Esercizio 1. Sia f : R → R la funzione di periodo 1 2 definita da f (x) = − π2 + cos(2πx) per x ∈ − 14 , 14 .

Universit` a degli Studi di Trento

CORSO DI ANALISI MATEMATICA II - LAUREA IN FISICA

DAVIDE PASTORELLO E ANDREA PINAMONTI

Esercizi di autovalutazione 4

Esercizio 1. Sia f : R → R la funzione di periodo ¹ 2 definita da f (x) = − _π ² + cos(2πx) per x ∈ − ¹ ₄ , ¹ ₄ .

Si determinino la serie di Fourier di f e la somma della serie numerica P ∞ n=1

(−1)

4n

−1 . Soluzione:

I coefficienti di Fourier sono:

a 0 = 0 b n = 0 a n = 4(−1) ⁿ π(1 − 4n ² ) , la funzione ` e continua e derivabile a tratti quindi:

f (x) = 4 π

∞

X

n=1

(−1) ⁿ

(1 − 4n ² ) cos(4πnx).

Dato che f (0) = _π ² − 1 si ricava:

∞

X

n=1

(−1) ⁿ 4n ² − 1 = 1

2 − π 4 .

Esercizio 2. Sia f : R → R la funzione di periodo 2π definita da f (x) = cos ^x 2
per x ∈ [−π, π). Si determinino la serie di Fourier di f e la somma della serie numerica P ∞

n=1 1 4n

−1 . Soluzione:

I coefficienti di Fourier sono

b _n = 0, a _n = 4(−1) ⁿ

π(1 − 4n ² ) ∀n ∈ N da cui

f (x) = 2 π + 4

π

∞

X

n=1

(−1) ⁿ

(1 − 4n ² ) cos(nx) la soluzione si ricava calcolando f (π).

Esercizio 3. Sia f : R → R la funzione di periodo 2π definita da f (x) = e ^x per x ∈ [−π, π). Si determini la serie di Fourier di f .

Soluzione:

I coefficienti di Fourier sono:

a 0 = e ^π − e ^−π

2π a n = (−1) ⁿ⁺¹ n sinh(π)

n ² + 1 b n = 2(−1) ⁿ sinh(π)

n ² + 1