Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare A.A. 2010/11

Applicazioni delle Tecniche della Fisica Nucleare

A.A. 2010/11

Gli argomenti trattati verteranno principalmemte su:

I) Il Nucleo Atomico

II) Radioattivita’ e Radiazione

III) Il Neutrone, un nucleone speciale IV) Fissione, Energetica ed Applicazioni

V) Reattori Nucleari per la produzione di energia VI) Fusione Nucleare, Fisica ed Applicazioni

VII) Tecnologie nucleari nella Ricerca ed Industria VIII) Applicazioni nel campo dei sistemi biologici Testi di riferimento:

- Introductory Nuclear Physics - Kenneth S. Krane, Wiley

- Nuclear Physics (Principles and Applications) - John Lilley, Wiley - Nuclear Methods in Science and Technology - Y.M.Tsipenyuk, IoP - Fundamentals of Nuclear Science and Engineering- J.K.Shultis, CRC - Introduction to Nuclear Science - Jeff C. Bryan, CRC

- Practical Applications of Radioactivity and Nuclear Radiations - G.C.Lowenthal & P.L. Airey - Cambridge

Parametri dei nuclei atomici

Parametri base:

- numero atomico Z ( carica) - numero di massa A

- energia di legame Eb (Mev)

- momento angolare intrinseco o spin (I)

- raggio del nucleo R (fm) e non sfericita’ dR/R - dipolo di momento magnetico µ (J/T-1)

- quadrupolo di momento elettrico Q (Coulomb m2)

* massa nucleone ~ 1.67 10-24 g

Ogni modello di nucleo e delle forze che lo tengono assieme deve tener conto della densita’ e dimensione.

La densita’ e’ ben espressa dalla relazione di Fermi

€

ρ(r) = ρ

1 + exp[(r − R) / a] nucleoni / m

€

ρ₀ = (A / Z) /ρ_p⁰ con ρ_p⁰ = densita' protonica misurata sperimentalmente

€

R = 1.12 A^{1/ 3} fm

e spiegare le combinazioni di protoni e neutroni che rendono il nucleo stabile o instabile.

da cui

€

Nuclide R( fm) a( fm) ρ

^{( fm}

^{) A / A}

16

O 2.61 0.513 0.156 1.036

109

Ag 5.33 0.523 0.157 1.116

208

Pb 6.65 0.526 0.159 1.122

a = densita’ spessore superficiale

€

ρ

= 0.16 ×10

, nucleoni / m

Unita’ di massa atomica

amu= m(12C)/12

Dove va a finire la massa mancante?

Modelli nucleari

Nucleo atomico e’ un esempio di sistema quantistico a molticorpi.

Impossibile sviluppare teoria esatta della struttura nucleare.

I modelli base nucleari semplici sono:

a) modello Protone-Neutrone, ad es. spiega momento angolare del nucleo, la radioattivita’ ed altre osservazioni sperimentali b) modello senza stati di particella individuale.

Es. il Liquid Drop Model che e’ alla base della formula semiempirica.

c) modello a particella individuale con i nucleoni in stati di energia discreta, per es. il Fermi Gas Model o Shell Model.

d) modello collettivo ( Bohr e Mottelson)

Modello Protone-Neutrone

Heisenberg (1932) ipotizzo’ nucleo formato da Z protoni e A-Z neutroni.

Modello semplice: nucleoni tenuti assieme da forza nucleare a corto range.

Si spiega con questo modello: il momento angolare, la radioattivita’ e altre evidenze sperimentali; la forza nucleare ha una natura complessa.

Stabilita’ del nucleo Ci sono 266 nuclidi stabili

Dalla tabella si nota:

+ nuclidi stabili con N e/o Z pari P-P 159

D-P 53 P-D 50 D-D 4

Esistono configurazioni di N e P pari che hanno un maggior numero di nuclidi stabili:

8,20,58,82,126 ---> numeri magici I nuclei con un numero magico di neutroni sono meno disponibili ad assorbire un neutrone di altri con un neutrone in meno od in piu’.

Indice che Neutroni e protoni tendono a raggrupparsi ( shell?).

Numero di isotopi stabili per ciascun elemento o numero di protoni Z

Numero di isotopi stabili in funzione nel numero di neutroni N

Modello a goccia di liquido

Densita’ interno nucleo costante e volume proporzionale ad A sono indicatori di Forze Saturate---> analogamente goccia di liquido.

€

m(

X) = Zm

+ (A − Z)m

− BE / c

€

BE = BE_v

+ BE

+ BE

+ BE

+ BE

€

m(_Z^AX ) = Zm_p + (A − Z)m_n − 1

c² {a_vA − a_sA^{2/ 3} − a_c Z(Z −1)

A^1/3 − a_a (N − Z)²

A − a_p A} con

€

a_v= 15.85MeV ,a_s= 18.33MeV,a_c = 0.71MeV ,a_a= 23.20MeV

€

a_p = +11.2MeV per O − O, 0.0 MeV per O − E e E − O, −11.2MeV per E - E

valori ottenuti ( 1958,Wapstra) col fit al plot di BE vs A.

Modello a goccia pro: - predice nuclei pesanti fissionabili,

- predice modi di decadimento radioattivo,

- permette calcolo energetica nuclei instabili, - predice masse isotopi possibili

con: - non spiega struttura interna nucleo

€

Z(A) = (A

2)1+ (m_n − m_p)c²/ (4a_a) 1+ a_cA^2/3 / (4a_a)

Tutti gli atomi a Z>83

sono radioattivi Il modello a goccia utile per predire la variazione di massa nucleare al variare di A e Z.

Per un dato numero di massa A il nuclide piu’ stabile dell’isobaro e’

quello con massa piu’ piccola

€

∂m(_Z^AX)

∂Z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

A

= m_p − m_n + 1

c² 2a_c Z

A^1/2 − 4a_a (A − 2Z) A

⎧ ⎨

⎩

⎫ ⎬

⎭ = 0

€

Z(A) = (A

2 )1+ (m_n − m_p)c² / (4 a_a) 1 + acA^2/3 / (4a_a)

~3200 nuclidi di cui 266 nuclidi stabili,

il resto nuclidi radioattivi

Tutti gli atomi a Z>83 sono radioattivi

Nella FSE se si fosse tenuto conto solo dei termini di volume, superficie e Coulomb, si otterrebbe:

€

Z( A) ≅ ( M_n − M_H)c²A^{1/ 3}

2a_c ≈ 0.9 A^{1/ 3}

che e’ molto impreciso nella determinazione del numero di massa.

Infatti il termine che pesa e’ il rapporto

€

a_c / 4a_a= 0.0078, che corrisponde a ~ 20-30 MeV.

Cio’ significa che la deviazione dalla linea di stabilita’ N=Z=A/2 e’

l’effetto coulombiano (favorisce ZA<A/2) che predomina sull’effetto simmetria (ZA=A/2).

Mass defect , mass excess

Misura la differenza di massa tra la massa del nucleo ed il suo numero di massa Indice di quanto e’ legato il nucleo.

€

P = ΔM / A

Il Packing fraction e’ indice di stabilita’

(amu)

P< 0 nuclidi stabili P> 0 nuclide instabile

€

ΔM = M_{Z ,A} 1 12 M₁₂

C

− A

Mass defect e Packing fraction sono legati alla Binding Energy Binding Energy = lavoro richiesto per separare il nucleo nei suoi componenti o energia rilasciata durante la formazione del nucleo

€

M(Z, A) = ZM

+ (A − Z)M

− BE (Z, A) / c

€

B

A = M_n − Z

A

(

)

A

€

= M (

− 1 ) ^{− Z}

A ( M

− M

) ^{− Δ}

Energia di legame e reazioni nucleari

Nelle reazioni a due corpi

€

i + I = f + F + Q

il Q-value indica l’energia rilasciata o assorbita dalla reazione.

€

Q = [(M

+ M

) − (M

+ M

)]c

€

T_i + M_ic² + T_I + M_Ic² → T_f + M_fc² + T_F + M_Fc²

€

Q = T

+ T

− (T

+ T

)

Esprimendo le masse in termini di energia di legame si ottiene

€

Q = B( f ) + B(F ) − B(i) − B(I)

Energia di separazione

Misura il lavoro richiesto per separare un SOLO nucleone a dal nucleo

€

S_a = [M_a(A', Z') + M (A − A', Z − Z') − M (A,Z)]c²

misura anche l’energia rilasciata quando vi e’ cattura dal nucleo

€

S

= [ M

+ M (A −1,Z) − M(A,Z)]c

last neutron binding energy

20<A<120 -> Sn ~= Sp ~= 8 MeV, A>120 Sn ~=5-6 MeV.

€

S

(Neven) > S

(Nodd) a Z costante, S

(Zeven ) > S

(Zodd) a N costante

L’energia di separazione e’ importante nella fissione

Un modello della struttura del nucleo deve includere la spiegazione dei numeri magici.

Il modello a shell e’ quello piu’ accreditato.

I nucleoni in un nucleo non eccitato formano un gas degenere di Fermi ( sistema quanto-meccanico) con tutti gli stati di energia < livello di Fermi occupati e quelli di energia > liberi.

Il modello a shell si basa sull’idea che :

Ciascun nucleone si muove indipendentemente nel nucleo senza interagire con gli altri nucleoni.

Ciascun nucleone si muove in una buca di potenziale che e’ costante dal centro del nucleo ai bordi, dove cresce rapidamente di decine di MeV.

Modello a shell

Modello a Shell

Basato sul modello a shell atomico che spiega le proprieta’ periodiche degli atomi in termini di occupazione dei livelli energetici elettronici.

Quando il gruppo di livelli energetici associati con una shell sono tutti

occupati si hanno atomi particolarmente stabili (chimicamente)-vedi gas nobili.

Nel caso nucleare ci sono poi particolari valori di Z e N ( cosidetti numeri magici) che sono significativi per quanto

riguarda la struttura dei nuclei.

1. C’e’ un gran numero di isotopi, isotoni a quei particolari valori. Evidenziato

dall’abbondanza degli elementi

2. Gli elementi stabili al termine delle principali serie radioattive hanno un numero magico di neutroni e/o protoni

3. La sez.d’urto dei nuclei con numero magico N di neutroni e’ due ordini di grandezza inferiore a quella degli altri.

Indice che il nucleo e’ molto legato

4. I momenti di quadrupolo elettrico debbono essere zero per nuclei con shell complete perche’ essi hanno simmetria sferica

5. Nuclei con shell chiuse sono relativamente stabili e richiedono una considerevole energia per portarli fuori dallo stato fondamentale.

La lista di numeri magici per Z o N 2,8,(14),20,28.50,82,126

I nucleoni in un nucleo non eccitato formano un gas degenere di Fermi

( sistema quanto-meccanico) con tutti gli stati di energia < livello di Fermi occupati e quelli di energia > liberi.

Il modello a shell si basa sull’idea che : Ciascun nucleone si muova

indipendentemente nel nucleo senza interagire

con gli altri nucleoni.

Ciascun nucleone si muove

in una buca di potenziale che e’ costante dal centro del nucleo ai bordi, dove cresce rapidamente di decine di MeV.

€

V(r) =V₀[1− (r / R)²] = −V₀ + 1

2 Mω²R²

Realisticamente il potenziale nucleare lo si puo’

approssimare qualitativamente

con un potenziale tipo oscillatore armonico

La soluzione numerica dell’eq. di Shroedinger , con un potenziale attrattivo con distribuzione di Fermi, mostra che i nucleoni si distribuiscono in certi livelli energetici.

Protoni e neutroni si distribuiscono su livelli energetici indipendenti, ed i livelli energetici piu’ alti hanno la stessa energia sia per i protoni che i neutroni.

La profondita’ della buca di potenziale per i protoni e’ minore di quella dei neutroni causa l’interazione coulombiana.

L’energia di un oscillatore armonico 3D vale

€

E_N

= h ω (N + 3 / 2) − V

con N = n

+ n

+ n

, n = int eri

Nel caso del nucleo bisogna tener conto anche di un forte accoppiamento spin-orbita con un termine da aggiungere alla forma di potenziale 3D

€

V

= C

ls

Un nucleone di momento orbitale l puo’ essere in due stati

con momento angolare totale

€

j = l + s = l ± 1 / 2

La separazione in energia dei due stati

€

ΔE_ls e’ proporzionale a

€

(l + 1/ 2)

€

ΔE

= (l +1 / 2) h

importante per i nuclei pesanti che possiedono grandi l.

Modello collettivo

o modello unificato, sviluppato da Bohr e Mottelson.

Ingloba praticamente le proprieta’ del modello a goccia e a shell.

Diversamente dal modello a particelle indipendenti, si ipotizza che nel nucleo ci sia un certo numero di nucleoni “liberi” che si muovono in un campo di potenziale lentamente variabile, dovuto alle deformazioni del nucleo.

La deformazione del nucleo porta a modi di eccitazione che sono classificati come vibrazionali e rotazionali.

Lontano dai numeri magici si manifestano nel nucleo dei moti cooperativi dominanti tra nucleoni, con moti relativi tra nucleoni e core del nucleo.

Esistono stati quantici del sistema nucleare come un tutto, che si sovrappongono ai livelli energetici nucleonici.

Stati nucleari eccitati

# reazioni nucleari e/o trasformazioni nucleari portano il nucleo in stati eccitati di energia al di sopra dello stato fondamentale, formando lo spettro di eccitazione del nucleo.

Livelli eccitati

Singola particella

Moto collettivo rotazionale del nucleo

Stati vibrazionali della superficie nucleare

Il modello a shell descrive bene gli stati eccitati solo per shell chiuse,

Nuclei con shell chiuse -->nuclei sferici-->moti vibrazionali della superficie Nuclei deformati--> moti rotazionali

Modello a goccia descrive bene moti rotazionali e vibrazionali e stati eccitati nucleari

Schema di vibrazioni nucleari

ottupolo l=3 quadrupolo l=2

Frequenza delle vibrazioni superficiali

€

ω

= (k + k

) / µ

€

k = 1 2

4πα D² R²

Termine di superficie con α coefficiente di tensione superficiale

€

k_C = −3Z²e² / R³

Coefficiente di variazione dell’energia Coulombiana con la deformazione

da cui l’energia

vibrazionale di quadrupolo

€

hω

≅ (2 − γ) / A MeV

€

µ ≅ 3D

R m massa in vibrazione del nucleo

La relazione fornisce stime dei livelli vibrazionali in buon accordo con i valori misurati, es. per il Nickel il primo livello eccitato ha un valore di circa 3.5MeV

€

γ = 0.047Z

/ A

Ec/ Es nucleo sferico

Vibrazioni di dipolo nucleare

Nel nucleo esiste un particolare moto collettivo: vibrazione della massa neutronica relativa alla massa protonica: vibrazioni di dipolo nucleare.

Conseguenza: separazione parziale dei protoni dai neutroni. Le energie di queste vibrazioni sono alte, circa 15-20 MeV, risonanze giganti.

Energia delle risonanze giganti dipende da A.

In un oscillatore la frequenza di risonanza

€

ω₀ = k / m

con k = rigidita’ dell’oscillatore e m=massa vibrante

Nel caso di vibrazioni di dipolo k e’ proporzionale alla frazione di nucleoni shiftati, quindi alla superficie.

€

ω

= k / m ∝ R

/ R

∝ R

∝ A

Ad energie di eccitazione attorno a 5-6 MeV il numero dei livelli nucleari e’ molto grande, specie per nuclei pesanti, e quindi la separazione e’ molto piccola. Difficile definire gli stati quantici dei livelli.

Importante e’ la densita’ dei livelli e la loro dipendenza dall’energia:

modello statistico del nucleo

Sperimentalmente si e’ visto che la densita’

dei livelli e’ esprimibile come

€

ρ(E) = Ce^{2 αE}

con a e C calcolate derivate da considerazioni statistiche del modello.

In particolare per energie tra 3-5Mev la relazione diventa

€

ρ( E) ∝ 1

T exp(E − E₀ T )

e

€

ΔE = 1 / ρ(E)

Temperatura del nucleo

Tipica struttura dello spettro dei livelli di energia degli stati nucleari eccitati (sinistra) e dipendenza dall’energia della sezione d’urto (destra).

Energetica nucleare

€

ΔE = ΔMc²

In ogni reazione (nucleare, atomica, chimica,..) l’energia emessa puo’ essere calcolata come

Una generica reazione si scrive come

€

A + B → C + D+ ...

€

ΔM = (M

+ M

) − (M

+ M

+ ...)

da cui si ricava l’energia emessa.

Realisticamente solo per le reazioni nucleari e’ possibile calcolare la energia dalla differenza di massa, perche’ le energie in gioco sono molto grandi e quindi la variazione di massa dei costituenti

e’ apprezzabile con una risoluzione di 5-6 ordini di grandezza inferiori raggiungibile dalla tecnologia corrente.

Reazioni Nucleari

Due principali tipi di reazioni:

€

X → Y

+ Y

+ ⋅ ⋅ ⋅

€

x + X → Y + y

radioactive decay binary reaction

€

X(x, y)Y

scritta come

In generale in reazioni tipo X(x,y)Y si possono avere:

reazioni elastiche

reazioni inelastiche

€

0

1

n+

S→

S+

n

€

0

1

n+

S →(

S)

+

n

€

(n, n)

€

(n,n' )

€

0

1

n+

S→

S + γ

€

0

1

n+

S→

S+

H

€

(n, p)

€

(n, γ ⁾

Esempi di reazioni nucleari binarie

€

(α, p)

reazioni Rutherford, bombardando con nuclei di elio ( alfa) l’azoto dell’aria osservo’ la produzione di nuclei di H ( protoni)

€

2

4He+¹⁴₇N→¹⁷₈O+₁¹H o ¹⁴₇N(α, p)¹⁷₈O

€

(α, p)

€

( α ^,n)

€

2

4He+₄⁹Be→¹²₆C+₀¹n o ₄⁹Be(α, n)¹²₆C

€

( γ ,n)

€

γ+1

2H→₁¹H+₀¹n o ₁²(γ,n)₁¹H

€

(p, γ )

€

γ+ 8

17O→¹²₆C+₂⁴He+₀¹n o ¹⁷₈O(γ,nα)¹²₆C

€

1

1H+₃⁷Li→₄⁸Be +γ o ₃⁷LI( p,γ)₄⁸Be

€

(n, p)

€

(γ,αn)

€

0

1n+¹⁶₈O→¹⁷₈N+₁¹p o ¹⁶₈Li(n, p)¹⁶₈N

€

4

8Be→₂⁴He+⁴₂He

Reazioni a stato finale multiplo

Lo stato finale di una reazione dipende dall’energia disponibile e quindi dall’energia della particella incidente.

Per neutroni, ad es., di energia ~ MeV, l’urto con un nucleo puo’ essere

€

0

1

n+

S→

S+

n

€

0

1

n+

S→

(S)

+

n

€

0

1

n+

S→

P+

p

€

0

1

n+

S→

P+

p

Elastico

Anelastico

Cattura

Nel caso di reazioni inelastiche entra in gioco la soglia cinematica

Q-value per una reazione Conservazione Energia

€

E_i+ m_ic²

[ ]

i

∑

[

]

i

∑

€

Q = KE_f − KE_i = m_ic² − m_fc²

€

i + I → f + F + Q

Q ≡ M

[ (

)

(

) ]

Q = T_f + TF − T

(

)

( )

( )

( )

( )

Reazione binaria

Ogni reazione nucleare ha un caratteristico Q-value Q>0 reazione esotermica

Q<0 reazione endotermica

Reazioni di decadimento radioattivo

€

X → Y + y

€

Q = (E_y + E_Y) = m

[

(

) ]

Conservazione di carica e calcolo di Q-value Le reazioni nucleari conservano la carica

€

0

1n+¹⁶₈O→¹⁶₇N+₁¹p

Nella reazione bisogna tener conto dell’elettrone che viene espulso insieme al protone

€

0

1n+¹⁶₈O→¹⁶₇N+₁¹p+₋₁⁰e nel calcolo del Q-value

€

Q = {m_n+ M(¹⁶₈O) − M(¹⁶₇N) − M(₁¹H)}c²

la massa di atomo neutro con nucleo eccitato vale

€

M(

X

) = M(

X) + E

/ c

€

10B(n,

α ⁾

€

Q = m

[

+ M (

) ]

Es. il calcolo del Q-value della reazione

con

€

M(₃⁷Li^*) = M(₃⁷Li) + 0.48MeV / c²

Nucleo Composto

Per energie dell’ordine del MeV l’interazione di nucleoni o nuclei leggeri con nuclei targhetta avviene con il nucleo totale.

Si forma un NUCLEO COMPOSTO che decade in ~ 10^-14 s.

€

p+

C

Zn + n

→

Zn

→

Cu + n + p α +

Ni

Zn + 2n

La reazione ha due tempi, formazione del nucleo composto eccitato e successivo decadimento.

Energia di soglia

€

x + X → y + Y

Nella reazione con X a riposo

conservazione energia

€

E_x = E_y + E_Y + Q

€

p_Y² = p_x²+ p_y² + 2 p_xp_ycosθ_y

conservazione momento in regime nonRelativistico

€

p_i = 2m_iE_i

la soluzione

€

E_y = m_xm_y

(m_x+ m_Y)²cosθ_y ± [ m_xm_y

(m_y+ m_Y)²cosθ_y]²+ [ m_Y − m_x

(m_y+ m_Y)E_x+ m_YQ (m_y+ m_Y)]

ha diverse soluzioni, dipendendo anche da Q.

Per Q < 0, la particella incidente deve avere un minimo di energia perche’ la reazione abbia luogo, Energia di soglia

soglia cinematica e soglia coulombiana

Soglia cinematica

€

(E_x)_θy ≥ m_Y(m_y+ m_Y)Q

(m_y+ m_Y)(m_Y − m_x) + m_xm_ysin²θ_y

€

(E_x)_θy ≅ −(+ m_x m_X )Q

Soglia Coulombiana Solo per particelle cariche

€

E_x^C ≅ − F_Cdr = 1.2 zZ

A_x^1/3 + A_X^1/3 (MeV )

∫

Energia di soglia totale necessaria sara’

€

(E_x^th)_min = max(E_x^C,E_x^th)