5 { 4 3 2 1

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VERIFICA DI MATEMATICA – 2^D Liceo Linguistico – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 9 marzo 2019

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Geometria

Dimostrare che, se in un triangolo la bisettrice di un angolo interno è perpendicolare al lato opposto, allora il triangolo è isoscele. Il testo della dimostrazione deve essere diverso da quello di tutto i compagni di classe. [esercizio 9 pag. G93]

2

Statistica

Calcolare la media aritmetica, la moda e la mediana di questa serie di dati (il numero di biglietti venduti in un cinema durante una settimana): 250, 280, 300, 320, 250, 500, 600.

3

Disequazioni

Risolvere la seguente disequazione lineare:

2 x ( x−2 9 x)−x

3(10

3 x+4)>(1−2 3x)²

4

Sistemi lineari

Risolvere il seguente sistema lineare, illustrando dettagliatamente il metodo utilizzato:

{

^{x+3 y−1}^{2(2 y−1)=−}³ ^{=2 (}¹³¹³^{x−y )}^x

5

Radicali

Stabilire le condizioni di esistenza della seguente espressione algebrica:

√

^{2 x+4+}

√

^{3 x−6}

Valutazione

Obiettivi: ripasso sugli argomenti di geometria (cap.G2); ripasso sugli argomenti di statistica (cap.”alfa”); riuscire a risolvere una disequazione (cap.12) e un sistema lineare (cap.13) non in forma standard; affrontare problemi riguardanti i radicali (cap.14).

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova

Seguendo la pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

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1

Geometria

Dimostrare che, se in un triangolo la bisettrice di un angolo interno è perpendicolare al lato opposto, allora il triangolo è isoscele. Il testo della dimostrazione deve essere diverso da quello di tutto i compagni di classe.

[esercizio 9 pag. G93]

Ipotesi: ABC triangolo;

̂ACD≡̂BCD CD ⊥ AB

Tesi: ABC isoscele (con base AB) Dimostrazione:

Per ipotesi CD ⊥ AB e quindi i triangoli ACD e BCD sono rettangoli in D.

Sempre per ipotesi ̂ACD≡̂BCD , osserviamo inoltre che i due triangoli ACD e BCD hanno il cateto CD in comune.

Dunque per il secondo criterio i triangoli ACD e BCD sono congruenti, in particolare le ipotenuse BC e AC sono congruenti.

Dunque il triangolo ABC, avendo due lati congruenti è per definizione isoscele, con base AB.

2

Statistica

Calcolare la media aritmetica, la moda e la mediana di questa serie di dati (il numero di biglietti venduti in un cinema durante una settimana): 250, 280, 300, 320, 250, 500, 600.

Calcolo la media aritmetica:

M_a=250+280+300+320+250+500+600

7 =2500

7 ≈357,14 Scrivo i dati in ordine crescente: 250, 250, 280, 300, 320, 500, 600.

Il dato centrale, e quindi la mediana, è 300.

Il dato più ricorrente, cioè la moda, è 250.

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3

Disequazioni

Risolvere la seguente disequazione lineare:

2 x ( x−2 9x)−x

3(10

3 x+4)>(1−2 3x)

2

Al primo passaggio semplico le due espressioni utilizzando il calcolo letterale: nel primo membro mi basta sommare i monomi simili dentro la prima parentesi e applicare la proprietà distributiva per l'altra parentesi, per il secondo membro utilizzo il prodotto notevole “quadrato del binomio”.

14

9 x²−10 9 x²−4

3 x>1−4 3x+4

9 x²

Come era prevedibile gli x² si annullano a vicenda, ma se ne vanno anche i monomi di primo grado e quindi la disequazione diventa 0>1 che è una disuguaglianza falsa, qualunque sia il valore attribuito a x.

La disequazione è impossibile.

4

Sistemi lineari

Risolvere il seguente sistema lineare, illustrando dettagliatamente il metodo utilizzato:

{

^{x+3 y−1}^{2(2 y−1)=−}³ ^{=2 (}¹³¹³^{x−y )}^x

Prima di scegliere un metodo di risoluzione, trasformo le equazioni riconducendomi alla forma standard.

{

¹³^{x+ y−}^{4 y−2=−}¹³⁼²³¹³^{x−2 y}^x

{

⁻¹³¹³^{x+4 y=2}^{x+3 y=}¹³

^{

⁻^{x+12 y=6}^{x+9 y=1}

L'ultimo passaggio è dedicato a chi odia le frazioni.

A mio parere il metodo più rapido ed efficiente è il metodo di riduzione:

{

−^{x+12 y=6}x+9 y=1 0+21 y=7

y=1 3

{

3 x+36 y=18 +4 x−36 y=−4

7 x+0=14 x=2

Dunque la soluzione richiesta è

{

^y=^x=2¹³

Risposta alternativa col metodo di sostituzione.

Chi volesse pregiudizialmente applicare il metodo di sostituzione potrebbe anche risparmiarsi la fatica di portare il sistema in forma standard. In fonda dalla prima equazione risulta abbastanza

(4)

facile ricavare x col secondo principio di equivalenza.

{

−6(2 y−1)=x

(−6(2 y−1))+3 y−1

3 =2(1

3(−6(2 y−1))−y )

A questo punto ci rimbocchiamo le maniche e lavoriamo sulla seconda equazione:

{

−6(2 y−1)=x

−12 y+6+3 y−1

3 =−8 y+4−2 y

{

−6(2 y−1)=x

−4 y+2+ y−1

3=−8 y+4−2 y

{

−6(2 y−1)= x 7 y =7

3

{

⁻⁶⁽²^y=¹³^−1)=x¹³

^{

^{−4+6= x}^y=¹³

^{

^y=^x=2¹³

Risposta alternativa col metodo di Cramer.

Chi trova divertente il metodo di Cramer deve comunque ricondursi alla forma standard, magari evitando anche le frazioni (vedi sopra):

{

−^{x+12 y=6}x+9 y=1

Il determinante del sistema è D=

∣

−1¹ ¹²9

∣

⁼1×9−(−1)×12=9+12=21 .

x=

∣

^{6 12}1 9

∣

21 =6×9−1×12

21 =54−12 21 =42

21=2 y=

∣

−1 1¹ ⁶

∣

21 =1×1−(−1)×6

21 =1+6

21 = 7 21=1

3 Da cui la soluzione

{

^y=^x=2¹³

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5

Radicali

Stabilire le condizioni di esistenza della seguente espressione algebrica:

√

2 x+4+

√

3 x−6

Abbiamo due radicali di ordine pari e dunque ciascuno dei due argomenti deve essere maggiore di zero o anche nullo.

Le condizioni da porre sono dunque:

{

^{2 x +4≥0}3 x−6≥0

Risolvendo separatamente le due disequazioni otteniamo:

{

^x≥−2x≥2 ovvero x≥2 .

[Qui può anche finire la risposta alla richiesta del compito. Approfitto dell'occasione per fare qualche osservazione.

Si noti che ho usato la scrittura già utilizzata per i sistemi di equazioni.

Scrivendo

{

^{2 x +4≥0}3 x−6≥0 intendo dire che i valori che sto cercando sono quelli che soddisfano entrambe le disequazioni.

Infatti perché l'espressione indicata abbia senso occorre poter calcolare entrambe le radici quadrate.

Per x≥2 le disuguaglianze sono entrambe vere e posso calcolare entrambe le radici.

Per −2< x<2 è vera soltanto la prima disuguaglianza e quindi uno dei radicali non ha senso.

Per x<−2 sono false entrambe e quindi entrambi i radicali non hanno senso.]