Alcune osservazioni sul Teorema di Rolle

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Alcune osservazioni sul Teorema di Rolle

Marcello Colozzo

1 Π

-¹

Π

1 2 Π

- ¹

2 Π

-²

Π

2 Π

-a a

x

-1 1 y

Indice

1 Il Teorema di Rolle 2

2 Applicazione in cinematica del punto materiale 5

1 IL TEOREMA DI ROLLE

1 Il Teorema di Rolle

Rammentiamo l’enunciato del teorema in oggetto, per la cui dimostrazione rimandiamo a un qualunque testo di Analisi matematica.

Teorema 1 (Teorema di Rolle)

Sia f una funzione reale di una variabile reale definita nell’intervallo chiuso e limitato [a, b].

Se f `e continua in [a, b] e derivabile in (a, b), e se f (a) = f (b), esiste almeno un punto ξ∈ (a, b) in cui la derivata si annulla. In simboli:

∃ξ ∈ (a, b) | f^′(ξ) = 0

In altri termini, se sono verificate le ipotesi 1, la funzione `e dotata di almeno un punto critico in (a, b). Il contenuto geometrico del teorema `e evidente: se i punti A (a, f (a)) e B(b, f (b)) hanno la stessa ordinata, esiste almeno un punto del grafico della funzione in cui la retta tangente `e parallela all’asse x.

Tuttavia, il teorema fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per l’esisten- za di almeno un punto critico in (a, b). Ad esempio, consideriamo la restrizione di |sin x|

all’intervallo chiuso e limitato [0, 2π]. Scriviamo quindi

f(x) = |sin x| , x ∈ [0, 2π] (1)

Vediamo subito che `e violata l’ipotesi di derivabilit`a di f in π, giacch´e f^′(x) = cos x, se x ∈ [0, π]

− cos x, se x ∈ [π, 2π] (2)

Segue

f₋^′ (π) = lim

x→π⁻cos x = −1, f^+′ (π) = − lim

x→π⁺cos x = 1,

da cui la predetta non derivabilit`a in x = π. Geometricamente, il grafico della funzione ha un punto angoloso in P (π, 0). La prima ipotesi del teorema `e comunque verificata:

f(0) = f (2π) = 0. Nonostante la violazione dell’ipotesi sulla derivabilit`a nei punti interni, tale funzione `e ivi dotata di due punti critici. Infatti:

f^′π 2

= f^′ 3π 2



= 0,

con la conseguente interpretazione geometrica illustrata in fig. 1.

Un esempio per cos`ı dire, patologico `e f(x) = cos 1

x



, x∈ [−a, a] , con a > 0 (3)

Notiamo innanzitutto che f non `edefinitain x = 0 giacch´e

∄ lim

x→0cos 1 x



Pi`u precisamente, in ogni intorno (−δ, δ) del punto x = 0 (con δ ≪ 1) il grafico della funzione compie infinite oscillazioni che non si smorzano nel predetto intorno. La derivata `e

f^′(x) = 1

x² sin 1 x



Π 2

Π ^{3 Π} 2 Π

2

x 1

y

Figura 1: Per f (x) = |sin x| in [0, 2π] `e manifestamente violata l’ipotesi di derivabilit`a nei punti interni dell’intervallo di definizione. Tuttavia, il grafico `e dotato di retta tangente parallela all’asse x in due punti di ascissa interna al predetto intervallo.

Riesce

sin 1 x



= 0 ⇐⇒ x = 1

kπ, ∀k ∈ Z − {0}

cosicch´e esistono infiniti punti critici:

ξk= 1

kπ, ∀k ∈ Z − {0} (4)

Pertanto, pur essendo violata la condizione di continuit`a in [−a, a], vediamo che esistono infiniti punti critici interni al predetto intervallo. Inoltre, la singolarit`a x = 0 `e punto di accumulazione per l’insieme dei punti critici. Il grafico `e riportato in fig. 2.

1 Π

-¹

Π

1 2 Π

-¹

2 Π

-²

Π

2 Π

-a a

x

-1 1 y

Figura 2: La funzione (3) ha una discontinuit`a di seconda specie nel punto x = 0. Tuttavia, esistono infiniti punti in cui la retta tangente al diagramma `e parallela all’asse x.

Di seguito alcuni esempi in cui il teorema cade in difetto.

Esempio 2

f(x) =

 √√x, se 0 ≤ x ≤ ¹2

1 − x, se ¹2 ≤ x ≤ 1 (5)

1 IL TEOREMA DI ROLLE

Questa funzione `e manifestamente continua in 0,¹₂

e f (0) = f (1) = 0. Studiamo il comportamento della derivata:

f^′(x) = ( ₁

2√x, se 0 < x ≤ ¹2 1

2√

1−x, se ¹₂ < x≤ 1 (6)

da cui vediamo che la funzione non `e derivabile agli estremi o meglio, `e dotata di derivata infinita:

f+^′ (0) = +∞, f−^′ (1) = −∞ (7)

Inoltre in x = ¹₂ la funzione non `e derivabile, ma lo `e a sinistra e a destra:

f₋^′  1 2



=

√2 2 , f+^′

 1 2



= −

√2

2 (8)

onde P

1 2,^√₂²

`e un punto angoloso del diagramma della funzione, come illustrato in fig.

3 da cui vediamo che non esiste alcun punto in cui la tangente al diagramma `e parallela all’asse x.

1

2 1

x

1 2

y

Figura 3: Grafico della funzione (5).

Esempio 3

f(x) = |x| , x ∈ [−1, 1]

E analogo al precedente. In questo caso la funzione non `e derivabile in x = 0, ma lo `e a` destra e a sinistra, per cui abbiamo un punto angoloso nell’origine.

Esempio 4

f(x) =  1, se x = 0 x, se 0 < x ≤ 1

Qui `e manifestamente violata la continuit`a in x = 0 (punto di discontinuit`a eliminabile), mentre le rimanenti ipotesi sono verificate. Tuttavia, non esistono punti critici in (0, 1).

2 Applicazione in cinematica del punto materiale

Sia s = s (t) l’equazione oraria del moto di una particella vincolata a muoversi su una traiettoria γ. Facciamo le seguenti ipotesi:

1. s (t) `e continua nell’intervallo chiuso e limitato [t1, t2].

2. s (t) `e derivabile in (t1, t2).

Se s (t1) = s (t2), esiste almeno un istante di arresto con inversione del moto. Ad esempio:

s(t) = A sin²ωt,

dove A > 0 ha le dimensioni di una lunghezza, mentre ω > 0 ha le dimensioni dell’inverso di un tempo. L’andamento del grafico della funzione s (t) `e riportato in fig. 4, da cui vediamo un istante di arresto con inversione del moto. Precisamente:

τ = π

ω =⇒ ˙s (τ) = 0, ¨s(τ) < 0

In altre parole, la particella giunta in s = A si ferma, per invertire il moto.

Π 2 Ω

Π Ω

x A

y

Figura 4: Andamento di s (t) = A sin²ωt.