1. Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale ω(x, y) = dx + y dz sul bordo, orientato positivamente, della superficie di equazione

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- Esercizi di riepilogo e di complemento

Teoremi di Stokes e della divergenza

1. Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale ω(x, y) = dx + y dz sul bordo, orientato positivamente, della superficie di equazione

z = x + 3 sin(x

− y

) , x

+ y

1

[

] 2. Calcolare il flusso del campo vettoriale

V = (x

y, −xy

, z)

uscente dalla superficie del toro T generato dalla rotazione intorno all’asse z del cerchio del piano x, z di centro (R, 0) e raggio r < R.

[

] 3. Calcolare l’integrale curvilineo della forma differenziale

ω(x, y, z) = (y + z) dx + (z + x) dy + (x − y) dz

sulla circonferenza intersezione tra la superficie sferica x

+ y

+ z

= 1 ed il piano z = y, sia direttamente, sia applicando il teorema di Stokes.

[

] 4. Usando il teorema di Stokes, calcolare il flusso del campo vettoriale

F(x, y, z) = (x + y)ˆı+ (z − y)ˆj+ x

y ˆk attraverso la superficie

S = (x, y, z) ∈ R

: z = x

+ y

, x

+ y

4

[

] 5. Calcolare il flusso del campo vettoriale

F(x, y) = −2x

y ˆı− 1 2 x

ˆ j

uscente dalla circonferenza di centro (0 , 0) e raggio 1, sia direttamente, sia applicando il teorema della divergenza.

[

] 6. Calcolare il flusso del campo vettoriale

F(x, y, z) = (2x, 1, z) attraverso la superficie del toro di equazioni parametriche

ϕ :







x = (2 + cos u) sin v

y = (2 + cos u) cos v ( u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 2π]

z = sin u

orientata secondo la normale esterna. [

]

1

7. Verificare il teorema di Stokes nel caso della superficie z = 1 − x

− y

, z  0, orientata in modo tale che la normale in (0 , 0, 1) sia proprio (0, 0, 1) e il campo vettoriale sia F = (y, z, x).

[

]

8. Calcolare, sia direttamente sia con il teorema di Stokes, il flusso del rotore del campo vettoriale

F(x, y, z) = y

ˆ ı + (x − y) ˆk attraverso la superficie S di equazione

z = 1 − x

− y

, ( x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R

: x  0, y
0, x

+ y

1}

orientata in modo che il versore normale sia quello della parametrizzazione cartesiana.

[

]

9. Calcolare, sia direttamente sia con il teorema di Stokes, il flusso del rotore del campo vettoriale

F(x, y, z) = z ˆı+ y ˆj+

x

2 + y



ˆ k attraverso la superficie S di equazione

z = x

, ( x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R

: 0
x
1, 0
y
x}

orientata in modo che il versore normale sia quello della parametrizzazione cartesiana.

[

]

10. Calcolare, sia direttamente sia con il teorema di Stokes, il flusso del rotore del campo vettoriale

F(x, y, z) = x ˆı+ y

2 ˆ k attraverso la superficie S di equazione

z = x

+ y

, ( x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R

: x  0, y  0, x + y
1}

orientata in modo che il versore normale sia quello della parametrizzazione cartesiana.

[

]

2