Parte teoricaAll’occorrenza, evidenziare la risposta che si ritiene corretta

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Metodi Statistici e Probabilistici – Scienze Ambientali – a.a. 04/05

Metodi Statistici e Probabilistici

Scienze Ambientali – a.a. 04/05

Prova scritta – 4 Maggio 2005

Cognome: Nome:

P a r t e t e o r i c a

All’occorrenza, evidenziare la risposta che si ritiene corretta

Esercizio 1. Nella figura a fianco sono rappresentati valori i dati della coppia di variabili quantitative ^{X ,Y} (sono tracciati gli assi che passano per il punto medio (3, 1); ogni punto rappresenta una coppia di dati).

1.1. Delle tre rette sotto indicate una è quella di regressione; individuare quale, spiegandone il perché (eventualmente esplicitando le ragioni di esclusione delle altre due)

r1: 1 3 2

y  x r2: 1 3 1

y x r3: 1

y3x

1.2. Siano ^a e b i coefficienti della retta di regressione ^{y ax b}^ ^ sopra individuata. Si traslino ora tutti i punti del grafico di una unità verso sinistra parallelamente all’asse delle ascisse. Siano a e b i coefficienti della retta di regressione ^{y a x b}^ ^ ^ ^ dei punti che così si ottengono. Delle sei relazioni sotto indicate evidenziare le due corrette.

a a a a a a

b b b b b'b

Esercizio 2. Dati due eventi A e B si dice che A facilita B quando il realizzarsi di A renda più facile quello di B. La stessa cosa può essere espressa: in formule, con la ^P



^{B A}



^^P ^B , o mediate grafici, affermando che la parte di B che appartiene anche ad A occupa gran parte di

A stesso (o meglio, una parte relativa di A di valore maggiore di ^P ^B ):

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Supponiamo che tre eventi A, B e C siano tali che A faciliti B e B faciliti C. È necessiariamente vero che A facilita C? (ovvero, la relazione facilitare è transitiva?) Evidenziare la risposta corretta, fornendone una breve giustificazione.

SI NO perché:

Esercizio 3. Uno statistico dispone di due campioni estratti a sorte (indipendentemente l’uno dall’altro) da una stessa popolazione su cui è definita una variabile quantitativa la cui media è sconosciuta ed il cui scarto è noto. Egli decide di utilizzare entrambi i campioni per testare l’ipotesi che la media della popolazione sia un determinato valore, usando per entrambi i campioni il livello del 5%. Supponiamo che, sia pure all’insaputa dello statistico, l’ipotesi fatta sul valore della media della popolazione sia effettivamente vera. È possibile dire quanto valgono le seguenti probabilità (se SI, fornirne il valore numerico; se NO, darne una breve giustificazione)

3.1. la probabilità p1 che il test fatto col primo campione porti a rifiutare l’ipotesi;

SI p1 NO

perché:

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3.2. la probabilità p2 che il test fatto col primo campione porti a rifiutare l’ipotesi e quello fatto col secondo porti ad accettarla.

SI p2  NO

perché:

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Metodi Statistici e Probabilistici

Scienze Ambientali – a.a. 04/05

Prova scritta – 4 Maggio 2005

Cognome: Nome:

ESERCIZIO 1. Qui a fianco sono riportati i risultati di una rilevazione quantitativa, ordinati in modo crescente.

1.1. Tracciare, qui sotto, il box-plot dei dati.

1.1. Riportare, nel sistema di assi cartesiani sotto tracciato, il diagramma di dispersione dei dati.

i X 1 0 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 11 2 12 3 13 3 14 3 15 3 16 3 17 3 18 3 19 3 20 3

i X 21 3 22 3 23 4 24 4 25 4 26 4 27 4 28 4 29 4 30 4 31 5 32 5 33 5 34 5 35 5 36 6 37 6 38 7 39 8 40 10

1.2. Precisare quale formula consente di calcolare il valore medio x a partire dal precedente diagramma di dispersione; calcolare il valore medio applicando tale formula:

x

1.3. Precisare quale formula consente di calcolare la varianza  a partire dal precedente² diagramma di dispersione; calcolare la varianza applicando tale formula:

2 

1.4. Calcolare lo scarto dei dati

 

1

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ESERCIZIO 2. La seconda e la terza colonna della tabella sotto riportata contengono i dati del rilevamento di una coppia di variabili quantitative ^{X , Y} .

1.1. Completare la tabella:

i x_i y_i x_i² y_i² x y_{i i}

1 10 4

2 12 5

3 14 7

4 11 3

5 12 4

Totali

1.2. Riportare i dati su un opportuno sistema di assi cartesiani da tracciare qui a destra.

1.3. Calcolare le grandezze indicate nella seguente tabella, indicando le formule utilizzate per il calcolo:

Grandezza Formula

(letterale) Valore numerico

x y

var( )X 2( )X

var( )Y 2( )Y

cov( , )X Y ( , )X Y ( , ) ( , ) corr X Y  X Y

retta di regressione di Y rispetto ad X

y ax b 

a b

a b y(x) = x

2

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ESERCIZIO 3.

In un allevamento di ovini, il 5% dei quali è formato da maschi (tenuti per la riproduzione: gli altri maschi vengono venduti), si diffonde una malattia infettiva che finisce per contagiare il 40% dei maschi e il 30% delle femmine.

3.1. Un creditore, che deve essere pagato dal titolare dell’allevamento, sceglie a caso uno degli ovini a saldo del dovutogli. Calcolare la probabilità ^P ^S che l’animale da lui scelto non sia malato.

3.2. Il titolare dell’allevamento si è accorto che l’animale scelto dal creditore è femmina!

Quanto vale, valutata dal titolare, la probabilità ^P



^{S F}



che l’ovino scelto non sia malato?



^{S F}



^

P

3

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ESERCIZIO 4.

Una variabile casuale X definita sua una popolazione ha distribuzione normale, con media sconosciuta e scarto uguale a 0.45. Un campione di 144 osservazioni ha media 60.08 e deviazione standard 0.5. Si fa l’ipotesi che la media della variabile X abbia valore 60.

4.1. Testare l’ipotesi fatta al livello dell’1%.

4.2. Testare l’ipotesi fatta al livello dell’1% nel caso in cui anche il valore dello scarto di X fosse sconosciuto.

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