Def Def : :

MATRICI MATRICI

Def Def : :

tabella tabella

ÈÈ dettadetta MATRICEMATRICE concon mm righerighe ee nn colonne

colonne (o matrice (o matrice mm××nn))..

Tale matrice si indica anche con Tale matrice si indica anche con

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

n m m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

, 2

, 1

,

, 2 2

, 2 1

, 2

, 1 2

, 1 1

, 1

...

...

...

...

...

...

...

, 1 2 1 2

ai j i , ,...,m; j , ,...,n

⎡ ⎤ = =

⎣ ⎦

Una MATRICEUna MATRICE mmxxnn può anche può anche considerarsi come

considerarsi come

mm vettori rigavettori riga, , ciascuno di , ciascuno di ,

messi uno messi uno

sopra l

sopra l’’altroaltro ^⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

∗

∗

∗

, , 2

, 1

, 2

, 1

,

, 2 2

, 2 1

, 2

, 1 2

, 1 1

, 1

...

...

...

...

...

...

...

...

n m m m

m

n n

a a a

a a

a

a a

a

a a

a

nn vettori vettori colonna colonna, ,

ciascuno di , ciascuno di ,

messi uno di messi uno di

fianco all

fianco all’’altroaltro

Rn

Rm

( n )

n m m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

a a

a

, 2

, 1

,

, 2

, 1

,

, 2 2

, 2 1

, 2

, 1 2

, 1 1

, 1

,..., ,

...

...

...

...

...

...

...

∗

∗

= ∗

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

DefDef..

Se

Se èè unauna MATRICEMATRICE mmxxnn e e èè unun VETTOREVETTORE di componenti di componenti

definiamo il

definiamo il PRODOTTO DELLA PRODOTTO DELLA MATRICE A PER IL VETTORE

MATRICE A PER IL VETTORE xx ^{(che (che}

può anche essere scritto come vettore colonna e può anche essere scritto come vettore colonna e

considerato come una matrice

considerato come una matrice nnx1)x1) nel seguente nel seguente modo:

modo:

xn

x

x₁, ₂,...,

[ ]

A = x ∈ Rⁿ

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+ +

+ +

+ +

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

∗

∗

∗

n n m m

n n

n n

n m n

m m

m

n n

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x x x

a a

a

a a

a

a a

a x

A

, 1

1 ,

, 2 1

1 , 2

, 1 1

1 , 1

, , 2

, 1 2

1

, 2

, 1

,

, 2 2

, 2 1

, 2

, 1 2

, 1 1

, 1

...

...

...

...

... ...

...

...

...

...

...

...

...

…… osservazioneosservazione

Il prodotto Il prodotto AAxx ha senso solamente ha senso solamente se il

se il NUMERO DELLE COLONNENUMERO DELLE COLONNE della matrice A

della matrice A èè uguale aluguale al

NUMERO DI COMPONENTI

NUMERO DI COMPONENTI del del vettore

vettore xx (o al numero delle righe (o al numero delle righe della matrice

della matrice nnx1x1 coincidente con coincidente con il vettore

il vettore xx) )

Il prodotto di una matrice per un vettore, Il prodotto di una matrice per un vettore, coscosìì come come èè stato definito, stato definito, èè una una

applicazione applicazione

ed ed èè facile verificare, in base alle proprietfacile verificare, in base alle proprietàà del prodotto scalare, che se

del prodotto scalare, che se αα ee β∈ℜβ∈ℜ,,

A A ⋅⋅ ((ααxx++ββyy) = ) = ααAAxx + + ββAAyy

questo significa che il prodotto di una questo significa che il prodotto di una

matrice per un vettore

matrice per un vettore èè unauna

APPLICAZIONE LINEARE APPLICAZIONE LINEARE

m n

m n

R x

A R

x

R R

f

∈

→

∈

→ :

:

Def Def . .

UnaUna applicazioneapplicazione si si dicedice

LINEARE LINEARE

se, se, si ha si ha

m

n R

R

f : →

Rn

y ,

x ∈

∀ ℜ

∈

∀α , β e

) (

) (

)

( x y f x f y

f α ⁺ β ⁼ α ⁺ β

Risultato importante:

Risultato importante:

TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE

DELLE TRASFORMAZIONI LINEARI DELLE TRASFORMAZIONI LINEARI

LINEARE

: Rⁿ R^m

f →

∀

: n) (m

matrice

A ×

∃

Rn

x x

x

f ( ) = A ∀ ∈

[ ^{( ), ( ),..., ( )} ]

A = f e

f e

f e

ESEMPIO ESEMPIO

èè tale chetale che sese

R R

f : ⁿ →

) ,...,

,

( x₁ x₂ x_n x =

xn

x x

x

f ( ) = ₁ + ₂ + ... +

1) 1) ff èè lineare?lineare?

R ,

), ,...,

, (

e ) ,...,

, (

2 1

2 1

∈

=

=

β

n α

n

y y

y y

x x

x x

Siano

) (

) (

) ...

( )

...

(

) (

...

) (

) (

) ,...,

( )

(

2 1

2 1

2 2

1 1

1 1

y f

x f

y y

y x

x x

y x

y x

y x

y x

y x

f y

x f

n n

n n

n n

β α

β α

β α

β α

β α

β α

β α

β α

+

=

= +

+ +

+ +

+ +

=

= +

+ +

+ +

+

=

= +

+

= +

SI, E

SI, E’’ LINEARELINEARE

2) Qual

2) Qual èè la matrice A che la matrice A che rappresenta

rappresenta ff ??

⇓

= +

+ +

=

= +

+ +

=

= +

+ +

=

=

1 1

...

0 0

) (

...

1 0

...

1 0

) (

; 1 0

...

0 1

) (

)]

( ),...,

( ),

( [

2 1

2 1

n

n

e f

e f

e f

e f

e f

e f

A

) (

) ...

( )

(1,1,...,1

n) (1

matrice A

) 1 ,..., 1

, 1 ( A

1 1

x f

x x

x x x

A _n

n

= +

+

⎟ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

×

=

#

OPERAZIONI TRA MATRICI OPERAZIONI TRA MATRICI

ADDIZIONE TRA MATRICI ADDIZIONE TRA MATRICI

Se e Se e

sonosono due matrici due matrici mm×× n_n

poniamo poniamo

[ ]

A= ^{B =}

[ ]

[ ]

n j

m i

b a

B

A

,..., 2

, 1

,..., 2

, 1

, ,

=

=

+

=

+

ESEMPIO ESEMPIO

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 4

3 0

2 1

A ⎟ ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 5

0 7

2 3

B

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

= +

2 9

3 7

4 4

B

A

NB:NB: Per poter fare lPer poter fare l’’addizione fra addizione fra due matrici, queste devono essere due matrici, queste devono essere

dello

dello stesso tipostesso tipo:: devono avere lo

devono avere lo stesso numero stesso numero di righe

di righe e loe lo stesso numero stesso numero di colonne

di colonne

PROPRIETA PROPRIETA’’::

SONO LE STESSE SONO LE STESSE

DELLDELL’’ADDIZIONE FRA VETTORI!ADDIZIONE FRA VETTORI!

MOLTIPLICAZIONE DI MATRICI MOLTIPLICAZIONE DI MATRICI

PER SCALARI PER SCALARI Se

Se e e

poniamo poniamo

[ ]

A = _{i, j} = 1,2,..., = 1 2

ℜ

λ ∈

[ ]

n j

m i

a

A

,..., 2

, 1

,..., 2

, 1

,

=

=

= λ

λ

ESEMPIO ESEMPIO

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

0 2

8

10 4

6 0

1 4

5 2

2 3

PROPRIETA PROPRIETA’’::

SONO LE STESSE DELLA SONO LE STESSE DELLA

MOLTIPLICAZIONE DI UN MOLTIPLICAZIONE DI UN

VETTORE PER UNO SCALARE!

VETTORE PER UNO SCALARE!

MOLTIPLICAZIONE TRA MATRICI MOLTIPLICAZIONE TRA MATRICI

Se Se

e e

poniamo poniamo

[ ]

A = _{i j} = = ×

[ ]

B = _{i j} = = ×

,

1 1

AB = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ c

i = ,...,m j = ,...,q (m q) ×

concon

j n n

i j

i j

j i j i

i a b a b a b a b

c _, = _,∗ ⋅ _∗, = _,1 ⋅ _1, + _,2 ⋅ _2, +...+ _, ⋅ _,

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

∗ ,

ai ^ci,j i

j

Osservazione:

Osservazione: per poter effettuare il prodotto per poter effettuare il prodotto fra matrici, le due matrici debbono essere

fra matrici, le due matrici debbono essere CONFORMABILI

CONFORMABILI, cio, cioèè il numero delle colonne il numero delle colonne della prima matrice deve essere uguale al

della prima matrice deve essere uguale al numero delle righe della seconda.

numero delle righe della seconda.

ESEMPIO ESEMPIO

) 3 2

(

0 1

2

0 0

1

×

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ A

0 3

1

0 2

0

1 0

1

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ B=

) 3 3

(

×

) 3 2

(

2 2

2

1 0

1

3 , ,

2 2

, ,

2 1

, ,

2

3 , ,

1 2

, ,

1 1

, ,

1

×

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

b a

b a

b a

b a

b a

b AB a

PROPRIETA PROPRIETA’’::

1)1) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) ⇒⇒ ABCABC (p. associativa)

(p. associativa)

2)2) A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC ee (B+C)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA (p. distributiva a

(p. distributiva a dxdx e a e a sxsx))

3)3) Se cSe c∈ℜ∈ℜ,, c(AB)=(c(AB)=(cAcA)B=A()B=A(cBcB) ) ⇒⇒ cABcAB 4)4) MM⋅⋅0=0, 00=0, 0⋅⋅M=0M=0

(purch

(purchéé le matrici siano conformabili)le matrici siano conformabili)

NON VALE LA

PROPRIETA’ COMMUTATIVA!

”” In generale se A e B sono In generale se A e B sono conformabili non

conformabili non èè detto che B ed A detto che B ed A lo siano

lo siano

”” Anche nel caso particolare di Anche nel caso particolare di matrici quadrate n

matrici quadrate n ×× n, in cui si può n, in cui si può fare sia AB che BA, in generale

fare sia AB che BA, in generale ABAB≠≠BABA

ESEMPIO ESEMPIO

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

0 0

1

A 1 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1 1

0 B 0

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1 1

0 BA 0

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

0 0

1

AB 1

NON VALE LA LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL

PRODOTTO!

”” SSe A=0 o B=0 e A=0 o B=0 ⇒⇒ AB=0AB=0

”” Ma AB=0 Ma AB=0 ⇒⇒ A=0 o B=0A=0 o B=0

ESEMPIO ESEMPIO

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

≠ ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

0 0

0 0

0 1

0

A 1 _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

≠ ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

0 0

0 0

1 0

0 B 0

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

0 0

0

AB 0

MATRICE TRASPOSTA MATRICE TRASPOSTA

Data una matrice

Data una matrice A (m A (m ×× n)n) ^,,

scambiando le righe con le colonne scambiando le righe con le colonne

otteniamo

otteniamo

A

(n × m)

⇓ ⇓

MATRICE TRASPOSTA

MATRICE TRASPOSTA

ESEMPIO ESEMPIO

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

1 4

7 3

1 2

A

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1 7

1

4 3

T

2

A

PROPRIETA PROPRIETA’’::

1)1) 2)2) 3)3) 4)

A )

A

= (

T

T

A

A) λ

λ =

(

T T

T

A B

B)

A + = + (

4)

( AB)

= B

A

PARTICOLARI MATRICI PARTICOLARI MATRICI

QUADRATE QUADRATE

LELE MATRICI QUADRATE DI MATRICI QUADRATE DI ORDINE

ORDINE

n n

MATRICI

(n (n × × n) n)

DIAGONALE PRINCIPALE DIAGONALE PRINCIPALE

Gli elementi Gli elementi

formano la

formano la diagonale principalediagonale principale

della matrice quadrata di ordine della matrice quadrata di ordine nn

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

n n n

n

n n

a a

a

a

a a

a

a a

a

, 2

, 1

,

3 , 3

, 2 2

, 2 1

, 2

, 1 2

, 1 1

, 1

n

a

a

a

,

,...,

MATRICE SIMMETRICA MATRICE SIMMETRICA

EE’’ una matrice una matrice A (n A (n ×× n)n) ^,,

tale che tale che

A

A =

Gli Gli ELEMENTI SIMMETRICIELEMENTI SIMMETRICI

rispetto alla diagonale principale rispetto alla diagonale principale

sono

sono UGUALIUGUALI

ESEMPIO ESEMPIO

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

=

4 0

2

0 3

1

2 1

2 A

A A

=

⇒

A A èè simmetricasimmetrica

MATRICE TRIANGOLARE MATRICE TRIANGOLARE

SUPERIORE SUPERIORE

EE’’ una matriceuna matrice A (n A (n ×× n)n) ^,,

tale che tale che

j i

a

= 0 ∀ >

GliGli ELEMENTI SOTTO LA ELEMENTI SOTTO LA DIAGONALE PRINCIPALE DIAGONALE PRINCIPALE sonosono NULLINULLI

ESEMPIO ESEMPIO

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛ −

=

3 0

0

2 1

0

1 1

2 A

⇓ ⇓

A A èè triangolare triangolare superiore

superiore

MATRICE TRIANGOLARE MATRICE TRIANGOLARE

INFERIORE INFERIORE

EE’’ una matriceuna matrice A (n A (n ×× n)n) ^,,

tale che tale che

j i

a

= 0 ∀ <

Gli Gli ELEMENTI SOPRA LA ELEMENTI SOPRA LA DIAGONALE PRINCIPALE DIAGONALE PRINCIPALE sonosono NULLINULLI

ESEMPIO ESEMPIO

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 1

1

0 3

2

0 0

1 A

⇓ ⇓

A A èè triangolaretriangolare inferiore

inferiore

MATRICE DIAGONALE MATRICE DIAGONALE

EE’’ una matriceuna matrice A (n A (n ×× n)n) ,, tale che

tale che

j i

a

= 0 ∀ ≠

⇓

=

=

) ,...,

1 (

Se a_i,i

λ

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

= ⋅

λ λ

λ Λ

0 0

0

0 0

0

0 0

0

MATRICE SCALARE:

MATRICE SCALARE:

ΛΛA=A=λλAA

MATRICE IDENTITA

MATRICE IDENTITA’’ (o unit(o unitàà))

EE’’ una matrice una matrice A (n A (n ×× n)n), , tale chetale che

⎩⎨

⎧

=

= ≠

j per i

j per i

a_{i j}

1 0

,

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

1 0

0 0

1

0 0

1 0

0 0

0 1

Per ogni

Per ogni matrice A di ordine nmatrice A di ordine n

A AI

A

I _n = _n =

⇓ ⇓

èè ll’’elemento neutroelemento neutro della

dellaⁿ moltiplicazionemoltiplicazione

I

MATRICE INVERSA MATRICE INVERSA

NellNell’’ insieme dei numeri realiinsieme dei numeri reali,,

se se aa∈ℜ∈ℜ, , aa≠≠00 ⇒⇒ ∃∃ ll’’inverso di inverso di aa ciocioèè

∃ ∃ b b ∈ℜ ∈ℜ : : ba ba = = ab ab =1 =1

NellNell’’ insieme delle matrici quadrateinsieme delle matrici quadrate,,

∃ ∃ la matrice inversa? la matrice inversa?

CioCioèè,,

data una matrice A di ordine

data una matrice A di ordine nn, , esiste una matrice

esiste una matrice B tale che B tale che AB AB (B (B invinv. destra). destra) = =

=BA =BA (B (B invinv. sinistra). sinistra) = =

=I ?=I ?