Ottimizzazione in spazi funzionali

Ottimizzazione in spazi funzionali

Dr hab. ing. Katarzyna Bizon

Facoltà di Ingegneria e Tecnologia Chimica, Politecnico di Cracovia [email protected]

Calcolo delle variazioni

• Il calcolo delle variazioni é un campo della

matematica che si occupa della ricerca dei punti

estremali dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni.

• Tali funzionali possono per esempio essere formulati

come integrali che coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate. L’interesse è per le funzioni estremali:

quelle cioè che rendono massimo o minimo il valore del funzionale.

• Il teorema chiave del calcolo delle variazioni classico è

l’equazione di Eulero-Lagrange.

I problemi di ottimizzazione in spazi funzionali

•

Per illustrare di cosa si occupi la branca della matematica detta “calcolo delle variazioni” vediamo per prima cosa i problemi che hanno portato alla sua nascita. Si tratta di problemi di ambito fisico:

▫ Qual è la curva che unisce due punti fissati, lungo cui una massa cade in tempo minimo?

▫ Quale forma assume una corda sospesa ai suoi due estremi?

Problema della brachistocrona

•

Si tratta della traiettoria prestabilita liscia lungo la quale deve

scivolare un punto materiale pesante, con posizioni iniziale e

finale assegnate, affinché il tempo impiegato per la discesa sia

minimo.

Problema isoperimetrico

•

Nel problema isoperimetrico ci si chiede quale

figura piana o spaziale renda massima l’area o

il volume, a seconda della dimensione, a parità

di perimetro o di area della superficie che lo

racchiude.

Geodetiche di una superficie

•

Geodetica è una particolare curva che descrive localmente la

traiettoria più breve fra punti di un particolare spazio.

Problema fondamentale di calcolo delle variazioni

• Data una funzione problema è quello di minimizzare il funzionale:

tra le curve con estremi assegnati:

• Il funzionale J(y) alle volte é detto costo corrispondente alla funzione x.

( , , ) f = f x y y

 

( )

2

1

,

, y  C x x

2

1

( ) ( , , )

x

x

J y =  f x y y dx 

1 1

2 2

( ) ( )

y x y y x y

 =

 =



L’equazione di Eulero-Lagrange

• Sia f di classe C

e sia un minimo, ovvero una soluzione per il problema fondamentale.

Allora soddisfa l'equazione di Eulero-Lagrange:

 

( )

* 2

1

,

, y  C x x y

f d f 0 y dx y

 

  −        =

L’equazione di Eulero-Lagrange: casi speciali

• Casi speciali dell’equazione di E-L:

• Se f(x,y,y’) non dipende da x, abbiamo:

• Se f(x,y,y’) non dipende da y, abbiamo:

• Se f(x,y,y’) non dipende da y’, abbiamo:

f d f 0 y dx y

 

 

−    =

   

' '

y f f C

y

 − =



'

f C

y

 =



f 0 y

 =



Esempio 1: il percorso più breve

• Supponendo di voler individuare quale sia, tra tutte le curve con gli estremi assegnati

y(x

)=y

e y(x

)=y

, il percorso dal punto (x

, y

) al punto (x

, y

) che abbia la minima lunghezza

 

( )

2

1

,

,

y  C x x

Esempio 1: il percorso più breve

•

Ricordiamo che la lunghezza della curva y e data dall'integrale:

•

Quindi il nostro problema e quello di minimizzare il funzionale lunghezza:

•

Naturalmente, come l'esperienza comune ci suggerisce, la

curva di lunghezza minima che stiamo cercando é il segmento di retta passante per punto (x

, y

) al punto (x

, y

)

2

1

1 ( )

x

y x dx 

 +

2

1

( ) 1 ( )

x

J y =  + y x dx 

Esempio 1: il percorso più breve

•

Con l’equazione di Eulero-Lagrange possiamo ora provare rigorosamente questa affermazione. Per il funzionale di minima lunghezza l’equazione di E-L diventa:

da cui:

( )

2 2 2

0

1 1

d f d y y

dx y dx y y

   

   =   = =

     +  

    + 

( )

1

1 2 1

2 1

0 y

y ax b x x

y y y y

x x

 =

= +

= + − −

−

Esempio 1: il percorso più breve

( )

( )

( )

2 3

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

3

2 2

2 2

0

1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1

d f d y y

dx y dx y y

y y

y y y

y y y y

y y

d y

dx y y y

y y y

y y y y

y y y

y y

y

   

   =   = =

     +  

    + 

  

   +  −  

 +  −    

   +   +  

  = = =

 +   +  + 

 

    +  −  

  +  −     

 +    +   

   

= = =

 

+ + + 

Esempio 2: il problema della brachistocrona

• Supponendo che i punti di arrivo

abbiano coordinate (x₁, y₁) e (x₂, y₂) rispettivamente e che il tempo impiegato a percorrere

la curva sotto spinta della gravità é:

• L’equazione di E-L (l’identita di Beltrami) diventa:

da cui:

y₁ y₂

2

1

1 1

( ) 2

x

x

J y y dx

g y

+ 

= 

2 2

2 2

1 1

2 1 2 2 1

f y y

y f C C C

y gy y y gy y gy y

 + 

  − =  − =  =

  +  + 

( sin ) (1 cos ) x a

y a

 



= −

= −

Metodi numerici

• Metodo di Eulero

• Metodo di Ritz

• Metodo di Kantorowicz (per più variabili)

Metodo di Eulero

• Si suppone che il problema è quello di minimizzare il funzionale:

dove:

• Si divide l’intervallo [x

,x

] in N+1 sottointervalli di lunghezza:

1

0

( ) ( , , )

xn

x

J y f x y y dx

+



= 

0 0

1 1

( )

(

)

y x y

y x

y

 =

 =



1 0

1 x

x

x n

+

−

 = +

Metodo di Eulero

• In oltre si suppone che y

, y

,… y

sono i valori della funzione nei punti:

1 0

,

2 , ...,

x = x +  x x = x +  x x = x +  N x

Metodo di Eulero

• L’integrale:

si può quindi approssimare con la somma:

• I valori y

, y

,… y

si determina risolvendo il sistema di equazioni:

1

0

( ) ( , , )

xn

x

J y f x y y dx

+



= 

1 1

0

( ,..., ) ( , , )

N

i i

N i i

i

y y

y y f x y x



x

=

= − 

 

0, 1, 2,...

i

d i N

dy

 = =

Metodo di Eulero

• I termini in cui compare y

sono:

quindi la derivata diventa:

dove:

1

1 1

1

1 1

( , , ) ( , , )

( , , ) 0

i i

i

i i i i

y i i y i i

i

i i

y i i

y y y y

d f x y x f x y

dy x x

y y

f x y

x



−

+ +



 − − −

− −

=  − +

 

+ − =



1 1

1 1

( ,

, y

y

) , (

,

, y

y

)

f x y x f x y x

x x

+ −

− −

− −

 

 

1

i i

i

y y

y x

+

−

 = 

Metodo di Eulero

• La forma finale del sistema di equazioni diventa:

dove:

in alternativa:

1

1

1 1

( , , ) ( , , )

( , , )

0

i

i i

y i i y i i

i

y i i

y y

f x y f x y

y x x

f x y

x x

−

  − − −

 

 −  −  =

 

1

i i i

y y

y

 = −

( , , )

0

i

i y

y i i

y f f x y

x x



 − =

 

Esempio 1: il percorso più breve

•

Il problema e quello di minimizzare il funzionale lunghezza:

con gli estremi assegnati y(0)=0 e y(1)=1 e N=4

•

La soluzione:

2

1

( ) 1 ( )

x

J y =  + y x dx 

4 4

1 2

1 4

0 0

2 2 2

4

1 1 0 2 1

0

2 1

( ,..., ) ( , , ) 1

1 1 1 ...

1

i i

i i i

i i

i i

i

N N

y y

y y f x y x y x

x

y y y y y y

x x x

x x x

y y

x x



= =

+

=

+

− 

=  = +  =



− − −

     

= +       = +       + +       + +

 − 

+ +      

 



Esempio 1: il percorso più breve

(

)

(

)

1

2 2 1 2 2 1

...

d y y y y

y y x y y x

x x

dy

 = −  +     −    − −  +     −   

4 4

1 2

1 4

0 0

2 2 2

4

1 1 0 2 1

0

2 1

( ,..., ) ( , , ) 1

1 1 1 ...

1

i i

i i i

i i

i i

i

N N

y y

y y f x y x y x

x

y y y y y y

x x x

x x x

y y

x x



= =

+

=

+

− 

=  = +  =



− − −

     

= +       = +       + +       + +

 − 

+ +      

 



Esempio 1: il percorso più breve