ 20x = 0 L’equazione differenziale:

y^′′+ y^′sinh x − y = 0,

`e del secondo ordine, come anche l’equazione differenziale (y^′′)³− (y^′)²x² + y ln x = 0

Definizione 4 Un integrale dell’equazione differenziale (1) `e una funzione η : I → R

x−→η(x)

derivabile n volte in I e tale che

F x, η (x) , η^′(x) , η^′′(x) , ..., η⁽ⁿ⁾(x) = 0, ∀x ∈ I, essendo I un intervallo non vuoto di R.

Definizione 5 Una curva integrale dell’equazione differenziale (1) `e il diagramma carte- siano di un qualunque integrale η (x). Cio`e:

γ =(x, y) ∈ R² | x ∈ I, y = η (x)

Definizione 6 Un’equazione differenziale di ordine n si dice di forma normale se `e espli- citata rispetto alla derivata y<sup>(n)</sup>. Cio`e:

y⁽ⁿ⁾= f x, y, y^′, y^′′, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾
, (2) dove f `e una funzione reale definita in B ⊆ Rⁿ⁺¹.

Esaminiamo il caso speciale in cui la funzione f nella (2) dipende dalla sola variabile x . Precisamente, se f : X → R `e continua nell’intervallo X ⊆ R , l’equazione differenziale:

y^′ = f (x) , (3)

`e un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine di forma normale. Un suo integrale

`e:

y (x) = c +

x

Z

a

f (t) dt, (a ∈ X),

essendo c una costante reale. Infatti¹:

y^′(x) = d dx



c +

x

Z

a

f (t) dt,





= d dx

x

Z

a

f (t) dt = f (x) · 1 − f (a) · 0

= f (x) Esempio 7

y^′ = x² Qui `e f (x) = x², per cui:

y (x) = c +

x

Z

a

t²dt = c + 1

3 x³− a³

(4)

Le costanti c e a possono essere incorporate in un’unica costante C : y (x) = 1

3x³+ C, ∀C ∈ R (5)

1Ricordiamo che per f : X → R continua in X e α (x), β (x) funzioni ivi derivabili:

d dx

β(x)

Z

α(x)

f(t) dt = f [β (x)] · β^′(x) − f [α (x)] · α^′(x)

Ad esempio, si voglia calcolare la derivata prima della funzione:

G(x) =

√x

Z

1/x

cos t²dt

Risulta:

G^′(x) = cos x · 1 2√

x− cos 1 x²



·



−1 x²



= 1

2√

xcos x + 1

x²cos 1 x²



Osservazione 8 All’atto pratico, l’equazione differenziale y^′ = f (x) si integra scrivendo:

y (x) = Z

f (x) dx

La costante di integrazione comparir`a eseguendo il calcolo dell’integrale indefinito. Notiamo infine che l’integrale y (x) `e una primitiva della funzione f (x). `E, tuttavia, consuetudine scrivere:

y (x) = C + Z

f (x) dx, dove C `e la costante di integrazione.

Vediamo, dunque, che la totalit`a degli integrali dell’equazione differenziale y^′ = f (x) contiene una costante arbitraria C ∈ R, per cui indichiamo con y (x, C) la soluzione generale, denominataintegrale generaledella (3). Ad esso corrisponde la famiglia di curve integrali

F =γC ⊂ R² | γ^C : y = y (x, C)

Definizione 9 Un assegnato valore C∗ ∈ R individua univocamente l’integrale particola- re η (x)^def= y (x, C∗) della (3)

Consideriamo ora il caso in cui nella (2) f dipende dalla sola variabile y. Precisamente, se f (y) `e una funzione continua in un intervallo Y ⊆ R, l’equazione differenziale:

y^′ = f (y) , (6)

`e un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine di forma normale. Vedremo pi`u avanti che in alcuni casi la (6) pu`o essere integrata per separazione di variabili. Per ora ci limitiamo a considerare il caso in cui f (y) `e la funzione identica, cio`e f (y) ≡ y:

y^′ = y Moltiplicando primo e secondo membro per e^−x:

e^−xy^′ = e^−xy Cio`e:

d

dx ye^−x
= 0 =⇒ ye^−x = C, ∀C ∈ R Anche in questo esempio abbiamo infiniti integrali:

y (x) = Ce^x, ∀C ∈ R,

mentre le curve integrali compongono la famiglia di curve esponenziali:

F =γC ⊂ R² | γ^C : y = Ce^x

Ritornando al caso in cui f dipende dalla sola x, consideriamo l’equazione differenziale del secondo ordine di forma normale:

y^′′ = f (x) , (7)

Abbiamo:

y^′(x) = c1+

x

Z

a

f (ξ) dξ^def= g (x) , (a ∈ X), cio`e l’equazione differenziale del primo ordine:

y^′(x) = g (x) Conseguentemente:

y (x) = c₂+

x

Z

a

g (t) dt (8)

= c2+

x

Z

a



c1+

t

Z

a

f (ξ) dξ



dt

= c2+ c1 x

Z

a

dt +

x

Z

a





t

Z

a

f (ξ) dξ



dt

= c2+ c1x − c¹a + G (x) , dove:

G (x)^def=

x

Z

a





t

Z

a

f (ξ) dξ



dt =

x

Z

a





t

Z

a

f (ξ) dξ



d (t − x) Possiamo eseguire un’integrazione per parti. A tale scopo poniamo:

φ (t) =

t

Z

a

f (ξ) dξ,

per cui:

G (x) =

x

Z

0

φ (t) d (t − x) = [φ (t) (t − x)]^t=xt=a−

x

Z

a

(t − x) d

dtφ (t) dt Determiniamo i vari termini:

[φ (t) (t − x)]^t=xt=a = 0 − φ (a) (a − x) =

φ(a)=00

x

Z

a

(t − x) d

dtφ (t) dt =

x

Z

a

(t − x) f (t) dt, giacch`e d

dtφ (t) = f (t) In definitiva:

G (x) =

x

Z

a

(x − t) f (t) dt,

che sostituita nella (8):

y (x) = c1x + c^′₂+

x

Z

a

(x − t) f (t) dt,

dove c^′₂ = c₂ − a. Incorporando la costante c^′2 e il valore assunto in a dalla primitiva di (x − t) f (t) in un’unica costante C² e ridifenendo c1 in C1, vediamo che l’integrale generale dell’equazione differenziale del secondo ordine (7) `e una funzione del tipo y (x, C1, C2). Di conseguenza, l’insieme delle curve integrali della (7) `e una famiglia di ∞² curve piane F = {γ ⊂ R² | γ : y = y (x, C¹, C2)}.

Ricapitolando:

• Equazioni differenziali del primo ordine

La totalit`a degli integrali dipende da una costante arbitraria. Abbiamo, quindi, una famiglia di ∞¹ curve integrali.

• Equazioni differenziali del secondo ordine

La totalit`a degli integrali dipende da due costanti arbitrarie. Abbiamo, quindi, una famiglia di ∞² curve integrali.

Ci aspettiamo:

• Equazioni differenziali di ordine n

La totalit`a degli integrali dipende da n costanti arbitrarie. Abbiamo, quindi, una famiglia di ∞ⁿ curve integrali.

Tale conclusione `e corroborata dal fatto che assegnata una famiglia F di ∞<sup>n</sup> curve piane, la cui rappresentazione implicita `e:

ϕ (x, y, C₁, C₂, ..., Cn) = 0, (9) dove C₁, C₂, ..., Cn sono costanti arbitrarie, `e possibile costruire (a partire dalla (9)) un’e- quazione differenziale di ordine n. Senza perdita di generalit`a consideriamo il caso n = 1:

ϕ (x, y, C) = 0 (10)

L’equazione (10) definisce implicitamente la funzione y (x):

ϕ [x, y (x) , C] = 0, per cui derivando rispetto a x:

ϕx(x, y, C) + ϕy(x, y, C) y^′ = 0 (11) Abbiamo il sistema:

 ϕ (x, y, C) = 0

ϕx(x, y, C) + ϕy(x, y, C) y^′ = 0

L’eliminazione di C tra queste due equazioni (se `e possibile) conduce a un’equazione del tipo:

f (x, y, y^′) = 0, che `e appunto un’equazione differenziale del primo ordine.

Esempio 10 Consideriamo la famiglia F di ∞¹ curve piane:

Ce^2xy+ y = 0, ∀C ∈ R Deriviamo rispetto a x:

2yCe^2xy+ 2xCe^2xy· y^′+ y^′ = 0 (12) Cio`e:

2Ce^2xy(xy^′+ y) = −y^′ Otteniamo quindi il sistema di equazioni:

 2Ce^2xy(xy^′ + y) = −y^′ Ce^2xy+ y = 0

Dalla seconda:

C = −ye^−2xy, che sostituita nella prima:

(2xy − 1) y^′+ 2y² = 0 (13)

La (13) `e un’equazione differenziale del primo ordine. Si noti che pu`o essere scritta in forma normale:

y^′ = − 2y² 2xy − 1 Esempio 11 Assegnata la famiglia di curve piane:

Cy + ln (xy) = 0,

ricostruiamo l’equazione differenziale che la genera. A tale scopo deriviamo rispetto a x:

Cy^′+ 1

xy(y + xy^′) = 0, (14)

Otteniamo quindi il sistema di equazioni:

 Cy^′+_xy¹ (y + xy^′) = 0 Cy + ln (xy) = 0 Dalla seconda:

C = −ln (xy) y , che sostituita nella prima:

x [1 − ln (xy)] y^′ + y = 0, (15)

La (15) `e un’equazione differenziale del primo ordine.

Si noti che il procedimento di eliminazione della costante C tra l’equazione della famiglia di curve ϕ (x, y, C) = 0 e la derivata prima (rispetto a x) di primo e secondo membro di tale equazione, pu`o essere applicato anche quando la famiglia di curve piane `e data in forma esplicita.

Esempio 12 Sia data la famiglia di curve piane:

y = x − 1 + Ce^−x, ∀C ∈ R (16)

Derivando e mettendo a sistema:

 y = x − 1 + Ce^−x y^′ = 1 − Ce^−x Risolvendo rispetto a C:

y^′+ y − x = 0, che `e un’equazione differenziale del primo ordine.

Chiediamoci: nel caso di un’equazione differenziale del primo ordine, la corrispondente famiglia di curve integrali ϕ (x, y, C) = 0 esaurisce la totalit`a degli integrali dell’equazione assegnata? Per rispondere a tale domanda, riprendiamo l’equazione differenziale dell’esempio precedente:

y^′+ y − x = 0 (17)

Moltiplichiamo primo e secondo membro per e^x:

e^x(y^′+ y − x) = 0 Cio`e:

d

dx(ye^x) = xe^x =⇒ ye^x = Z

xe^xdx Eseguendo un’integrazione per parti, si ottiene facilmente:

y = x − 1 + Ce^−x, ∀C ∈ R,

che `e la famiglia (16). Ne concludiamo che in questo caso, l’equazione della famiglia di curve piane ϕ (x, y, C) = 0 esaurisce la totalit`a delle soluzioni dell’equazione differenziale corrispondente. Esaminiamo questo esempio:

Esempio 13 Sia data la famiglia F di iperboli equilatere:

y = 1

x + C, ∀C ∈ R (18)

Ricostruiamo l’equazione differenziale che genera la famiglia (18). Si tratta di risolvere il sistema rispetto a C:

( y = _x+C¹ y^′ = −_(x+C)^{1 2} ottenendo:

y^′ + y² = 0, (19)

che `e l’equazione differenziale le cui curve integrali compongono la famiglia (18). Tuttavia, la funzione identicamente nulla y (x) ≡ 0 `e un integrale della (19) che, per`o, non appartiene a F. Infatti:

∀C ∈ R, y 6= 0

e y (x) ≡ 0 ⇐⇒ |C| = +∞

In altri termini, la curva integrale y = 0 (asse x) si ottiene dalla (18) per |C| = +∞. In simboli: γ /∈ F dove γ : y = 0, cio`e l’asse x. “Ampliamo” la famigia F:

F =¯



γC ⊂ R² | γ^C : y = 1

x + C, C ∈ ¯R



⊃ F,

essendo ¯R = [−∞, +∞] = R∪{±∞} l’insieme ampliato dei numeri reali. Nel caso in esame, F esaurisce la totalit`a delle curve integrali. Infatti, dimostriamo la seguente implicazione:¯

γ curva integrale di y^′+ y² = 0 =⇒ γ ∈ ¯F

Per ipotesi γ : y = y (x) `e una curva integrale di (19). I casi possibili sono due:

1. y (x) = 0, ∀x ∈ R

2. ∃X ⊆ R | y (x) 6= 0, ∀x ∈ X,

essendo X un intervallo eventualmente vuoto (in quest’ultima circostanza vale il caso 1).

Nel caso 2:

x ∈ X =⇒

y6=0

y^′

y² = −1 =⇒ d dx

 1 y



= 1 =⇒ 1

y = x + C, ∀C ∈ R Cio`e la famiglia assegnata:

y = 1

x + C

Ne concludiamo che ¯F contiene tutte e sole le curve integrali dell’equazione differenziale (19).

Consideriamo quest’altro esempio.

Esempio 14 Abbiamo la seguente famiglia F di rette nel piano cartesiano Oxy:

y = 2Cx − C², ∀C ∈ R (20)

Ricostruiamo l’equazione differenziale che genera tale famiglia. A tale scopo impostiamo il sistema:

 y = 2Cx − C² y^′ = 2C Eliminando C:

(y^′)²+ 4 (y − xy^′) = 0 (21)

La (21) `e l’equazione differenziale che genera la famiglia F. Consideriamo ora la curva γ0 : y = y0(x), essendo y0(x) = x<sup>2</sup>. `E facile verificare che la funzione y0(x) `e un integrale della (21). Determinando la derivata prima e sostituendo in (21 ):

4x²+ 4 x²− 2x²
= 0 Cio`e:

[y₀^′ (x)]²+ 4y0(x) − xy^′0(x)² = 0

Quindi γ0 `e una curva integrale non appartenente a F. Ci`o si esprime dicendo che la funzione y0(x) = x² `e un integrale singolare dell’equazione differenziale (21). Per inciso, la parabola γ0 : y = x<sup>2</sup> `e l’inviluppo della famiglia F, come possiamo vedere dall fig. (1).

-20 -10 10 20 x

-100 -50 50 100 150 200

y

Figura 1: Famiglia di rette (20) in cui `e visibile la curva inviluppo, ovvero la parabola y = x². Ritornando al caso di un’equazione differenziale di ordine n, assegnata la famiglia di curve piane:

F =γ ⊂ R² | γ : y = y (x, C¹, C2, ..., Cn) , quali curve integrali dell’equazione differenziale di ordine n:

F x, y, y^′, ..., y⁽ⁿ⁾
= 0 (22)

Conseguentemente y = y (x, C1, C2, ..., Cn) `e l’integrale generale della (22). Assegnata la n-pla di costanti C¯1, ¯C2, ..., ¯Cn
, la funzione:

η (x) = y x, ¯C1, ¯C2, ..., ¯Cn

`e un integrale particolare della (22). Infine, pu`o accadere:

∃γ0 : y = y₀(x) | γ0 ∈ F/

F x, y0(x) , y₀^′ (x) , ..., y⁽ⁿ⁾(x) = 0 La soluzione y0(x) `e un integrale singolare della (22).