Costruzione di Interfacce Lezione 3
Sistemi di riferimento e trasformazioni
cignoni@isti.cnr.it http://vcg.isti.cnr.it/~cignoni
Introduzione
Punti e vettori sono due cose diverse
Basi e sistemi di riferimento (coordinate systems and frames)
Coordinate omogenee
Trasformazioni Affini
Punti e vettori
Punto
Entità il cui unico attributo è la sua posizione rispetto ad un sistema di riferimento
Vettore
Entità i cui attributi sono lunghezza direzione
Spesso si visualizza un punto come un vettore dall’origine a quel punto:
pericoloso. Sono oggetti diversi.
Spazio Vettoriale
Spazio dove ci sono due entità
scalari
vettori
Operazioni:
Somma e moltiplicazione tra scalari
Somma vettore-vettore
Moltiplicazione scalare-vettore w
v u , ,
γ β α , ,
Spazio affine
Spazio dove ci sono tre entità
Scalari,
vettori,
punti
Operazioni:
Quelle di uno spazio vettoriale
Somma punto:vettore-> punto
Sottrazione punto:punto -> vettore w
v u , ,
γ β α , ,
R Q P , ,
Q v P = +
Q P v = −
Sistemi di coordinate
In uno spazio vettoriale 3d si può rappresentare univocamente un vettore w in termini di tre vettori linearmente indipendenti; I tre vettori usati sono una base di quello spazio
3 3 2 2 1
1
v v v
w = α + α + α
=
3 2 1
α α α a
=
3 2 1
v
v
v
w a
T}
,
,
{ v
1v
2v
3Sistemi di riferimento
Una base (tre vettori, linearmente indipendenti) non basta per definire la posizione di un punto.
Occorre anche un punto di riferimento, l’origine.
Sistemi di riferimento
Un frame (sistema di riferimento) necessita quindi di un punto di origine P
0e di una base. In esso si può rappresentare univocamente un punto
Nota: bastano tre scalari per rappresentare un punto, come per un vettore…
3 3 2 2 1 1
0
v v v
P
P = + η + η + η
Cambio sistemi di coordinate 1
In uno spazio vettoriale, date due basi.
Esprimiamo una in termini dell’altra:
Questo definisce la matrice 3x3 M di cambiamento di base
{ v
1, v
2, v
3} { u
1, u
2, u
3}
3 33 2 32 1 31 3
3 23 2 22 1 21 2
3 13 2 12 1 11 1
v v v u
v v v u
v v v u
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
+ +
=
+ +
=
+ +
=
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ M
=
3 2 1
3 2 1
v v v
u u u
M
Cambio sistemi di coordinate 2
Dato un vettore w
Ne ottengo la sua rappresentazione nell’altro sistema di coordinate usando la matrice M
3 3 2 2 1
1
v v v
w = α + α + α
=
3 2 1
α α α a
=
3 2 1
v v v w a
T3 3 2 2 1
1
u u u
w = β + β + β
=
3 2 1
β β β
b a = M
Tb
Cambio sistemi di coordinate 3
Nota che si sta parlando di vettori e non di punti
Questi cambi di base lasciano l’origine immutata (cambiano vettori)
In altre parole rappresentano solo rotazioni e scalature.
Un cambio di sistema di riferimento coinvolge anche un cambio del punto di origine.
Coordinate Omogenee
Per definire un frame bastano tre vettori ed un punto.
0 3 3 2 2 1
1
v v v P
P = α + α + α + } , , , { v
1v
2v
3P
0
=
0 3 2 1
3 2
1
1 ]
[
P v v v
P α α α
∅
=
⋅
=
⋅ P
P
P
0
1
Coordinate Omogenee
Si dice che un punto P è rappresentato dalla matrice colonna p
E un vettore w è rappresentato dalla matrice colonna a
= 1
3 2 1
α α α p
= 0
3 2 1
δ δ δ a
Cambio di Frame
Dati due sistemi di riferimento.
Esprimiamo uno in termini dell’altro:
Questo definisce la matrice 4x4 di cambiamento di frame
{ v
1, v
2, v
3, P
0} { u
1, u
2, u
3, Q
0}
0 3 43 2 42 1 41 0
3 33 2 32 1 31 3
3 23 2 22 1 21 2
3 13 2 12 1 11 1
P v v v Q
v v v u
v v v u
v v v u
+ + +
=
+ +
=
+ +
=
+ +
=
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
=
1 0 0 0
43 42 41
33 32 31
23 22 21
13 12 11
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ
γ γ γ M
Cambio di Frame
La matrice di cambiamento di frame
Date le due rappresentazioni a,b in coordinate omogenee in differenti frame (sia di un vettore che di un punto), vale:
=
0 3 2 1
0 3 2 1
P v v v
Q u u u
M
b M a a
b
b
T T T TP v v v
P v v v M Q u u u
=
⇒
=
=
0 3 2 1
0 3 2 1
0 3 2 1
Trasformazioni Affini
Funzioni che prendono un punto (o un vettore) e lo mappano in un altro punto (o vettore)
Lavorando in coord omogenee
Ci interessano
trasformazioni che siano lineari
) (
) (
u v
p q
f f
=
=
) ( ) ( )
( p q f p f q
f α + β = α + β
Trasformazioni affini
Preservano la colinearita’
Tutti i punti inizialmente su una linea giacciono ancora su di una linea dopo la trasformazione
E
I rapporti tra le distanze
Il punto di mezzo di un segmento rimane il punto di mezzo di un segmento anche dopo la trasformazione.
Trasformazioni Affini
Dato un punto ed una sua rappresentazione Ogni trasformazione lineare trasforma il punto nel punto che ha la stessa rappresentazione ma in un altro sistema di coordinate.
) ( ) ( ) ( ) ( )
( P
1f v
1 2f v
2 3f v
3f P
0f = α + α + α +
0 3 3 2 2 1
1
v v v P
P = α + α + α +
Trasformazioni Affini
quindi può sempre essere scritta in termini del rapporto che lega i due sistemi di riferimento
v=Au
Se A è non singolare una trasf affine corrisponde ad un cambio di coordinate
Trasformazioni Affini
In coordinate omogenee la matrice A deve anche lasciare immutata la quarta componente della rappresentazione
=
1 0 0 0
34 33 32 31
24 23 22 21
14 13 12 11
α α α α
α α α α
α α α α A
Trasformazioni Affini
Notare che se u è un vettore solo 9 elementi di A sono usati nella trasformazione
La quarta colonna corrisponde alla quarta riga della matrice di cambiamento di frame, che conteneva il nuovo punto di origine del frame (che chiaramente non serve se si parla di vettori)
=
0 1 0 0 0
3 2 1
34 33 32 31
24 23 22 21
14 13 12 11
γ γ γ α α α α
α α α α
α α α α Au
Trasformazioni Affini
Preservano le linee
Consideriamo una linea espressa nella forma parametrica
Consideriamone la sua rapp. in coordinate omogenee
A è una trasformazione affine d
P P ( α ) =
0+ α
d p p ( α ) =
0+ α
d A Ap Ap ( α ) =
0+ α
Esercizio
Considerando che una trasformazione affine puo’ essere pensata come un cambio di frame, come è fatta una matrice T che trasforma un punto spostandolo di un certo vettore Q?
Coordinate Omogenee
Si dice che un punto P è rappresentato dalla matrice colonna p
E un vettore w è rappresentato dalla matrice colonna a
= 1
3 2 1
α α α p
= 0
3 2 1
δ
δ
δ
a
Trasformazioni Affini
Notare che se u è un vettore solo 9 elementi di A sono usati nella trasformazione
La quarta colonna corrisponde alla quarta riga della matrice di cambiamento di frame, che conteneva il nuovo punto di origine del frame (che chiaramente non serve se si parla di vettori)
=
0 1 0 0 0
3 2 1
34 33 32 31
24 23 22 21
14 13 12 11
γ γ γ α α α α
α α α α
α α α α Au
Traslazione
modifica i punti di un frame sommando a tutti i punti un vettore di spostamento d P ′ = P + d
d p p' = +
Traslazione
=
′
′
′
′ =
=
0 1 1
z y x
z d y x
z y x
α α α p
d p p p' = +
=
′ =
1 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
z y x
α α α T
Tp p
Traslazione
=
1 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1 ) , , (
z y x
z y
x
α
α α α
α α T
−
−
−
−
−
−
=
−
1 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1 ) , , ( ) , ,
1
(
z y x
z y x z y
x
α
α α α
α α α α
α T
T
Rotazione
Di una rotazione si deve specificare
angolo,
asse
punto di applicazione
Rotazione
Caso semplice asse z, intorno all’origine, di un’angolo θ
) sin(
) cos(
sin cos
θ φ ρ
θ φ ρ
φ ρ
φ ρ
+
=
′ +
=
′
=
=
y x y x
θ ρ
(x’,y’)
(x,y)
Rotazione
θ θ θ φ ρ θ φ ρ
θ θ θ φ ρ θ φ ρ
φ ρ
φ ρ
cos sin cos sin sin cos
sin cos sin sin cos cos sin cos
y x y
y x x
y x
+
= +
=
′
−
=
−
=
′
=
=
−
=
′
′
y x y
x
θ θ
θ θ
cos sin
sin cos
Rotazioni
= +
=
′
′
′
1 cos sin
sin - cos
1 ) ( 1
z y x
y x
z y x z R y x
Z
θ θ
θ θ θ
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin - cos )
( θ θ
θ θ θ
ZR
Rotazioni
=
1 0 0 0
0 cos sin 0
0 sin - cos 0
0 0 0 1 )
( θ θ
θ θ
Xθ
R
=
1 0 0 0
0 cos 0 sin -
0 0 1 0
0 sin 0 cos )
( θ θ
θ θ θ
YR
Rotazioni
Le matrici di rotazione viste finora sono facilmente invertibili
Quindi basta trasporre…
) ( ) (
) cos(
) cos(
) sin(
) sin(
) ( ) (
1 1
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
R
TR R R
=
=
−
−
=
−
−
=
−
−
Rotazioni Complesse
Rotazioni centrate non sull’origine
Rotazioni su assi diversi da quelli principali
Si ottengono per composizione di trasformazioni
Scaling
Non rigida
Non uniforme lungo gli assi
Solo centrata rispetto all’origine
=
=
=
=
1 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 ) , , ( ' ' '
z y x
X z y x
z y x
S z z
y y
x x
β β β β β β
β
β
β
9 Ott 2002 Costruzione di Interfacce - Paolo Cignoni
37
