La lezione di oggi

La lezione di oggi

!  Scalari

!  Vettori

!  Operazioni tra vettori

Scalari

!  Ci sono delle grandezze fisiche che possono essere

rappresentate con un numero, espresso in un’opportuna unità di misura. Si tratta di grandezze scalari.

!  Uno scalare può avere segno positivo o negativo

!  Esempi:

!  Il volume di un oggetto.

!  Volume di un dado: 3.7 cm³

!  Volume del liquido in una siringa: 10 ml

!  La temperatura in una stanza: T=20 ^oC

!  La potenza di una lampadina: P=20 W

Scusi, sa dov’è

la

biblioteca ?

!  Sì

!  Sì, a 0.5 km

! Sì, a 0.5 km in

direzione nord-ovest

Vettori

! 

Un vettore è una grandezza matematica definita da modulo, direzione e verso

! 

Come lo scalare, rappresenta una grandezza fisica con la sua unità di misura

! 

Esempi di grandezze vettoriali:

!  Velocità

!  Accelerazione

! 

Si indica con v o

! 

Il modulo si indica con v o

v 

v 

Modulo: 0.5 km

Direzione:

verticale

Verso:

Nord

Esercizio

Indicare modulo, direzione e verso del vettore indicato in figura

.

La velocità del vento è pari a

v = 25 km/h Soluzione

modulo: 25 km/h direzione: orizzontale verso: OVEST

N

E S

W

Un vettore

Origine (o punto di applicazione)

Vertice

I versori

Modulo: unitario (ad esempio, 1 m) Direzione: orizzontale

Verso: da sinistra a destra

ˆi

Modulo: unitario (ad esempio, 1 m) Direzione: verticale

Verso: dal basso verso l’alto

ˆj

Versori coordinati

x

y

z Terna destrorsa

x

y

z

Terna sinistrorsa

ˆi ˆj kˆ

Prodotto di un vettore per uno scalare

Vettore × Scalare

=

Vettore con:

!  uguale direzione

!  verso: uguale o opposto (dipende dal segno dello scalare)

!  modulo pari al prodotto dei moduli

3A = A+A+A = 3 x A

-3A = (-3) x A

Componenti

r_x PROIEZIONE di r sull’asse x r_y PROIEZIONE di r sull’asse y

r = r 

ˆi + r

ˆj

r = (1.36 m) ˆi + (0.634 m) ˆj 

L e componenti di un vettore

r

= r ⋅ cos θ r

= r ⋅ sen θ

x y

r θ r

tg =

2 y 2

x

r

r

r = +

Vettore posizione nello spazio

Vettore posizione:

k z j

y i

x

r  = ˆ + ˆ + ˆ

!  Indica la posizione di un oggetto (fermo o in

movimento) rispetto

all’origine di un sistema di riferimento..

!  Vedremo che velocità e accelerazione possono essere espresse a partire dal vettore posizione

Esempio 1

Determinare le componenti di un vettore con modulo 3.5 m e direzione 66^°

Dunque il vettore si può esprimere come:

m 1.4

66 cos

m) (3.5

θ cos A

A

= ⋅ =

=

m 3.2

66 sen

m) (3.5

θ sen A

A

= ⋅ =

=

A = (1.4 m) ˆi + (3.2 m) ˆj 

Esempio 2

Determinare modulo e direzione di un vettore con componenti A

=1.4 m e A

=3.2 m

Il modulo del vettore sarà:

L’angolo θ si ottiene da:

m 3.5 m)

(3.2 m)

4 . 1 ( A

A A

A  = =

+

=

+

=

o x

y atan 2.25 66

m 1.4

m atan 3.2

A atan A

θ = = = =

A = (1.4 m) ˆi + (3.2 m) ˆj 

Uno stormo di anatre si è spostato di 30 km, come mostrato in figura (α = 30°).

Determinare lo spostamento verso Nord e verso Est.

Esercizio

O

A S

S_est S_nor

d N

E S

α# W

Soluzione

= spostamento dello stormo = 30 km

O = origine del vettore, da cui partono le due semirette dirette verso nord e verso est

Si costruisce il parallelogrammo (rettangolo) avente una diagonale individuata dal vettore ed i lati diretti secondo le due semirette.

O

A S

S_est S_nor

d N

E S

W

Esercizio

|S| S = S_est + S_nord

S_nord = S sin α = 26 km S_est = S cos α = 15 km α#

n. 38, pag. M88 Walker

Si immagini di spingere una scatola su una rampa di carico lunga 10.0 m. In cima alla rampa la scatola ha raggiunto l’altezza di 3.00 m. Quanto misura l’angolo formato dalla rampa con il piano ?

Soluzione

S’imposta il sistema:

da cui si ricava

e infine

m s=10

senθ s

y = ⋅

senθ = y

= 0.3 θ = arcsen ( y

) = arcsen (0.3) = 17.5^o

y

s

θ

Esercizio

Nota sul piano inclinato…

Gli Egizi e le piramidi

Piramide = piano inclinato

Il piano inclinato rende più agevole lo

spostamento dei carichi (blocchi di pietra).

Chi spinge il carico sul piano, infatti, deve vincere solo la componente parallela al piano, ottenuta proiettando P lungo la direzione del piano inclinato.

P θ P_// = P sin

θ

P_⊥ = P cos

θ

Convenzioni

1^o quadrante 2^o quadrante

3^o quadrante 4^o quadrante

Verso antiorario partendo dall’asse x

Convenzioni

A _x >0 , A _y >0

I quadrante

Convenzioni

A _x <0 , A _y >0

II quadrante

Convenzioni

A _x <0 , A _y <0

III quadrante

Convenzioni

A _x >0 , A _y <0

IV quadrante

Somma di vettori

Somma di vettori

Somma di vettori

Un vettore è definito da

MODULO, DIREZIONE, VERSO indipendentemente dalla sua

posizione

Somma di vettori

C = (A 

+ B

) ˆi + (A

+ B

) ˆj

C =  

A + 

B

La somma tra vettori è

indipendente dall’ordine con il quale i

vettori vengono sommati

A B

B A

C      +

= +

=

Esempio di somma di vettori

Un aereo vola da Bari a Roma " AB = 388 km

quindi l’aereo vola da Roma a Milano " BC = 472 km

Lo spostamento risultante rispetto all’aeroporto di Bari è dato dalla posizione iniziale e da quella finale, ossia dal vettore che congiunge Bari con Milano " AC = 740 km

MILANO

ROMA BARI C

B A

vettore risultante uguale somma vettori

ma

Modulo vettore risultante diverso somma dei moduli delle

componenti*

AC = ! AB + ! BC !

AC 6= AB + BC

Esercizio

Una barca viene trainata per mezzo di una fune da due persone che camminano parallelamente, lungo le rive opposte di un

canale.

Sapendo che:

α = 60° e che la forza esercitata da ciascun uomo = 577 N Determinare la forza necessaria per trainare la barca.

#

#

α/2 α/2

Esempio di somma di vettori:

Soluzione

α = 60° forza esercitata da ciascun uomo = 577 N = OA = OB OH = OA cos (α/2) = ΟΒ cos (α/2) = 500 Ν

forza per trainare la barca = 2 OH = 1000 N = OO’

#

#

O A

H O’

α/2 α/2

L’opposto di un vettore è un vettore con

uguale modulo e direzione,

ma verso opposto

Differenza di vettori



D =  

A − 

B

Una importante convenzione

Useremo sempre la convenzione

! 

Primo indice (a):

origine del vettore

! 

Secondo indice (b):

vertice del vettore

Prodotto scalare

A ⋅  

B = 

A ⋅ 

B cos θ = ABcos θ

θ#

A

"   Il risultato è uno scalare B

A B

B

A   

⋅

=

⋅

"   Vale la proprietà commutativa "

"   Si chiama anche prodotto interno

ˆi · ˆi = 1

"   Corollari:

| !

A |

= !

A · !

A

Prodotto scalare

!  Se, in coordinate cartesiane, due vettori hanno componenti:

!  Il prodotto scalare vale:

!  Quindi:

! A = a

ˆi + a

ˆj + a

k ˆ

! B = b

ˆi + b

ˆj + b

k ˆ

! A · !

B = a

b

ˆi · ˆi + a

b

ˆi · ˆj + a

b

ˆi · ˆk +a

b

ˆj · ˆi + a

b

ˆj · ˆj + a

b

ˆj · ˆk +a

b

k ˆ · ˆx + a

b

k ˆ · ˆy + a

b

k ˆ · ˆk

! A · !

B = a

b

+ a

b

+ a

b

Prodotto vettoriale

C =  

A ∧  B

θ#

A

B

"  

Il risultato è un vettore con:

#  Modulo = A B senθ

#  Direzione perpendicolare al piano identificato da A e B

#  Verso dato dalla regola della mano destra (vedi dopo)

A B

- B

A    

∧

=

"  

Vale la proprietà anticommutativa "# ∧

C =  

A × 

Oppure, con altra notazione

B

Regola della mano destra

!  Prendo la mano destra e metto pollice, indice, medio a 90^o l’uno rispetto all’altro

!  L’indice indica il verso del vettore A

!  Il medio indica il verso del vettore B

!  Il pollice indica il verso del vettore C

Nota: devo usare la mano destra (non la sinistra)

"   Nota: vale anche per tutte le

permutazioni cicliche, ovvero vale anche:

#  Il pollice indica il verso del vettore A

#  L’indice indica il verso del vettore B

#  Il medio indica il verso del vettore C

Prodotto vettoriale / 2

€

a ×  b =

i ˆ ˆ j k ˆ a_x a_y a_z b_x b_y b_z

€

= ˆ i a_y a_z

b_y b_z − ˆ j a_x a_z

b_x b_z + ˆ k a_x a_y b_x b_y

€

= ˆ i a

(

)

⁽

⁾

(

)

In coordinate cartesiane, il prodotto vettoriale si ottiene valutando il seguente determinante simbolico:

Versori coordinati

47

i × ˆ ˆ j =

i ˆ ˆ j ˆ k 1 0 0 0 1 0

= ˆ k ˆ j × ˆ k =

i ˆ ˆ j ˆ k 0 1 0 0 0 1

= ˆ i k × ˆ ˆ i =

i ˆ ˆ j ˆ k 0 0 1 1 0 0

= ˆ j

x

y

z Terna destrorsa

x

y

z

Terna sinistrorsa

In una terna destrorsa si ha sempre: