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1.32 Esercizio. Si calcoli il massimo globale ed i massimi locali di f (x) :=

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Academic year: 2021

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1.32 Esercizio. Si calcoli il massimo globale ed i massimi locali di f (x) := 

x

0

t sin t dt, su F := [0, 6 π].

Soluzione. Nell’intervallo aperto (0, 6 π) i massimi locali si possono calcolare ponendo a zero la derivata prima e considerando il segno della derivata nell’intorno degli zeri.

df (x)

dt = x sin x = 0

e si ottengono i valori x

k

= k π per k = 1, . . . , 5. ` E immediato vedere che per k dispari tali valori sono massimi e per k pari tali valori sono minimi. Quindi x

1

= π, x

3

= 3 π e x

5

= 5 π sono massimi locali.

Per decidere se gli estremi dell’intervallo sono massimi locali `e necessario e sufficiente che la derivata sia non negativa in un intervallo sinistro dell’estremo destro o che sia non positiva in un intervallo destro dell’estremo sinistro.

Quindi n´ e 0 n´e 6 π sono massimi locali. Per calcolare il massimo globale bisogna calcolare f (x

1

), f (x

3

) e f (x

5

). Siccome

f (x) = sin x − x cos x si ha

f (x

k

) = k π

e quindi x

3

= 3 pi `e il massimo globale (in figura il grafico di f (x)).

1

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