fx > 0 xxfxx -+= 9

(1)

VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 5a A- Indirizzo Scienze Sociali- FILA A

19/05/2014

1.

Sia data la funzione

( )

^x² ^x ⁹

f x x

- +

= con x RÎ

a) determina il suo dominio e le sue intersezioni con gli assi cartesiani;

b) determina gli intervalli della retta reale nei quali f x

( )

>0e f x

( )

<0 e scrivi le equazioni dei suoi asintoti;

c) determina gli intervalli in cui è crescente/decrescente e gli eventuali massimi e minimi relativi, stabilendo se sono anche assoluti. In base ai risultati ottenuti pre- cedentemente, traccia in un sistema di assi cartesiani ortogonali un grafico probabile di essa.

2.

Fra tutti i rettangoli di area uguale a 36 cm² trova, se esiste, quello di perimetro minimo.

(2)

1.

a) La funzione è razionale fratta e il suo dominio si ottiene imponendo il denominatore diverso da zero; nel nostro caso D: x^⁰; troviamo le intersezioni con gli assi:

asse x

2

0

9 y

x x

y x

 

  

  x²      x 9 0 1 36   e quindi non ci sono 35 0 intersezioni con l'asse x.

asse y : nessuna intersezione perché x=0 è escluso dal dominio.

b) Per determinare il segno della funzione sfrutto il teorema della permanenza del segno di una funzione continua e quindi basta sostituire dei valori all'interno della funzione

compresi tra gli zeri della stessa e i punti esclusi dal dominio:

________________-_____________0______________+__________________________

Calcoliamo f(-1)=

1 1 9 1 0

  

 e quindi f(x)<0 per x<0 mentre f(1)=

1 1 9 1 9 0

   

e quindi f(x)>0 per x>0.

Determiniamo gli asintoti della funzione:

Asintoti verticali.

2 0

9 9

lim^x 0

x x x



       e quindi x=0 è un asintoto verticale.

Asintoti obliqui.

Poiché il grado del numeratore è superiore di un'unità rispetto al grado del denominatore allora la funzione ha un asintoto obliquo y=mx+q, che determiniamo con le formule viste a lezione:

m=

 

² ²

2 2

lim lim 9 lim 1

x x x

f x x x x

x x x

  

    

q=

 

² ⁹ ² ⁹ ²

lim lim lim lim 1

x x x x

x x x x x x

f x mx x

x x x

   

         

         

 

   

L'asintoto obliquo ha, pertanto, equazione y=x-1.

Determiniamo gli intervalli in cui la funzione è crescente/decrescente:

    

²



²

2 2

2 1 9 9

' x x x x x

f x x x

    

 

.

I punti stazionari della funzione si trovano annullando il numeratore della derivata prima;

2 9 0

x   x=^³; stabiliamo, attraverso il segno della derivata prima e applicando il teorema della permanenza del segno di una funzione continua, il segno della derivata prima:

____________+____-3_______-___0______-____3_________+_________________

Basta studiare il segno del numeratore della derivata prima, in quanto il denominatore è sempre positivo.

Chiamo g(x)=x² .9

(3)

Si ha ^g

 

^{ }⁴ ^{16 9 7 0}^{  }

 

² ^{4 9} ^{5 0}

g      

 

² ^{4 9} ^{5 0}

g     

g

 

⁴ ^^{16 9 7 0}^{  }

In definitiva f(x) è crescente per x<-3 e per x>3 mentre è decrescente per -3<x<0 e per 0<x<3.

La funzione avrà un massimo relativo nel punto x=-3 y=

9 3 9 3 7

   

 mentre avrà un

minimo relativo nel punto x=3 y=

9 3 9 3 5

  

; non sono punti di massimo e di minimo assoluto poiché la funzione ha un asintoto obliquo e _x^lim_ ^{f x}

 

^{ }^lim_x_ ^{f x}

 

^{ }

. Ecco un grafico probabile della funzione:

2.

A=36cm²; poiché l'area di un rettangolo è uguale a ^{b h}^ allora ^{b h}^{ }³⁶; rinomino b con x allora h=

36

x e quindi, poiché il perimetro p=^{2 b h}^{ }

 

₌ ^{2 x}^^^_ ^³⁶_x ^^_, per trovare quello minimo basta calcolare la derivata prima del perimetro con x^



^0;^



_{; si ha}^{p x}^'

^{ }

^{ }² ⁷²_x²

(4)

e quindi ^{p x}^'

 

^{2 72}₂ ^x²

x

 

allora p x^'

 

0 e quindi 2x²72 0

e x=^⁶; solo x=6 è accettabile in quanto è positivo; il segno della derivata prima si ottiene studiando il segno del numeratore 2 72x ².

_________________-____6________+_______

x=1 ^p^{' 1}

 

^{ }^{1 72}^{ }⁷¹ mentre per x=7 ^p^{' 7}

 

^^{49 36 13}^ ^ ; in definitiva x=6 è un punto di minimo relativo, che è anche assoluto in quanto la funzione è positiva. Il perimetro minimo è 24 cm, che corrisponde al perimetro di un quadrato di lato 6cm.

(5)

VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 5a A- Indirizzo Scienze Sociali- FILA B

19/05/2014

1.

Sia data la funzione

( )

^x² ^x ²⁵

f x x

- +

= con x RÎ

a) determina il suo dominio e le sue intersezioni con gli assi cartesiani;

b) determina gli intervalli della retta reale nei quali ^{f x}

( )

>⁰e ^{f x}

( )

<⁰ e scrivi le equazioni dei suoi asintoti;

c) determina gli intervalli in cui è crescente/decrescente e gli eventuali massimi e minimi relativi, stabilendo se sono anche assoluti. In base ai risultati ottenuti pre- cedentemente, traccia in un sistema di assi cartesiani ortogonali un grafico probabile di essa.

2.

Fra tutti i rettangoli di area uguale a 25 cm² trova, se esiste, quello di perimetro minimo.

(6)

1.

a) La funzione è razionale fratta e il suo dominio si ottiene imponendo il denominatore diverso da zero; nel nostro caso D: x^⁰; troviamo le intersezioni con gli assi:

asse x

2

0

25 y

x x

y x

 

  

  x² x 25 0    1 100   e quindi non ci sono 99 0 intersezioni con l'asse x.

asse y : nessuna intersezione perché x=0 è escluso dal dominio.

b) Per determinare il segno della funzione sfrutto il teorema della permanenza del segno di una funzione continua e quindi basta sostituire dei valori all'interno della funzione

compresi tra gli zeri della stessa e i punti esclusi dal dominio:

________________-_____________0______________+__________________________

Calcoliamo f(-1)=

1 1 25 1 0

  

 e quindi f(x)<0 per x<0 mentre f(1)=

1 1 25 1 25 0

    e quindi f(x)>0 per x>0.

Determiniamo gli asintoti della funzione:

Asintoti verticali.

2 0

25 25

lim^x 0

x x x



     e quindi x=0 è un asintoto verticale.

Asintoti obliqui.

Poiché il grado del numeratore è superiore di un'unità rispetto al grado del denominatore allora la funzione ha un asintoto obliquo y=mx+q, che determiniamo con le formule viste a lezione:

m=

 

² ²

2 2

lim lim 25 lim 1

x x x

f x x x x

x x x

  

    

q=

 

² ²⁵ ² ²⁵ ²

lim lim lim lim 1

x x x x

x x x x x x

f x mx x

x x x

   

         

         

 

   

L'asintoto obliquo ha, pertanto, equazione y=x-1.

Determiniamo gli intervalli in cui la funzione è crescente/decrescente:

    

²



²

2 2

2 1 25 25

' x x x x x

f x x x

    

 

.

I punti stazionari della funzione si trovano annullando il numeratore della derivata prima;

(7)

25 0

x   x=^⁵; stabiliamo, attraverso il segno della derivata prima e applicando il teorema della permanenza del segno di una funzione continua, il segno della derivata prima:

____________+____-5_______-___0______-____5_________+_________________

Basta studiare il segno del numeratore della derivata prima, in quanto il denominatore è sempre positivo.

Chiamo g(x)=x²25.

Si ha ^g

 

^{ }⁴ ^{16 25}^ ^{  }^{9 0}

 

² ^{4 25} ^{21 0}

g      

 

² ^{4 25} ^{21 0}

g     

g

 

⁴ ^^{25 9 16 0}^{ } ^

In definitiva f(x) è crescente per x<-5 e per x>5 mentre è decrescente per -5<x<0 e per 0<x<5.

La funzione avrà un massimo relativo nel punto x=-5 y=

25 5 25 5 11

   

 mentre avrà un

minimo relativo nel punto x=5 y=

25 5 25 5 9

  

; non sono punti di massimo e di minimo assoluto poiché la funzione ha un asintoto obliquo e _x^lim_ ^{f x}

 

^{ }^lim_x_ ^{f x}

 

^{ }

. Ecco un grafico probabile della funzione:

2.

(8)

A=25cm²; poiché l'area di un rettangolo è uguale a ^{b h}^ allora ^{b h}^{ }²⁵; rinomino b con x

allora h=

25

x e quindi, poiché il perimetro p=^{2 b h}^{ }

 

₌ ^{2 x} ²⁵x

 

  , per trovare quello

minimo basta calcolare la derivata prima del perimetro con x^



^0;^



_{; si ha}^{p x}^'

^{ }

^{ }² ⁵⁰_x²

e quindi ^{p x}^'

 

^{2 50}₂ ^x²

x

 

allora p x^'

 

0 e quindi 2x²50 0

e x=^⁵; solo x=5 è accettabile in quanto è positivo; il segno della derivata prima si ottiene studiando il segno del numeratore 2 50x ².

_________________-____5________+_______

x=1 ^p^{' 1}

 

^{ }^{1 72}^{ }⁷¹ mentre per x=7 ^p^{' 7}

 

^^{49 36 13}^ ^ ; in definitiva x=5 è un punto di minimo relativo, che è anche assoluto in quanto la funzione è positiva. Il perimetro minimo è 20 cm, che corrisponde al perimetro di un quadrato di lato 5 cm.

(9)

Alunno Voto

V.B. 7-

F.B. 8

E.Br. 8

E.Bu 8-

G.D. 7

C.F. 6+

E.G. 5+

V.G. 5

M.G. 6+

S.L. 5+

E.L. 6

G.M. 7

L.M. 6

A.M. 5,5

G.M. 7-

A.Ra 6

A.Ru 6

H.S. 6

G.T. 6

A.V. 6+

(10)