Esercizi su spazi affini R

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Geometria per Informatica a.a. 2007 - 2008 Foglio 1

Esercizi su spazi affini R

ISPOSTE

1. a) (1,1) non è parallelo a (1,-2) b) r

₄

: 4x+7y=38.

2. No: (2,-3) non è multiplo di (-4,3).

3. a) t R

2 3

4 2 ∈

⎩ ⎨

⎧ +

=

−

= t y

t x

b) 0 t 1 2

3 4

2 < <

⎩ ⎨

⎧ +

=

−

= t y

t x

c) (0,4).

4. a) D(r) : 4x+2y=0; D(s) : 2x+y=0 ⇒ D(r)=D(s) ⇒ r//s b) (1,-1)+<(1,-2)>

5. a) no b) no c) sì

d) no, per nessun k∈R

6. a) forma parametrica di r :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

= t z

t y

t x

2 2 2

2 1

t∈ R; forma cartesiana di r: . 2 1

⎩ ⎨

⎧

−

=

−

= y z

y x

b) forma cartesiana di r: ; 3 z x

1 y - x

⎩ ⎨

⎧

= +

= forma parametrica di r : 2 3

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

−

=

−

= t z

t y

t

x t∈ R.

7. (3,0,1).

8. a) AB =(0,0,3), AC =(0,-2,2) ⇒ A, B, C non allineati ⇒ ∃! piano per A, B, C ed è x=0.

b) A, B, C allineati ⇒ ∃ infiniti piani per A, B, C.

9. (0,0,1)-(-1,0,0) = (1,0,1) ∉ <(1,-1,1)> ⇒ (-1,0,0) ∉r.

La giacitura del piano è

0 1 0 1

1 1

1 − =

z y

x ⇒ … il piano è –x+z-1=0.

10. a) r∩s= {(0,1,0)}

b) x+y-z=1.

(2)

2

11. A, B, D sono allineati, scartato D, restano A, B, C non allineati, che individuano il piano di

forma parametrica _, _.

2 1

3 1

R s t s z

s t y

s t x

⎪ ∈

⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

= +

−

=

12. a) r

1

non è parallela a r

2

( D(r

1

) =<(0,0,1)> , D(r

2

) =<(0,1,1)>) ; r

1

∩r

2

= ∅ .

b) Ci sono infinite soluzioni: la retta r

₃

passante per A, B, con A pto qualsiasi di r

₁

, B pto qualsiasi di r

₂

, ad esempio r

₃

: .

0 0

⎩ ⎨

⎧

=

= z y

13. r

1

⊂ α , r

²

∩ α ={P}, r

³

// α .

14. a) r ∩ s =∅ ; D(r) = <(0,0,1)>, D(s) =<(1,0,1)> ⇒ r non è parallela ad s.

b) Ci sono infiniti piani , π: P+D(π) con D(π)= <u,v> t.c. u∈ D(r), v∈ D(s) e P∉ r, P ∉ s.

Un piano è ad esempio y=1.

15. Tutte le coppie di rette sono sghembe.