CAPITOLO 5

(1)

Riflessione e Rifrazione

CAPITOLO 5

Politecnico di Bari Ingegneria Elettrica, Corso di Fisica 3 Prof. G. Iaselli

1

(2)

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

Perturbazione prodotta dal movimento dell’estremità libera di una corda tesa con l’altra estremità fissata al muro.

∂

²

ξ

∂ t

²

= ν

²

^∂

²

ξ

∂ x

²

↔ ∂

²

ξ

∂ t

²

= T ρ

₁

^{⋅ ∂}

2

ξ

∂ x

²

con ν = T ρ

₁

L’onda incidente da vita nel punto di fissaggio a un’onda riflessa capovolta rispetto a quella incidente.

2

(3)

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

Perturbazione prodotta dal movimento dell’estremità libera di una corda tesa con l’altra estremità libera di muoversi in direzione verticale muro.

L’onda incidente in prossimità della giunzione produce lo spostamento dell’anello e l’onda riflessa non si inverte rispetto a quella incidente.

1 2

2 1 2

2 2

2 2 2

2

T

con T

1 ν ρ ξ

ρ ξ ξ

ν

ξ ₌

∂

⋅ ∂

∂ =

↔ ∂

∂

⋅ ∂

∂ =

∂

t x

3

(4)

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

ρ 1 ρ ₂

ρ 1

ρ 2

Più in generale nel passaggio da una corda ad un’altra

L’onda incidente nel passaggio da una porzione di corda a densità maggiore ad una a densità minore produce un’onda trasmessa e ad una riflessa, dove quest’ultima non si inverte rispetto all’onda incidente.

L’onda incidente nel passaggio da una porzione di corda (a densità minore ad una a densità maggiore genera un’onda trasmessa e un’onda riflessa dove quest’ultima è c a p o v o l t a r i s p e t t o a l l ’ o n d a incidente.

1 1

T

= ρ v

1 1

T

= ρ v

2 2

T

= ρ v

2 2

T

= ρ v

4

(5)

Si considera una corda sia costituita da due porzioni densità ρ ₁ e ρ ₂

Le velocità ν ₁ e ν ₂ di propagazione nei due mezzi sono diverse mentre la frequenza (f) e la pulsazione (ω) restano uguali

Equazioni delle tre onde

ξ _i = ξ _0,i ⋅cos(k ₁ x − ω ^t) → onda incidente ξ _r = ξ _0,r ⋅cos(k ₁ x + ω ^t) → onda riflessa ξ _t = ξ _0,t ⋅cos(k ₂ x − ω ^t) → onda trasmessa

T

2 2

2

1 1

1

ω ρ ω

⋅

=

⋅

=

= k v k v dove

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

5

(6)

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

Scelto un sistema di riferimento avente l’origine dell’asse orizzontale in corrispondenza del punto di giunzione tra i due mezzi, in ogni istante la somma tra l’onda riflessa (ξ _r ) e l’onda incidente (ξ _i ) deve essere pari all’onda rifratta (ξ _t )

Per x=0 si ha:

ρ 1 ρ ₂

t r

i ξ ξ

ξ + =

ξ t

r

i

ξ

ξ +

ξ _0,i + ξ _0,r = ξ _0,t

6 ξ

_i

(0, t) = ξ

_0,i

⋅cos(k

₁

x − ω t) = ξ

_0,i

⋅cos( ω t)

ξ

_r

(0, t) = ξ

_0,r

⋅cos(k

₁

x + ω t) = ξ

_0,r

⋅cos( ω t)

ξ

_t

(0, t) = ξ

_0,t

⋅cos(k

₂

x − ω t) = ξ

_0,t

⋅cos( ω t)

(7)

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

Inoltre l’espressione della forza nel punto di contatto lungo l’asse verticale

( )

0 0

T

=

= ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

∂

= ∂

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ +

∂

x t x

r

i x

T ξ ξ

x ξ

−k ₁ ξ _0,i ^sen( − ω ^t) − k ₁ ξ _0,r ^sen( ω ^t) = −k ₂ ξ _0,t ^sen( − ω ^t)

k ₁ ( ξ _0,i − ξ _0,r ⁾ = k ₂ ξ _0,t ξ _0,i + ξ _0,r = ξ _0,t

7

(8)

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

k ₁ ( ξ _0,i − ξ _0,r ⁾ = k ₂ ξ _0,t

ξ _0,r = k ₁ − k ₂ k ₁ + k ₂ ξ _0,i

ξ _0,t = 2k ₁

k ₂ + k ₁ ξ _0,i

Ampiezza onda riflessa

Ampiezza onda trasmessa

Da cui è possibile definire i seguenti coefficienti Riflessione Trasmissione

r = ξ _0,r ξ _0,i ⁼

ρ ₁ − ρ ₂

ρ ₁ + ρ ₂ ^t ⁼

ξ _0,t ξ _0,i ⁼

2 ρ ₁ ρ ₁ + ρ ₂

ξ _0,i + ξ _0,r = ξ _0,t

8

(9)

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

Riflessione Trasmissione

r = ξ _0,r ξ _0,i ⁼

ρ ₁ − ρ ₂

ρ ₁ + ρ ₂ ^t ⁼

ξ _0,t ξ _0,i ⁼

2 ρ ₁ ρ ₁ + ρ ₂

Il coefficiente “t” è sempre positivo per cui l’onda trasmessa (ξ _t ) è sempre in fase con l’onda incidente (ξ _i );

Il coefficiente “r” è positivo ( se ρ ₁ > ρ ₂ (da mezzo più denso a mezzo meno denso) per cui l’onda riflessa (ξ _r ) è in fase con l’onda incidente (ξ _i );

Il coefficiente “r” è negativo se ρ ₂ > ρ ₁ (da mezzo meno denso a mezzo più denso) per cui l’onda riflessa (ξ _r ) è in opposizione fase con l’onda incidente (ξ _i ) e si capovolge;

9

(10)

Se l’onda incide su una corda pesante da una corda leggera (ρ ₂ > ρ _l ) si ha che l’onda riflessa è ridotta in ampiezza ed invertita mentre l’onda trasmessa ha un’ampiezza minore di quella dell’incidente ed una velocità minore rispetto alle altre due onde.

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

r = ξ

_0,r

ξ

_0,i

⁼

ρ

₁

− ρ

₂

ρ

₁

+ ρ

₂

ξ _0,i + ξ _0,r = ξ _0,t ξ _0,i + r ξ _0,i = ξ _0,t

r < 0 l’onda riflessa è capovolta

10

(11)

Se l’onda incide su una corda leggera da una corda più pesante (ρ ₁ > ρ ₂ ), si ha che l’onda riflessa è ridotta in ampiezza e non invertita mentre l’onda trasmessa ha ampiezza minore rispetto a dell’incidente ed è caratterizzata da una velocità di propagazione maggiore rispetto a quella delle altre due onde.

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

r = ξ

_0,r

ξ

_0,i

⁼

ρ

₁

− ρ

₂

ρ

₁

+ ρ

₂

ξ _0,i + ξ _0,r = ξ _0,t ξ _0,i + r ξ _0,i = ξ _0,t

r > 0 l’onda riflessa è in fase

11

(12)

L’intensità di un’onda (I) rappresenta il valor medio dell’energia che passa attraverso una sezione ortogonale alla direzione di propagazione per unità di tempo ed unità di area, in particolare per la corda si ha:

2 T

1 2

I _i = 1 ρ ₁ ω ² v ₁ ξ ₀ ² _, _i = ρ ₁ ω ² ξ ₀ ² _, _i

2 T 1 2

I _r = 1 ρ ₁ ω ² v ₁ ξ ₀ ² _, _r = ρ ₁ ω ² r ² ξ ₀ ² _, _i

2 T

1 2

I _t = 1 ρ ₂ ω ² v ₂ ξ ₀ ² _, _t = ρ ₂ ω ² t ² ξ ₀ ² _, _i

Onda incidente

Onda riflessa

Onda trasmessa

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

12

(13)

R = I

_r

I

_i

= ξ

_0,r²

ξ

_0,i²

^{= r}

2

= ρ

₁

− ρ

₂

ρ

₁

+ ρ

₂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

(

² ² ¹¹

)

²

2 1 2 2

, 0 1 1

2 , 0 2

2

4 I T I

ρ ρ

ρ ρ ξ

ρ ξ ρ

= +

=

= t

v v

i t i

t

R+T=1

Coefficienti di riflessione R e di trasmissione T

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

Se definiamo

n

₂₁

= n

₂

n

₁

= v

₁

v

₂

= ρ

₂

ρ

₁

indice di rifrazione R = n

₂₁

−1

n

₂₁

+1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

13 r = − n

₂₁

−1

n

₂₁

+1

(14)

Definiamo Impedenza della corda

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

ρ

T Z =

r = ξ _0,r ξ _0,i ⁼

Z ₁ − Z ₂

Z ₁ + Z ₂ ¹ ²

1 ,

0 ,

0 2

Z Z

t Z

i t

= +

= ξ ξ

Per corde di ugual impedenza 0

, 0

,

0 =

=

i

r r

ξ ξ

14

(15)

Riflessione e rifrazione

0 0

c v k

k

v c

= λ = λ

Nel passaggio dal vuoto da un mezzo cambiano v, k, λ, mentre restano invariate (perché determinate dalla sorgente) f, ω

, 2

,

0 0

0

f

v k c

f

c = = =

= λ

λ π λ ω

v n = c

Indice di rifrazione

1

λ

v

1

v

₂

2

λ

n

1

n

₂

n ₂₁ = v ₁

v ₂ = c n ₁

n ₂

c = n ₂ n ₁

Nel passaggio fra due mezzi

Indice di rifrazione

15

(16)

Riflessione e rifrazione

Indice di rifrazione L’indice di rifrazione assoluta di un mezzo n è dato dal rapporto fra la velocità della luce nel vuoto rispetto a quella nel mezzo in esame

ν n = c

1 1 2

,

2 n

n = n

16

(17)

Il principio di Huygens-Fresnel può essere enunciato nel modo seguente

“Ogni elemento di un fronte d’onda Σ può essere considerato come sorgente di onde sferiche secondarie che si propagano con la stessa velocità di fase dell’onda primaria. Il nuovo fronte d’onda Σ’ ad un istante successivo è dato dalla superficie tangente o inviluppo delle onde secondarie sferiche a tale istante di tempo”

Tuttavia costruire il nuovo fronte d’onda si utilizza solo la parte in avanti delle onde sferiche secondarie, e non viene in alcun modo giustificata l’eliminazione delle parti all’indietro delle onde sferiche secondarie.

Riflessione e rifrazione Principio di Huygens-Fresnel

17

(18)

Riflessione e rifrazione Teorema di Kirchhoff

Il teorema di Kirchhoff fornisce una base matematica al principio di Huygens-Fresnel

“Ogni elemento dΣ di una superficie d’onda Σ si può considerare formalmente come una sorgente di onde secondarie sferiche la cui ampiezza, proporzionale all’ampiezza dell’onda primaria e all’area dΣ, varia con l’angolo secondo il fattore direzionale f(θ)”.

ξ ( ) ^q _ξ

p ( ) r ^{= f} ∫ _Σ ( ) ^θ ^ξ ( ) ^q ^d ^Σ

( ) 2 cos 1

sferica onda

una Per

θ = ⁺ θ f

18 s

(19)

Riflessione e rifrazione Principio di Huygens-Fresnel

Costruzione dei fronti d’onda di una onda piana

Costruzione dei fronti d’onda di una onda sferica

19

(20)

Riflessione e rifrazione

Leggi di Snell Deduzione delle leggi della riflessione e rifrazione dal principio di Huygens-Fresnel

r

i ϑ

ϑ =

20

(21)

Riflessione e rifrazione

Leggi di Snell Deduzione delle leggi della rifrazione dal principio di Huygens-Fresnel

21

(22)

Riflessione e rifrazione

Leggi di Snell Deduzione delle leggi della rifrazione dal principio di Huygens-Fresnel

hd hdf sen

hd hde sen

t i

triangolo il

per

triangolo il

per

2 1

→

=

→

= ϑ λ ϑ λ

2 1 2

1 v v sen

sen

t

i = =

λ λ ϑ

ϑ

22

(23)

Riflessione e rifrazione Principio di Fermat

“ Per andare da un punto all’altro, fra tutti i possibili percorsi la luce segue quello che richiede un tempo minimo rispetto ai percorsi vicini, con cui si possono congiungere i due punti ”

Conseguenza del principio di Fermat si ha che in un mezzo omogeneo ed isotropo in assenza di ostacoli i percorsi della luce sono rettilinei in quanto, essendo questi i più brevi, richiedono un tempo minimo.

geometrico Cammino

' L _g = r + r

23

(24)

Riflessione e rifrazione Leggi di Snell

( )

²

^percorso ^del ^raggio

2 2

2

+ + + − →

= a x b D x

L

Il tempo di percorrenza della luce, ossia t=L/c, deve essere minimo. La condizione richiede che dt/dx=0.

24 Deduzione delle leggi della riflessione dal principio di Fermat

(25)

Riflessione e rifrazione Leggi di Snell

( ) ² ₂ ¹ [ ⁽ ⁾ ] ² ⁽ ⁾ ⁰

2 1

1

2 2 1/2

⋅

2

+ −

2 ¹^/²

⋅ ⋅ − =

− ⋅

⋅

⋅ +

⋅ ⋅

=

⋅

=

⁻

b D x

⁻

D x

x c x

c a dx

dL c dx

dt

( ) ²

2 2

2 b D x

x D x

a x

− +

= − +

→

=

→

= _r _i _r

i sen

sen ϑ ϑ ϑ ϑ legge della riflessione

25 L = a

²

+ x

²

+ b

²

+ D − x ( )

²

Deduzione delle leggi della riflessione dal principio di Fermat

(26)

Riflessione e rifrazione Leggi di Snell

L = L ₁ + L ₂ = a ² + x ² + b ² + D − x ( ) ²

Il tempo t necessario per percorrere il tratto APB deve essere minimo e cioè richiede che x sia scelto in modo tale che dt/dx=0.

26 Deduzione delle leggi della rifrazione dal principio di Fermat

(27)

Riflessione e rifrazione Leggi di Snell

Il tempo di percorrenza per andare da A a B, è dato dalla relazione:

c L c

L n L

t n L

t = L + → = ¹ ⋅ ¹ + ² ⋅ ² =

2 2 1

1 ν ν

L = L ₁ + L ₂ = a ² + x ² + b ² + D − x ( ) ²

( ) ² ₂ [ ⁽ ⁾ ] ² ⁽ ⁾ ⁰

2

1

¹ 2 2 1/2 2

⋅

2

+ −

2 ¹^/²

⋅ ⋅ − =

− ⋅

⋅

⋅ +

⋅ ⋅

=

⋅

=

⁻

b D x

⁻

D x

c x n

x c a

n dx

dL c dx dt

( )

²

2 2 2

1 2

x D b

x n D

x a n x

− +

⋅ − + =

⋅

rifrazione della

legge

1 2 2

1

⋅ = ⋅ → = →

n n sen

sen sen n

sen n

t t i

i ϑ

ϑ ϑ ϑ

27

(28)

Riflessione e rifrazione Cammino ottico

Cammino ottico L = n ₁ ⋅ L ₁ + n ₂ ⋅ L ₂

28 geometrico Cammino

' L _g = r + r

Il cammino ottico deve essere

minimo

(29)

Onda caratterizzata frequenza f e lunghezza d’onda λ che attraverso due mezzi differenti

Se la superficie di separazione Σ è piana indefinita o curva con raggi di curvatura molto più grandi della lunghezza d’onda λ dell’onda incidente, l’incidenza dell’ onda sulla superficie di separazione da origine a un’onda riflessa e un’onda rifratta o trasmessa

Riflessione e rifrazione Onde luminose

29 Laboratorio virtuale

(30)

Riflessione e rifrazione

Onde luminose

sen ϑ _i sen ϑ _t ⁼

n ₂

n ₁ = n _2,1

r

i ϑ

ϑ =

giacciono nel piano di incidenza

t r

i k k

k ! ! ! , ,

i

t sen

n

sen ϑ n ϑ

2 = 1 ϑ t < ϑ i

In questo caso n ₂ > n ₁

30 ϑ

i

ϑ

t

n

1

n

2

Leggi di Snell

(31)

Riflessione e rifrazione

Leggi di Snell

sen ϑ _i sen ϑ _t ⁼

n ₂

n ₁ = n _2,1

i

t sen

n

sen ϑ n ϑ

2 = 1 ϑ _i < ϑ _t

Riflessione totale

In corrispondenza dell’angolo limite o critico θ ₀ , l’angolo di rifrazione risulta pari a π/2; l’onda trasmessa è cioè tangente alla superficie Σ.

1 2

0

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

= n

arcsen n ϑ

In questo caso n ₁ > n ₂

31 ϑ

i

ϑ

t

n

1

n

2

n

1

n

2

ϑ

^t

Onde luminose

(32)

Riflessione e rifrazione

Onde luminose Effetti della rifrazione

32

(33)

Riflessione e rifrazione Onde luminose

33 Effetti della riflessione totale

(34)

Riflessione e rifrazione

Onde luminose

Fibre scintillanti

34

(35)

Riflessione e rifrazione

Onde luminose

35 n ₂ n ₁

n ₂ n ₁

n ₁ > n ₂

La propagazione avviene all’interno del nucleo se se

ϕ

sen ϕ = n ₁ ² − n ₂ ²

(36)

Riflessione e rifrazione

Onde luminose

36 Fibra multimodale Raggio disperso

Modo di ordine alto Modo di ordine basso

Numero di modi M = 1 2

π ^dsen ϕ λ

λ d

Fibra monomodale

M = 0

(37)

Riflessione e rifrazione

Onde luminose

37 Trasmissione dei segnali

1 Δt = 50 ⋅10

⁻⁹

sec

f = 1

T = 0.2⋅10 ⁹ Hz

Supponiamo che la sorgente produca impulsi brevissimi

S u p p o n i a m o c h e i l

rivelatore riesca a leggerli

(38)

Riflessione e rifrazione

Onde luminose

38

(39)

Riflessione e rifrazione

Dispersione della luce

)

( ₂

λ ^A λ ^B

n = +

Formula d Cauchy

Fascio di onde luminose non monocromatico

39 Onde luminose

(40)

Riflessione e rifrazione

Dispersione della luce

40 i

t sen

n

sen n ϑ

ϑ λ

)

2 (

= 1

Onde luminose

(41)

Riflessione e rifrazione

Il prisma

Fascio di onde luminose non monocromatico

n = sen( α + δ _m 2 ) sen α

2 Utilizzando luce monocromatica, dalla misura della deviazione del raggio, si può calcolare l’indice di rifrazione

41 Onde luminose

(42)

Riflessione e rifrazione

Arcobaleno

42 Onde luminose

(43)

Riflessione e rifrazione

Si considera un’onda armonica piana che si propaga nel mezzo 1 in direzione e attraversa la superficie di separazione tra i due mezzi isotropi e omogenei.

E ! _i = E _0,i sen( !

k _i ⋅ !r − ω ^t) E ! _r = E _0,r sen( !

k _r ⋅ !r − ω ^t) E ! _t = E _0,t sen( !

k _t ⋅ !r − ω ^t)

Onde EM - Formule di Fresnel

Definiamo il piano di incidenza π i n d i v i d u a t o d a l l a d i r e z i o n e d i propagazione dell’onda incidente e dalla normale alla superficie di separazione Σ nel punto di incidenza.

n 1

n 2 π k ! i

k ! t

k ! r

σ

43 k !

_i

k !

_i

(44)

Riflessione e rifrazione

E _i + E _r = E _t

Onde EM - Formule di Fresnel

Sulla superficie di separazione deve essere

n 1

n 2 π k ! i

k ! t

k ! r

σ

r k r

k r

k

ωt r

k ωt

r k ωt

r k

t r

i

t r

i ! ! ! " ! !

! !

⋅

=

⋅

=

⋅

→

−

⋅

=

−

⋅

=

−

⋅

E quindi

44 Definiamo il piano σ perpendicolare al

piano π e coincidente con la superficie di

separazione tra i due mezzi.

(45)

Riflessione e rifrazione

Onde EM - Formule di Fresnel

k ! _i ⋅ !r = !

k _r ⋅ "r = ! k _t ⋅ !r

45 k _ix x + k _iy y + k _iz z =

= k _rx x + k _ry y + k _rz z =

= k _tx x + k _ty y + k _tz z

I vettori k _i , k _r e k _t e sono nello stesso piano

y

x

π

Implica

Supponiamo k _iz = 0

Allora

k _ix x + k _iy y + k _iz z =

= k _rx x + k _ry y + k _rz z =

= k _tx x + k _ty y + k _tz z

anche k _rz = 0, k _tz = 0

(46)

Riflessione e rifrazione

Onde EM - Formule di Fresnel Inoltre

46 k _ix = k _i sen θ _i k _rx = k _r sen θ _r k _tx = k _t sen θ _t

sen ϑ _i sen ϑ _t ⁼

k _t

k _i = v ₁

v ₂ = n ₂

n ₁ = n _2,1

r

i ϑ

ϑ =

Da cui

y

x

π

Abbiamo ritrovato la legge di Snell

k _ix = k _rx

k _ix = k _tx

(47)

Riflessione e rifrazione

Onde EM - Formule di Fresnel

π

Se il campo elettrico incidente è polarizzato rettilinermente nel piano π, anche i campi elettrici riflesso e rifratto sono polarizzati rettilinearmente nel piano π

Onda polarizzata nel piano π ( Polarizzazione π )

π

( )

(

i t

)

t i

i r

tg tg n

n

n n

E r E

θ θ

π

+

= − +

= −

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

= cos cos

cos cos

1 2

, 0

(

i t

) (

i t

)

i t

t i

i i

t

n n

n E

t E

θ θ θ

θ

θ θ

θ

π

= + −

= +

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

cos sin

2 cos

cos

cos 2

1 2

1 ,

0 , 0

47

(48)

Riflessione e rifrazione

One EM - Formule di Fresnel

48

π

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

i r

E r E

, 0

π

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

i t

E t E

, 0

(49)

Riflessione e rifrazione Onde EM - Formule di Fresnel

Onda polarizzata nel piano perpendicolare a π

( Polarizzazione σ )

i

π

E

i

E

i

( )

(

i t

)

t i t

i

t i

i r

n n

E r E

θ θ

θ θ θ

θ

θ θ

σ

+

− − + =

= −

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

= sin

sin cos

cos

cos cos

2 1

, 0

(

i t

)

i t

t i

i i

t

n n

n E

t E

θ θ

θ

σ

= +

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

sin

cos sin

2 cos

cos

cos 2

2 1

1 ,

0 , 0

Se il campo elettrico incidente è polarizzato rettilinermente nel piano perpendicolare a π, anche i campi elettrici riflesso e rifratto sono polarizzati rettilinearmente nel piano perpendicolare a p

π

49

(50)

Riflessione e rifrazione

Onde EM - Formule di Fresnel

I coefficienti t _π e t _σ sono sempre positivi; le onde trasmesse sono sempre in fase Il coefficiente r _σ ha sempre segno negativo se n ₁ < n ₂ (l’onda riflessa è sfasata di π ); ha sempre segno positivo se n ₁ > n ₂ ;

Se n ₁ < n ₂ il coefficiente r _π al crescere di θ _i è dapprima positivo, poi si annulla e diventa negativo. Ha un comportamento esattamente contrario come segno se n ₁ > n ₂ ;

Nel caso n ₁ > n ₂ bisogna ricordare che superato l’angolo limite θ ₀ si ha solo la riflessione, mentre nel caso n ₁ < n ₂ tutto l’intervallo da zero a π/2 è disponibile per la trasmissione ad eccezione del valore estremo π/2.

( )

(

i t

)

t i t

i

t i

i r

tg tg n

n

n n

E r E

θ θ θ θ θ

θ θ

θ

π

+

= − +

= −

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

= cos cos

cos cos

1 2

, 0

(

i t

) (

i t

)

i t t

i i i

t

n n

n E

t E

θ θ θ

θ

θ θ

π

= + −

= +

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

= sin sin

cos sin 2 cos

cos cos 2

1 2

1 ,

0 , 0

( )

(

i t

)

t i t

i

t i

i r

n n

E r E

θ θ

θ θ θ

θ

θ θ

σ

+

− − + =

= −

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

= sin

sin cos

cos

cos cos

2 1

, 0

(

i t

)

i t t

i i i

t

n n

n E

t E

θ θ

θ θ θ

θ θ

σ

= +

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

= sin

cos sin 2 cos cos

cos 2

2 1

1 ,

0 , 0

50

(51)

Riflessione e rifrazione Onde EM - Formule di Fresnel

Calcoliamo le potenze riflesse e trasmesse

51 Σ

0

i

= Σ

₀

^cos θ

Σ

t

= Σ

0

^cos θ

Σ

0

r

t

= Σ

₀

^cos θ

i

Σ

i

= Σ

₀

^cos θ

Σ

W

i

W

^r

W

t

W

i

(52)

Riflessione e rifrazione

Onde EM - Formule di Fresnel

( )

(

i t

)

t i i

r i

i r r i

r

tg tg E

E I

I W

R W

θ

θ θ

θ

π π π

π

+

= −

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ Σ

= Σ

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

=

₂²

2

, 0

Calcoliamo la percentuale di potenza nel fascio riflesso

2 1 2

1

₂

, 0 1 1 2

, 0 1

1 i r r

i

v E I v E

I = ε = ε

( )

(

i t

)

t i i

r i

i r r i

r

sen sen E

E I

I W

R W

θ θ

σ σ σ

σ

+

= −

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

⎟⎟⎠ =

⎜⎜⎝ ⎞

⎛ Σ

= Σ

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

=

₂²

2

, 0

52

(53)

Riflessione e rifrazione

Onde EM - Formule di Fresnel

T

_π

= W

_t

W

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

_π

= Σ

^t

I

_r

Σ

_i

I

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

_π

= Σ

⁰

cos θ

_t

^I

_t

Σ

₀

cos θ

_i

^I

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

_π

= sin 2 θ

_i

^sen2 θ

_t

sin

²

( θ

_i

+ θ

_t

) ^cos

²

( ^θ

i

− θ

_t

)

Calcoliamo la percentuale di potenza nel fascio trasmesso

2 , 0 2 2 2

, 0 1

1

2

1 2 1

t t

i

v E I v E

I = ε = ε

(

i t

)

t i

i i

t t i

t

sen

I I W

T W

θ θ

σ σ

σ

= +

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ Σ

= Σ

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

=

₂

0 0

sin

2 2

sin cos

cos

π

π R

T = 1 −

σ

σ R

T = 1 −

53

(54)

Riflessione e rifrazione

Incidenza normale

Studiamo il caso di incidenza normale θ _i = θ _r = 0. Si ottiene:

n

1

n

2

π k ! i

k ! t

k ! r

σ Il piano π non è più definibile

2 1

, 0

n n

E r E

i r

+

= −

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

=

σ σ

2 1

1 ,

0 ,

0 2

n n

n E

t E

i t

= +

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

=

σ σ

Infatti E ₁ = E _0,i + E _0,r

E ₂ = E _0,t E _0,i + E _0,r = E _0,t Inoltre per la conservazione dell’energia

t r

i I I

I = + ⁿ ¹ Ê ^0,i ² ^{= n} ¹ Ê ^0,r ² ^{+ n} ² Ê ^0,t ²

/ ε

0

ε

=

2

n 2

1 v E I

_i

= ε

Si ricordi che

54 Onde EM - Formule di Fresnel

(55)

Riflessione e rifrazione

1 1

21 21 ,

0 , 0

+

− −

⎟⎟⎠ =

⎜⎜⎝ ⎞

= ⎛

n n E

r E

i r

σ

1 2

21 ,

0 , 0

= +

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

= E n

t E

i t

σ

2 21

2

, 0

) 1 (

+

= −

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

= n

n E

R E

i r

R T = 1 −

Per n = 1.5 solo circa il 4% dell’energia viene riflessa

55 Onde EM - Formule di Fresnel

(56)

Riflessione e rifrazione

56 Onda polarizzata rettilinearmente

R = W

_r

W

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = R

_π

( I

_i^π

I

_i

) + R

_σ

( I

_i^σ

I

_i

) T = W

_t

W

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = T

_π

( I

_i^π

I

_i

) + T

_σ

( I

_i^σ

I

_i

)

Un fascio polarizzato in una direzione arbitraria può essere considerato come la somma delle sue componenti nel piano π e nel piano σ

Onde EM - Formule di Fresnel

π

σ

E _π

E _σ

E

σ E _σ π

E _π

β α

I

_i^π

= I

_i

cos

²

α

I

_i^σ

= I

_i

cos

²

β

(57)

Riflessione e rifrazione

Un fascio non polarizzato può essere considerato come metà nel piano π e metà nel piano σ

) R 2 (R

R = 1 _π + _σ

57 Onde EM - Formule di Fresnel

(58)

Riflessione e rifrazione

( )

(

i t

)

t i i

r i

r

tg tg E

E I

R I

θ θ

π π

π

+

= −

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

⎟⎟⎠ =

⎜⎜⎝ ⎞

= ⎛

₂²

2

, 0

0 R

2 /

=

→

= +

π

π θ

θ _i _t Se

Onde EM - Angolo di Brewster

58

(59)

Riflessione e rifrazione

Angolo di Brewster

2 / θ _B + θ _t = π Se

n ) tg

cos(

sen )

- 2 / sen(

sen sen

sen = = = _B =

B B B

B t

B θ

θ θ θ

π θ θ

θ

) ( n tg

n arctg

B

=

θ

θ Nessun fascio riflesso per

questo angolo nel piano π

Onde EM - Angolo di Brewster

59

π

(60)

Riflessione e rifrazione

Un fascio non polarizzato può essere considerato come la somma delle sue componenti nel piano π e nel piano σ

) R 2 (R

R = 1 _π + _σ

Per incidenza ad un angolo θ _B , la componente riflessa nel π è nulla mentre quella nel piano nel piano σ è non nulla

60 Onde EM - Angolo di Brewster

(61)

Riflessione e rifrazione

Per incidenza multipla ad un angolo θ _B , anche la componente trasmessa alla fine sarà polarizzata nel piano σ

61 Onde EM - Angolo di Brewster

(62)

I

0

I

^π

+ I

^σ

θ

i

θ

t

I _f Onde elettromagnetiche

Scomponiamo l’onda riflessa nelle direzioni parallela e perpendicolare al piano π (π è il piano di incidenza in figura)

( )

(

i t

)

t i

tg I tg R

I

I θ θ θ θ

π

π +

= −

=

₀ ₀ ₂²

2 1 2

1 ( )

(

i t

)

t i

sen I sen R

I

I θ θ θ θ

σ

σ +

= −

=

₀ ₀ ₂²

2 1 2

1 t

i n senθ

senθ =

Il polarizzatore blocca la componete nel piano σ (I _σ ) e lascia passare la componete parallela a π (I _π )

CAPITOLO 5

Riflessione e Rifrazione

CAPITOLO 5

1

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

Perturbazione prodotta dal movimento dell’estremità libera di una corda tesa con l’altra estremità fissata al muro.

∂

ξ

∂ t

= ν

∂

ξ

∂ x

↔ ∂

ξ

∂ t

= T ρ

⋅ ∂

ξ

∂ x

con ν = T ρ

L’onda incidente da vita nel punto di fissaggio a un’onda riflessa capovolta rispetto a quella incidente.

2

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

Perturbazione prodotta dal movimento dell’estremità libera di una corda tesa con l’altra estremità libera di muoversi in direzione verticale muro.

L’onda incidente in prossimità della giunzione produce lo spostamento dell’anello e l’onda riflessa non si inverte rispetto a quella incidente.

T

con T

1

ν ρ ξ

ρ ξ ξ

ν

ξ =

∂

⋅ ∂

∂ =

↔ ∂

∂

⋅ ∂

∂ =

∂

t x

t x

3

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

ρ 1 ρ 2

ρ 1

ρ 2

Più in generale nel passaggio da una corda ad un’altra

L’onda incidente nel passaggio da una porzione di corda a densità maggiore ad una a densità minore produce un’onda trasmessa e ad una riflessa, dove quest’ultima non si inverte rispetto all’onda incidente.

L’onda incidente nel passaggio da una porzione di corda (a densità minore ad una a densità maggiore genera un’onda trasmessa e un’onda riflessa dove quest’ultima è c a p o v o l t a r i s p e t t o a l l ’ o n d a incidente.

T

= ρ v

T

= ρ v

T

= ρ v

T

= ρ v

4

Si considera una corda sia costituita da due porzioni densità ρ 1 e ρ 2

Le velocità ν 1 e ν 2 di propagazione nei due mezzi sono diverse mentre la frequenza (f) e la pulsazione (ω) restano uguali

Equazioni delle tre onde

ξ i = ξ 0,i ⋅cos(k 1 x − ω t) → onda incidente ξ r = ξ 0,r ⋅cos(k 1 x + ω t) → onda riflessa ξ t = ξ 0,t ⋅cos(k 2 x − ω t) → onda trasmessa

T

T

ω ρ ω

ω ρ ω

⋅

=

=

⋅

=

= k v k v dove

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

5

Riflessione e rifrazione Onde elastiche

Scelto un sistema di riferimento avente l’origine dell’asse orizzontale in corrispondenza del punto di giunzione tra i due mezzi, in ogni istante la somma tra l’onda riflessa (ξ r ) e l’onda incidente (ξ i ) deve essere pari all’onda rifratta (ξ t )

Per x=0 si ha:

ρ 1 ρ 2

^∂

^{⋅ ∂}

ξ ₌

ρ 1 ρ ₂

Si considera una corda sia costituita da due porzioni densità ρ ₁ e ρ ₂

Le velocità ν ₁ e ν ₂ di propagazione nei due mezzi sono diverse mentre la frequenza (f) e la pulsazione (ω) restano uguali

ξ _i = ξ _0,i ⋅cos(k ₁ x − ω ^t) → onda incidente ξ _r = ξ _0,r ⋅cos(k ₁ x + ω ^t) → onda riflessa ξ _t = ξ _0,t ⋅cos(k ₂ x − ω ^t) → onda trasmessa

Scelto un sistema di riferimento avente l’origine dell’asse orizzontale in corrispondenza del punto di giunzione tra i due mezzi, in ogni istante la somma tra l’onda riflessa (ξ _r ) e l’onda incidente (ξ _i ) deve essere pari all’onda rifratta (ξ _t )

ρ 1 ρ ₂

ξ _0,i + ξ _0,r = ξ _0,t

−k ₁ ξ _0,i ^sen( − ω ^t) − k ₁ ξ _0,r ^sen( ω ^t) = −k ₂ ξ _0,t ^sen( − ω ^t)

k ₁ ( ξ _0,i − ξ _0,r ⁾ = k ₂ ξ _0,t ξ _0,i + ξ _0,r = ξ _0,t

k ₁ ( ξ _0,i − ξ _0,r ⁾ = k ₂ ξ _0,t

ξ _0,r = k ₁ − k ₂ k ₁ + k ₂ ξ _0,i

ξ _0,t = 2k ₁

k ₂ + k ₁ ξ _0,i

r = ξ _0,r ξ _0,i ⁼

ρ ₁ − ρ ₂

ρ ₁ + ρ ₂ ^t ⁼

ξ _0,t ξ _0,i ⁼

2 ρ ₁ ρ ₁ + ρ ₂

ξ _0,i + ξ _0,r = ξ _0,t

r = ξ _0,r ξ _0,i ⁼

ρ ₁ − ρ ₂

ρ ₁ + ρ ₂ ^t ⁼

ξ _0,t ξ _0,i ⁼

2 ρ ₁ ρ ₁ + ρ ₂

Il coefficiente “t” è sempre positivo per cui l’onda trasmessa (ξ _t ) è sempre in fase con l’onda incidente (ξ _i );

Il coefficiente “r” è positivo ( se ρ ₁ > ρ ₂ (da mezzo più denso a mezzo meno denso) per cui l’onda riflessa (ξ _r ) è in fase con l’onda incidente (ξ _i );

Il coefficiente “r” è negativo se ρ ₂ > ρ ₁ (da mezzo meno denso a mezzo più denso) per cui l’onda riflessa (ξ _r ) è in opposizione fase con l’onda incidente (ξ _i ) e si capovolge;