La lezione di oggi

1

2

Il comportamento microscopico dei gas

Il 1 principio della termodinamica

La lezione di oggi

3

!  Equazione di stato dei gas

!  Applicazioni dell’equazione di stato

!  La teoria cinetica dei gas

!  Il 1 principio della termodinamica

4

Equazione di stato dei gas ideali

!  Gas ideale: non ci sono interazioni tra le molecole

!  Condizioni standard ( T = 20 ^oC, P= 1 atm )

!  Gas reale in condizioni standard = gas ideale

Se voglio

aumentare la pressione P…

Aumento il numero di molecole (N)

Diminuisco il volume (V)

V k NT Equazione di stato P =

dei gas perfetti Aumento la

temperatura a V costante

5

Equazione di stato dei gas ideali

T k N

V

P =

T R n V

P =

J/K 10

1.38

k = ⋅

K) J/(mole 8.31

ole) molecole/m 10

J/K)(6.022 10

(1.38 kN

R =

= ⋅

⋅

= ⋅

Costante di Boltzmann

N: numero di molecole di gas ( massa) T in K, P in Pa, V in m³

∝

n: numero di moli di gas (

T in K, P in Pa, V in m³

∝

V k NT

Equazione di stato P =

dei gas perfetti

6

Moli e massa molecolare

o  Unità di massa atomica (u, o uma) è ottenuta assegnando arbitrariamente 12 u al ¹²C

o  1 u = 1 uma = 1.665^.10^-27 kg

o  Una mole (o grammo-molecola) ! numero di Avogadro di quantità elementari (atomi, molecole,....)

o  Una mole contiene tante quantità elementari quante ce ne sono in 12 grammi di ¹²C

o  Una mole è il numero di grammi di sostanza uguale alla massa molecolare espressa in uma

Problema

Calcolare la massa di una molecola di ossigeno O₂

N m M

Avogadro ossigeno molecolare

=

= 5.32 10 kg/molecol a

ole molecole/m 10

02 . 6

kg/mole 10

32.0

23 -3

⋅

⋅ =

⋅

massa di 1 mole = 32

10

kg

7

!  Equazione di stato dei gas

!  Applicazioni dell’equazione di stato

!  La teoria cinetica dei gas

!  Il 1 principio della termodinamica

8

Trasformazioni isoterme

Parto dall’equazione di stato dei gas

P V = n R T

Ipotesi:

"  T costante (trasformazione isoterma)

"  Massa costante

finale finale

iniziale

iniziale

V P V

P =

Legge di Boyle

Nel piano PV le isoterme sono iperboli

PV = k

9

Trasformazione isobara

Ipotesi:

"  P costante (trasformazione isobara)

"  Massa costante

T V T

V

finale finale iniziale

iniziale

Legge di Charles =

Nel piano VT le isobare sono rette

V = k

T

#  T = 0, V = 0

#  T = 0 ! zero assoluto

Parto dall’equazione di stato dei gas P V = n R T

10

!  Equazione di stato dei gas

!  Applicazioni dell’equazione di stato

!  La teoria cinetica dei gas

!  Il 1 principio della termodinamica

11

La teoria cinetica dei gas

! 

Pressione e temperatura ! grandezze macroscopiche

! 

Posizione o velocità di una molecola ! grandezze microscopiche

Come faccio a misurarle ?

o  Macroscopiche: manometro e termometro

o  Microscopiche: ???

o  Teoria cinetica dei gas

:

#  gas ! insieme di molecole

#  grande numero di molecole identiche

#  ogni molecola ha massa m ed è puntiforme

#  si muovono in modo casuale e obbediscono alle leggi di Newton

#  solo urti elastici

12

Teoria cinetica e pressione dei gas

Una molecola di massa m, con velocità v, in un contenitore di volume V urta contro la parete

Prima dell’urto

p

= - mv

Dopo l’urto

p

= mv

Variazione

Δ p =

2mv

Quantità di moto

F parete su molecola causa la Δp

Tempo necessario a fare

andata e ritorno v_x

L t = 2

Δ ^{2a legge di}

Newton

t

F p

Δ

= Δ

∑

 

=

= 2L/v F 2mv

x x

L

mv

media

= =

A

P F ₌

L

/L mv

2 2 x

V mv

t F p

Δ

= Δ

∑

 

13

Teoria cinetica e pressione dei gas

Distribuzione delle velocità delle molecole di un gas a due

temperature

(Distribuzione di Maxwell)

Velocità più probabile

Generica velocità in 3 dimensioni ^{(v ) (v ) (v ) (v )}

2 y m

2 x m

2

= + +

Non ci sono direzioni privilegiate ^{(v ) (v ) (v )}

2 y m

2

x

= =

m 2 x m

2 z m

2 y m

2 x m

2

) (v ) (v ) (v ) 3 (v )

(v = + + =

2 m

2

x (v )

3 ) 1

(v =

ovvero

=

= V

) N m(v

3

P 1

2

K

V N 3 V 2

P mv

2

=

Nella pagina precedente avevamo ottenuto

Per N molecole

P / K

14

2 kT K

= 3

L’energia cinetica media delle

molecole di un gas è proporzionale alla Temperatura

Energia cinetica e temperatura

Equazione dei gas perfetti

T k N V

P = +

dei gas

V ) N m(v

3

P 1

2

= NkT

) 3 Nm(v

PV = 1

= mv ) NkT

2 N( 1 3 2

m

2

=

mv

)

2 ( 1 K =

=

=

qm

(v )

v

Velocità quadratica media m =

3kT =

) (M/N

3kT

A

M = kT 3N

M

3RT

15

km/h 320

m/s

88 =

= +

⋅ 10 J/K)(273 37 K) (1.38

2

3

Esercizio

Qual è l’energia cinetica media di una molecola di gas a 37 C ?

=

= kT 2

K

3 6 . 4 ⋅ 10

J

Calcolo l’energia cinetica media di una mole dello stesso gas alla stessa temperatura.

=

= kT)

2 ( 3 N K

(6.02 ⋅10

molecole/mole)(6.4 ⋅10

J/molecola) = 3900 J/mole

3700 J sono tanti o pochi ? Prendiamo una pietra di 1 kg e vediamo a che velocità devo lanciarla per avere questa K ?

=

= m

v 2K ^{2 ⋅ 3900}

1 =

16

km/h 1800

m/s

510 =

km/h 1700

m/s

480 =

Esercizio

Qual è la velocità quadratica media delle molecole presenti nell’aria (O

e N

) a temperatura ambiente (20 C) ?

=

⋅

= M (u.m.a.) )

m(O

( 32)(1.66 ⋅ 10

kg) = 5 . 3 ⋅ 10

kg

=

⋅

= M (u.m.a.) )

m(N

( 28)(1.66 ⋅ 10

kg) = 4 . 6 ⋅ 10

kg

=

= m

v

3kT ⁼

⋅

+

⋅

kg 10

5.3

20) J/K)(273

10 3(1.38

26 - -23

=

= m

v

3kT ⁼

⋅

+

⋅

kg 10

4.6

20) J/K)(273

10 3(1.38

26 - -23

17

Energia interna di un gas ideale

! 

Energia interna: somma dell’energia potenziale e cinetica delle molecole che la compongono

! 

U = Σ

(U

+ K

)

! 

Gas perfetto: urti elastici

!  U_i = 0

!  K_i = 3/2 kT

=

= NkT 2

U 3 ^{N kT =}

N N 2

3

A A

2 nRT 3

Numero di

molecole Numero di

moli

18

La legge di Dalton (o delle pressioni parziali)

! 

Considero una miscela di due gas perfetti

! 

I due gas non interagiscono/reagiscono tra di loro

! 

Le molecole non interagiscono tra di loro

! 

La pressione è data dagli urti delle molecole sulle pareti

! 

Il contributo alla pressione totale è indipendente per i 2 gas

V T k P

= N

Gas 1

V T k P

= N

Gas 2

P

= (N

+ N

) k T V

Gas (1+2)

In una miscela, ciascun gas esercita la pressione che eserciterebbe se occupasse da solo tutto il volume

2 1

totale

P P

P = +

Legge di Dalton

19

Esercizio

Un pneumatico viene gonfiato a una pressione relativa di 200 kPa a T=10 C. Dopo un tragitto di 100 km, la T sale a 40 ^oC.

Qual è ora la pressione del pneumatico ?

Condizioni a contorno

"   n costante (non aggiungo/tolgo aria)

"   V costante (se varia il volume,

varia di una quantità trascurabile)

T R n V

P = Equazione di stato dei gas

perfetti

T P T

P

finale finale iniziale

iniziale

=

20

Esercizio

=

= P

T

P T

iniziale finale

finale

⋅ =

+

+ 3.01 10 Pa K

10) (273

K 40)

(273

kPa 330

Pa 10

3.3 ⋅

=

P e T assolute !!!

10%

301kPa 0.10 kPa 29

10 3.01

10 3.01

- 10 30

. 3 P

P - P

P P

5

5 5

iniziale

iniziale finale

=

≅

⋅ =

⋅

= ⋅ Δ =

La pressione è aumentata del 10% (!non trascurabile !)

T R n V

P = Equazione di stato dei gas

perfetti

T P T

P

finale finale iniziale

iniziale

=

21

!  Equazione di stato dei gas

!  Applicazioni dell’equazione di stato

!  La teoria cinetica dei gas

!  Il 1 principio della termodinamica

22

Il primo principio della termodinamica

! 

Voglio applicare la legge di conservazione dell’energia

! 

Il calore è una forma di energia che viene scambiata

! 

Energia interna: somma di energie potenziale e cinetica di un sistema

! 

Caso 1: nel sistema entra una quantità di calore Q senza che venga compiuto del lavoro

t = t

t = t

t = t

U

= U

+ Q

ΔU = U

- U

= Q

Convenzione importante

Il sistema acquista calore: Q > 0 U

> U

Il sistema cede calore: Q < 0 U

< U

23

Il primo principio della termodinamica

! 

Caso 2: il sistema compie un lavoro sull’ambiente esterno

U

= U

- L

ΔU = U

- U

= -L t = t

t = t

t = t

Convenzione importante

Il sistema compie lavoro: L > 0 Compio lavoro sul sistema: L < 0

Primo principio della

termodinamica ΔU = Q - L

N.B. il sistema è

termicamente isolato $ Q=0

In generale, se Q e L sono entrambi diversi da 0, vale il

24

Il primo principio della termodinamica

U, Q, L

Q ! energia che fluisce

per contatto termico L ! energia trasferita per azione di una forza che agisce su una distanza

U dipende dallo stato del sistema (T, P, V)

U ! FUNZIONE DI STATO

Q e L dipendono da come il sistema cambia da uno

stato all’altro

25

Trasformazioni reversibili e irreversibili

! 

Processi quasi-statici: sono molto lenti

! 

Il sistema è sempre in equilibrio con l’ambiente circostante

! 

Il valore di P e T è sempre uniforme in tutto il sistema

! 

Sistemi privi di attrito e forze dissipative

! 

Questi processi sono reversibili ! torno allo stato iniziale

Nella realtà tutti i processi sono irreversibili (attrito,...),

ma noi faremo sempre l’approssimazione di processi reversibili

26

Trasformazione isobara P = cost

Il gas si espande

Il gas compie un lavoro L sul pistone

=

⋅

= F (x - x )

L

=

⋅

⋅ A (x - x )

P

=

⋅ (Ax - Ax )

P

=

⋅ (V - V )

P

Δ P ⋅ V

L = area sotto la curva che

rappresenta la trasformazione nel diagramma PV

Primo principio della

termodinamica

Q = ΔU + P

ΔV

27

Trasformazione isocora

Il recipiente contiene un gas

Fornisco una quantità di calore Q

Il volume rimane costante

0 ) x - (x F

L = ⋅

= Trasformazione isocora ! L = 0

Primo principio della termodinamica

ΔU = Q

Area = 0

28

Trasformazione isoterma

Espansione

isoterma Equazione dei gas perfetti

T k N V

P =

costante T =

costante V

P =

V

costante

P =

trasformazione è descritta da

un’iperbole

Il lavoro L è l’area sottesa dalla curva

!! =

"

#

$$ %

&

= V

ln V NkT L

i

f

!!

"

#

$$ %

&

i f

V ln V

nRT

Nota. Se comprimo il gas, V

/V

<1, ln(V

/V

)<0,

L<0, compio lavoro sul

sistema

29

Trasformazione adiabatica

Non ho scambio di calore con l’esterno Q = 0

Compressione adiabatica Espansione adiabatica

Una compressione veloce è una buona

approssimazione di adiabatica

costante V

P ^γ =

30

Il primo principio della termodinamica

Trasformazione Grandezza costante In base al primo principio:

Isobara P = costante Q = ΔU + L=

ΔU + PΔV

Isocora V = costante

ΔV = 0 quindi L = 0

Q = ΔU Isoterma T = costante

ΔT = 0 quindi ΔU = 0

Q = L

Adiabatica Q = 0 ΔU = -L

31

n. 72, pag. T124 Walker

Un cilindro dotato di un pistone mobile contiene 2.50 moli di argon a temperatura costante di 295 K. Quando il gas viene compresso isotermicamente, la sua pressione aumenta da 101 kPa a 121 kPa.

Trovare:

1. Il volume finale del gas 2.  Il lavoro compiuto dal gas

3.  La quantità di calore fornita al gas

Esercizio

32

1.   Il volume finale del gas

Equazione dei gas perfetti

T R n V

P =

3 2

- 3

f

f

5.1 10 m

10 121

(295) (8.31)

2.5 P

T R

V n = ⋅

⋅

⋅

= ⋅

=

2.   Il lavoro compiuto dal gas

!! "

#

$$ %

&

!! =

"

#

$$ %

&

=

f i i

f

P ln P V nRT

ln V nRT L

kJ 1.1 10 -

121

10 ln 101

(8.31) (2.5)

P ln P nRT

L

3

f

i

!! =

"

#

$$ %

&

⋅

⋅ ⋅

⋅

!! =

"

#

$$ %

&

=

K) J/(mol

8.31

R = ⋅

33

3.   La quantità di calore fornita al gas 1 principio della

termodinamica ΔU = Q - L#

kJ 1.1

- kJ)

(-1.1 0

L U

Q = Δ + = + =

34

La conservazione dell’energia porta alla formulazione del

1 principio della termodinamica

Riassumendo