fx > 0 fx < 0 2121 xfxxx +=-+

(1)

LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di Bolzano SIMULAZIONE DELLA TERZA PROVA SCRITTA DEGLI ESAMI DI STATO

MATERIA: MATEMATICA

CLASSE 5a A- Indirizzo Scienze Sociali 11/04/2014

Sia data la funzione

( )

₂² ¹

2 1

f x x

x x

= +

- + con x RÎ

a) determina il suo dominio e le sue intersezioni con gli assi cartesiani;

b) determina gli intervalli della retta reale nei quali ^{f x}

( )

>⁰e ^{f x}

( )

<⁰ e scrivi le equazioni dei suoi asintoti;

c) determina gli intervalli in cui è crescente/decrescente e gli eventuali massimi e minimi relativi. In base ai risultati ottenuti precedentemente, traccia in un sistema di assi cartesiani un suo grafico probabile.

(2)

Correzione della prova

a) Il dominio della funzione si trova ponendo il denominatore diverso da 0: ^x²^²^x^{ }^{1 0}; si può osservare che ^x²^²^x^{ }¹



^x^¹



²  e quindi D: ₀ x .1

Troviamo le intersezioni con gli assi.

Asse x.

Ponendo f(x)=0 si ha 2x  e quindi 1 0 x 1/ 2; la funzione interseca l'asse x nel punto (-1/2;0).

Asse y.

Ponendo x=0 si ha :

 

⁰ ¹ ¹

f  1

e quindi la funzione interseca l'asse y nel punto

 

^0;1 _.

b) Il segno della funzione lo troviamo applicando il teorema della permanenza del segno di una funzione continua; andiamo a rappresentare su una retta sia gli zeri della funzione che i punti e- sclusi dal dominio. Osservo, inoltre, che il segno dipenderà solo dal segno del numeratore N(x) e quindi considererò solo quello:

________-_____________-1/2________+________1_____-___________

Consideriamo un numero x<-1/2 : x=-1 si ha: N(-1)= ²^{    }

 

^{1 1} ¹; per -1/2<x<1 considero x=0, si ha N(0)=1 e per x>1 considero x=2 N(2)=5.

In definitiva f(x)>0 per -1/2<x<1 e per x>1 mentre f(x)<0 per x<-1/2.

Per trovare gli asintoti è opportuno osservare che il grado del denominatore è inferiore a quello del numeratore e quindi la funzione ammetterà un asintoto orizzontale, che si ottiene calcolan- do il seguente limite:

² ²

2 1 2

lim lim 0

2 1

x x

x x x

 

  

  ; l'asintoto orizzontale ha equazione y=0.

Gli eventuali asintoti verticali li troviamo nei punti esclusi dal dominio; si ha

¹ ²

2 1 5

lim^x 2 1 0

x

x x



    

    e quindi x=1 è l'asintoto verticale della funzione.

c) Per trovare gli intervalli di monotonia della funzione calcoliamo la derivata prima:

    ^ ^{ } ^

   

2 2 2

'

2 2

2 2 1 2 1 2 2 2 4 2 4 4 2 2

2 1 2 1

x x x x x x x x x

f x x x x x

            

 

   

In definitiva

   

' 2

2 2

2 2 4

2 1

x x

f x

x x

  

  

; i punti stazionari si trovano annullando il numeratore della

derivata prima ^²^x²^²^x^{ }^{4 0} x=

2 36

4

 



2 6 1;-2 4

 

 ; per trovare gli intervalli di monotonia sfruttiamo il fatto che il denominatore è sempre positivo ; il segno di f'(x) sarà pertanto ( indi- co con G(x) il numeratore)

x=-3 G(-3)= -18+6+4=-8; G(0)=4 e G(2)=-8-4+4=-8

_________-___________-2________+_______________1__________-______

(3)

La funzione f(x) è decrescente per x<-2 e per x>1 mentre è crescente per -2<x<1 e quindi avrà un minimo relativo in x=-2 il cui valore è f(-2)=-3/9=-1/3 mentre in x=1 non si ha un massimo rela- in quanto il numero è escluso dal dominio.

Ecco un grafico della funzione:

(4)

Risultati ( il quesito 2 è stato suddiviso nei quesiti 2 e 3 della griglia di valutazione e il quesito 3 è stato suddiviso nei quesiti 4 e 5 della griglia).

Alunno/a Voto ( in decimi) Voto ( in quindicesimi)

V.B. 6 10

F.B. 9,5 14

E.Br. 8 12

E.Bu. 7,5 12

G.D. 8 12

E.G. 5- 8

V.G. 5 8

M.G. 6+ 10

S.L. 6+ 10

E.L. 7+ 11

G.M. 8,5 13

L.M. 6+ 10

A.M. 6+ 10

G.M. 8 12

A.Ra 6 10

A.Ru 6- 10

H.S 6+ 10

G.T. 6+ 10

A.V. 6- 10

M.V. 7,5 12

fx > 0 fx < 0 2121 xfxxx +=-+

( )

( )

( )





 

 

 

       

   

   

    ^ ^{ } ^