La lezione di oggi

1

L’elasticità in un solido e la legge di Hooke

La lezione di oggi

Equilibrio statico e dinamico

Leve

3

Si definisce corpo rigido un corpo che non si può deformare,

qualunque sia l’entità delle forze che agiscono su di esso.

Corpo rigido

! 

Momento di una forza

! 

Equilibrio statico

! 

Le leve

! 

L’elasticità

! 

Sforzo e stiramento nelle ossa

5

Il momento di una forza

τ  = 

r ×  F

Il momento di una forza mi permette di quantificare la

capacità di una forza di

causare una rotazione

Il momento di una forza

τ  = 

r ×  F

! 

Il vettore τ ^ha:

!  Modulo: r F sin θ#

!  Direzione: perpendicolare al piano di r e F

!  Verso: regola della mano destra (r: pollice, F: indice, τ: medio)

! 

Unità di misura: N m (non Joule !)

! 

Dimensionalmente: [L][MLT

] = [M][L

][T

]

! 

τ > 0 se produce un’accelerazione angolare (a) in verso

antiorario

7

Il momento di una forza

F e r

perpendicolari

rF )

sen(90 F

r

τ = ⋅ ⋅

=

Il momento di una forza

F e r paralleli

0 )

sen(0 F

r

τ = ⋅ ⋅

=

9

Il momento di una forza

F e r

con angolo qualunque

senθ F

r - θ)

- sen(2π F

r

τ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Nota. Il segno ‘-’ tiene conto del fatto che l’accelerazione è in verso orario

(ovvero, negativo)

2π-θ#

! 

Momento di una forza

! 

Equilibrio statico

! 

Equilibrio dinamico

! 

Le leve

! 

L’elasticità

! 

Sforzo e stiramento nelle ossa

! 

Questo sistema (tavola+bambino) è ESTESO

! 

Se la risultante delle forze esterne è nulla, come in questo caso:

!  Il sistema nel suo insieme non accelera e si muove con moto rettilineo uniforme (in particolare può stare fermo)

!  MA, a seconda di come forze e masse sono distribuite, può compiere dei movimenti di rotazione

11

Se F

+ F

= mg

il sistema è in equilibrio ?

Momento ed equilibrio statico

Momento ed equilibrio statico

Condizione di equilibrio statico

!  La risultante delle forze deve essere 0

!  La risultante dei momenti deve essere 0

Se F

+ F

= mg

il sistema è in equilibrio?

F = 0

∑ ^

τ = 0

∑ ^

Per sapere se c’è equilibrio

statico, non basta porre delle

condizioni sulla risultante

delle forze

13

Momento ed equilibrio statico

0 mg

- F

F

+

=

Problema unidimensionale (y)

F = 0

∑ ^

τ = 0

∑ ^

0 senθ

F r

senθ mg

r senθ

F

r

⋅

⋅

+

⋅ ⋅

+

⋅

⋅

=

0 )

sen(90 F

L )

sen(270 4 mg

senθ 3L F

0 ⋅

⋅

+ ⋅ ⋅

+ ⋅

⋅

=

-1 1

4 mg F 3L

L ⋅

= ⋅

Calcoliamo F

ed F

Momento ed equilibrio statico

0 mg

- F

F

+

=

4 mg F 3L

L ⋅

= ⋅

4 mg F

= 1

4 mg F

= 3

Condizione di

equilibrio statico

15

Centro di massa ed equilibrio

Condizione di equilibrio statico

τ = 0

∑ ^

0 ) sen(270 g

m x

) sen(90 g

m

x

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

θ#

x

w

x

w

θ#

Centro di massa ed equilibrio

Condizione di equilibrio statico

τ = 0

∑ ^

0 ) sen(270 g

m x

) sen(90 g

m

x

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

0 m

x m

x

⋅

−

⋅

=

Calcolo la x

M x x

= ∑

m

=

2 1

2 2 1

1 CM

2 2 1

1 CM

2 1

CM 2

2 1

CM 1

m m

x m x

x m

x m x

m x

) m m

(

0 )

x g(x

m )

x - g(x

m

+

= +

+

= +

=

−

−

17

Il centro di massa

Il centro di massa di un sistema è il punto di equilibrio in un campo gravitazionale

uniforme

M x m m

...

m m

x m ...

x m x

x m

n 2

1

n n 2

2 1

1

CM

₌ ∑

+ +

+

+ +

= +

M y m m

...

m m

y m ...

y m y

y m

n 2

1

n n 2

2 1

1

CM

₌ ∑

+ +

+

+ +

= +

Esercizio

Calcolare il centro di massa del braccio in figura.

cm kg 9.5

0.64 kg

1.6 kg

2.5

kg)(0) (0.64

kg)(0) (1.6

cm) kg)(18

y_CM (2.5 =

+ +

+

= +

cm kg 9.5

0.64 kg

1.6 kg

2.5

cm) kg)(40

(0.64 cm)

kg)(12 (1.6

kg)(0)

x_CM (2.5 =

+ +

+

= +

19

! 

Momento di una forza

! 

Equilibrio statico

! 

Equilibrio dinamico

! 

Le leve

! 

L’elasticità

! 

Sforzo e stiramento nelle ossa

Le leve

La leva è una macchina semplice composta da una forza motrice, una forze resistente e un fulcro

1

tipo

2

tipo

3

tipo

F_r

F_m

fulcro

F_r F_m

fulcro

F_r F_m

fulcro

21

Le leve

Leva Fulcro Forza resistente

Forza motrice (applicata)

Tipo di leva

Forbici Cerniera Oggetto da

tagliare impugnatura 1 Carrucola

fissa Asse centrale Oggetto da

sollevare Forza fisica 1

Remo Pala immersa in acqua

Forza della barca applicato allo

scalmo

Forza fisica applicata sul

remo

2

Carriola Asse della ruota Peso da

trasportare Manici 2

Pinza da

ghiaccio Perno Cubetto di

ghiaccio Mano 3

Braccio

umano Gomito Oggetto sorretto

dalla mano Muscoli del

braccio 3

Le leve nel

corpo umano

1

tipo

2

tipo In punta

di piedi

23

Le leve e il guadagno meccanico

0 F

b - F

b

=

r m m

r

b b F

G.M. = F =

Guadagno meccanico è il rapporto tra le

forze

resistente

F G.M. = F

Vale per tutti i tipi di leva

Condizione di equilibrio statico con forze perpendicolari alla leva

τ = 0

∑ ^

x

y

Le leve e il guadagno meccanico

Tipo di leva Guadagno meccanico 1

tipo Può essere

<1 o >1 2

tipo Sempre > 1 3

tipo Sempre <1

F_r

F_m

fulcro

F_r F_m

F_r F_m

fulcro

25

! 

Momento di una forza

! 

Equilibrio statico

! 

Equilibrio dinamico

! 

Le leve

! 

L’elasticità

! 

Sforzo e stiramento nelle ossa

L’elasticità

Corpo elastico

un corpo che riprende la sua forma

originale una volta rimosse le cause della deformazione

l

F " modulo della forza applicata A " area della sezione del corpo

Corpi elastici Legge di Hooke

F

A = Y Δl l

Δl

Corpo plastico

un corpo che rimane deformato, anche dopo aver rimosso le

cause della deformazione

27

La legge di Hooke e il modulo di Young

Legge di Hooke

l Y l

A

F Δ

=

Un campione lungo è

allungato più di uno corto

A parità di forza un campione

sottile è allungato più di uno spesso

ε σ = ^Y

Se definisco F/A = σ (sforzo) Δl/l = ε (stiramento)

L / 1/A

L / L

La legge di Hooke e il modulo di Young

Materiale Y (N m^-2)

Acciao 2 10¹¹

Ossa lungo l’asse (trazione) 1.8 10¹⁰ Ossa lungo l’asse (compressione) 0.9 10¹⁰

Esempio

Calcolare lo stiramento di un vaso sanguigno della sezione di 1 cm

al quale sia applicata una forza di 10 N.

(ppm) milione

per parti 5

. 0 10

5 . 10 0

2

10 ₆

11 5

=

×

× =

= ⁻

ε

Quanto varrebbe lo stiramento se il materiale fosse acciaio ?

2 - 5

2 4 -

2 10 Nm

m 10

N 10 cm

1 N

10 = =

σ =

% 50 5

. 10 0

2 10

5 5

=

× =

=

= Y ε σ

Sforzo Stiramento

ovvero ½ µm su 1 m

29

Esercizio

Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm

e la sostanza ossea di cui è composto ha un modulo di elasticità in compressione di 9x10

Nm

.

b) Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima della rottura se assumiamo sempre valida una relazione di

proporzionalità fra il carico e la deformazione?

a)  Prima di rompersi può sopportare un carico S

pari a 1.7x10

Nm

.

Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere

applicata ?

Esercizio

N 10 1.0

) Nm 10

(17 )

m 10

(6 A

F

= σ

= ×

× ×

= ×

100 volte il peso corporeo

Nm 10

17

l

~ 1 cm

Il femore di un adulto ha una sezione di circa 6 cm

e la sostanza ossea di cui è composto ha un modulo di elasticità in compressione di 9x10

Nm

.

Prima di rompersi può sopportare un carico S

pari a 1.7x10

Nm

.

a) Quanto vale l’intensità massima della forza che può essere applicata ?

b) Qual è l’accorciamento relativo che esso subisce subito prima della rottura se assumiamo sempre valida una relazione di

proporzionalità fra il carico e la deformazione?

31

! 

Momento di una forza

! 

Equilibrio statico

! 

Equilibrio dinamico

! 

Le leve

! 

L’elasticità

! 

Sforzo e stiramento nelle ossa

Sforzo e stiramento nelle ossa

trazione

compressione

Sforzo terminale compressivo (Σ) Sforzo terminale tensile (Σ)

σ (F/A) Nm^-2 x 10⁷

ε (Δl/l) x 10^-3#

5 10 15

-15 -10 -5 -5 -10

-15 5 10 15

Le pendenze sono diverse (trazione ~

2x

compressione)

I valori di Σ sono diversi F = mg ~ 10³ N A~1 cm² = 10^-4 m²

Le ossa sono più deformabili in

33

N s 2000

9.8 m kg

210 ⋅

≈

F =

Per ogni gamba F ~ 1000 N A=10 cm

l = 40 cm Per le ossa:

Y= 0.9·10

N/m

Y= 1.8·10

N/m

l Y Δl A

F =

La gamba si accorcia di:

m 10 N 0.9

cm 40 cm

10

N 1000 Y

l A F Δl

2 2 10

⋅

⋅

=

⋅

= 0.9 10 cm

m 10

4

2 4

⋅

= ⋅

10 m 0.9

10 4

9 4

⋅

= ⋅ 10 m

0.9

4

⋅

= = 4.4 ⋅ 10

m

m 10

10 0.9

m 10 4

2 - 11

2 4

⋅

⋅

= ⋅

Elasticità delle ossa

F F

Riassumendo

La legge di Hooke è valida per molti casi reali I momenti delle forze sono molto usati

nel corpo umano (le leve).

Le ossa hanno valori diversi per lo stiramento

a seconda che lo sforzo

sia in compressione o trazione