Il risultato `e uno scalare; il prodotto scalare `e commutativo:

Prodotto scalare (prodotto interno): A · B

θ A

B

A · B = A B cos θ

Il risultato `e uno scalare; il prodotto scalare `e commutativo:

A · B = B · A

Prodotto vettoriale (prodotto esterno): A × B

Area del parallelogramma di spigoli A, B:

A × B = A B sin θ e

A × B =

e

e

e

A

A

A

B

B

B

Il risultato `e un vettore perpendicolare al piano che contiene i vettori A e B. Il verso

cambia scambiando l’ordine dei vettori:

A × B = −B × A

Triplo prodotto scalare: A · B × C

Volume del parallelepipedo di spigoli A, B, C:

A

A

A

Il risultato (`e uno scalare) non cambia scambiando i prodotti

scalare/vettoriale:

A · B × C = A × B · C ed `e invariante rispetto alla permutazione ciclica dei vettori

componenti:

A ·B×C = B·C×A = C·A×B

Triplo prodotto vettoriale A × (B × C)

Il risultato `e un vettore nel piano formato dai vettori B e C:

A × (B × C) = mB + nC

con:

m = A · C n = −A · B

A ×(B × C) = (A · C) B−(A · B) C

Triplo prodotto vettoriale (cont.)

A ×(B × C) =

e

e

e

A

A

A

(B

C

− B

C

) (B

C

− B

C

) (B

C

− B

C

)

Coordinate cartesiane

r = (P − O) = x e

+ y e

+ z e

= x i + y j + z k r = |r| = p

x

+ y

+ z

x = e

· r

y = e

· r

z = e

· r

Coordinate curvilinee



 



 



q

= q

(x, y, z) q

= q

(x, y, z) q

= q

(x, y, z)



 



 



x = x (q

, q

, q

) y = y (q

, q

, q

) z = z (q

, q

, q

)

La coordinata curvilinea q

non ha necessariamente la dimensione di

una lunghezza

Coordinate cilindriche







q

= r 0 ≤ r < ∞ q

= θ 0 ≤ θ < 2π q

= z −∞ < z < ∞

x = r cos θ y = r sin θ

z = z

r = p

x

+ y

θ = tan

(y/x)

z = z

Coordinate cilindriche: superfici coordinate

• r = costante: cilindro coassiale all’asse Z;

• θ = costante: semi-piano del fascio di asse Z;

• z = costante: piano

perpendicolare all’asse Z;

Coordinate sferiche

e_r e_φ

e_θ θ

φ







q

= r 0 ≤ r < ∞ q

= θ 0 ≤ θ ≤ π q

= φ 0 ≤ φ < 2π

x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ

r = p

x

+ y

+ z

θ = cos

z

p x

+ y

+ z

φ = cos

x

p x

+ y

Coordinate sferiche: superfici coordinate

• r = costante: sfere concentri- che con centro nell’origine;

• θ = costante: semi-cono circolare di asse Z;

• φ = costante: semi-piano del

fascio di asse Z.

Funzioni di scalari e vettori

• Vettore funzione di uno scalare, per es. posizione di un punto materiale in funzione del tempo:

r = r(t)

• Scalare funzione di uno vettore, per es. distribuzione di temperatura in un solido:

T = T (r)

• Vettore funzione di un vettore, per es. moto rotatorio di corpo rigido:

u = ω × r

Pi` u in generale, uno scalare o un vettore pu`o essere funzione di un vettore (per es. posizione) e di uno scalare (per es. tempo):

u = u (r, t)

Se A = A(t), riscrivendo il vettore in funzione delle componenti in un sistema di riferimento fisso nello spazio, equivale a fornire le tre

funzioni:

A

= A

(t); A

= A

(t); A

= A

(t).

Derivata di un vettore A = A(t)

e

versore tangente alla curva C.

Per esempio:

V = dr

dt = ds

dt e

= V e

dA

dt = lim

∆t→0

A(t + ∆t) − A(t)

∆t

= lim

∆t→0

(Q − P )

∆t

= lim

∆s→0

(Q − P )

∆s lim

∆t→0

∆s

∆t

= ds

dt lim

∆s→0

(Q − P )

∆s

= ds

dt e

Versori in un sist. di coordinate curvilinee

r(q+dq,q)

2

1 1

r(q,q)

1 2

P(q,q)

1 2 q(x,yz)=costante

2

q(x,yz)=costante

1

∂r

∂q

= lim

∆q₁→0

r (q

+ ∆q

, q

) − r (q

, q

)

∆q

= ds

dq

e

= h

e

quindi:

∂r

∂q

= ∂x

∂q

e

+ ∂y

∂q

e

+ ∂z

∂q

e

= h

e

m = 1, 2, 3 da cui:

h

=  ∂x

∂q



+  ∂y

∂q



+  ∂z

∂q



e

= 1  ∂x

e

+ ∂y

e

+ ∂z e



Esempio: versori in coordinate sferiche

e_r e_φ

e_θ θ

φ



 



 



x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ

∂r

∂θ = r cos θ cos φ e

+ r cos θ sin φ e

− r sin θ e

= h

e

da cui:

h

= r

e

= cos θ cos φ e

+ cos θ sin φ e

− sin θ e

analogamente si dimostra che:

h

= 1

h

= r sin θ

Distanza, aree, volumi in un sist. di rif.to curvilineo ortogonale

Distanze

ds ≡ dr = ∂r

∂q

dq

+ ∂r

∂q

dq

+ ∂r

∂q

dq

= e

h

dq

+ e

h

dq

+ e

h

dq

= e

ds

+ e

ds

+ e

ds

ds

= ds·ds = (h

dq

)

+(h

dq

)

+(h

dq

)

Aree

Volumi dV = h

dq

e

· (h

dq

e

× h

dq

e

)

= h

h

h

dq

dq

dq

Esempio: coordinate cilindriche

ds = dr e

+ r dθ e

+ dz e

dS

e

= rdθ e

× dz e

= r dθ dz e

dS

e

= dz e

× dr e

= dr dz e

dS

e

= dr e

× rdθ e

= r dr dθ e

dV = dr e

· (rdθ e

× dz e

)

= dr r dθ dz

Regole di derivazione per vettori funzione di uno scalare

1. le derivate di ordine superiore di A(t) sono calcolate analogamente al caso scalare;

2. se

U(t) = A(t) + B(t); dU

dt = dA

dt + dB dt 3. se

u = u(t) e A = A(t); d (uA)

dt = u dA

dt + A du

dt

4. se

A = A(t) e B = B(t); d (A · B)

dt = A · dB

dt + dA dt · B (l’ordine non `e importante; il prodotto scalare `e commutativo)

5. d (A × B)

dt = A × dB

dt + dA

dt × B

(l’ordine `e essenziale; il prodotto vettoriale NON `e commutativo)

6.

d (A · B × C)

dt = dA

dt · B × C + A · dB

dt × C + A · B × dC dt 7.

d [A × (B × C)]

dt = dA

dt ×(B×C)+A×( dB

dt ×C)+A×(B× dC

dt )

(occhio alle parentesi!!!)

Se A `e costante in modulo, ma non in direzione, allora la derivata di A `e perpendicolare ad A.

Infatti, se |A| = A = costante:

dA

dt = 0 = d(A · A)

dt = 2 dA

dt · A

La derivata di un versore `e perpendicolare al versore.

Attenzione: i versori sono costanti in modulo, ma non in direzione!

Se: A(t) = A

e

(sommatoria sull’indice i) allora:

dA

dt = d (A

e

)

dt = dA

dt e

+ A

de

dt

In un sistema di riferimento cartesiano i versori sono costanti:

de

dt = 0 i = x, y, z

Esempio: velocit` a in un sist. di coord. cilindriche

R = (P − O) = re

+ ze

V = dR

dt = d

dt (re

+ ze

)

= dr

dt e

+ r de

dt + dz dt e

= dr

dt e

+ r dθ

dt e

+ dz dt e

poich`e:

de

dt = dθ

dt e

ds = rdθ

Derivate dei versori (coordinate cilindriche)

Vogliamo calcolare (i = r, θ, z):

de

= dθe

× e

= dθe

de

= dθe

× e

= −dθe

de

= dθe

× e

= 0

riassumendo:

∂e

/∂θ = e

∂e

/∂θ = −e

∂e

/∂r = 0

∂e

/∂z = 0

Derivate dei versori (coordinate cilindriche)

In alternativa, scrivendo le componenti di versori e

, e

, e

nel sist.

di riferimento cartesiano e derivando rispetto a θ, si ottiene:

e

= cos θe

+ sin θe

e

= − sin θe

+ cos θe

e

= e

∂e

∂θ = − sin θe

+ cos θe

= e

∂e

∂θ = − cos θe

− sin θe

= −e

∂e

∂θ = 0

Le derivate rispetto a (r, z) sono

nulle.

Derivate dei versori (coordinate sferiche)

Vogliamo calcolare (i = r, θ, φ):

In coordinate sferiche:

dΦ = dφe + dθe

de

= dθe

+ dφ sin θe

de

= −dθe

+ dφ cos θe

de

= −dφ sin θe

− dφ cos θe

Derivata di uno scalare funzione di un vettore (gradiente)

φ = φ (r)

ds = ds e = (S[Q] − P )

φ

= φ

+ P Q ∂φ

∂n = φ

φ

− φ

= P Q ∂φ

∂n

= P S cos α ∂φ

∂n d φ = n ∂φ

∂n · ds

= gradφ · ds

dφ

ds

= grad φ · e

Superfici di livello (gradiente)

Se S `e una superficie di livello per la funzione scalare φ:

per qualsiasi spostamento ds nel piano della iso-superficie. In altri termini, qualunque sia il versore e

che giaccia nel piano:

grad φ · e = 0

ovvero il gradiente di una

funzione scalare `e perpendicolare, in ogni punto, alle superfici di

livello della funzione φ.

Gradiente in coordinate cartesiane

φ = φ (r) = φ(x, y, z)

ds = dx e

+ dy e

+ dz e

= ds e

dφ = ∂φ

∂x dx + ∂φ

∂y dy + ∂φ

∂z dz

= ∂φ

∂x e

+ ∂φ

∂y e

+ ∂φ

∂z e



· (dx e

+ dy e

+ dz e

)

= grad φ · ds

dφ

ds

= grad φ · e

Gradiente in coordinate curvilinee

φ = φ (r) = φ(q

, q

, q

)

dφ = ∂φ

∂q

dq

+ ∂φ

∂q

dq

+ ∂φ

∂q

dq

= 1

h

∂φ

∂q

ds

+ 1 h

∂φ

∂q

ds

+ 1 h

∂φ

∂q

ds

=  1 h

∂φ

∂q

e

+ 1 h

∂φ

∂q

e

+ 1 h

∂φ

∂q

e



· (ds

e

+ ds

e

+ ds

e

)

= grad φ · ds

Derivata di un vettore funzione di un vettore

A = A (r) = A

e

+ A

e

+ A

e

derivando si ottiene:

dA = {(dA

)e

+ (dA

)e

+ (dA

)e

}+{A

(de

) + A

(de

) + A

(de

)}

abbiamo gi`a visto che: dA

= d s · gradA

inoltre si pu`o mostrare che:

{A

(de

) + A

(de

) + A

(de

)} = (ds · x

) e

+(ds · x

) e

+(ds · x

) e

in cui i vettori x

dipendono da A

e de

(tra gli esercizi).

Derivata di uno vettore funzione di un vettore (cont.)

Introducendo la notazione: W

≡ gradA

+ x

si pu`o scrivere:

dA = {(dA

)e

+ (dA

)e

+ (dA

)e

} + {A

(de

) + A

(de

) + A

(de

)}

= [ds · (gradA

+ x

)] e

+ [ds · (gradA

+ x

)] e

+ [ds · (gradA

+ x

)] e

= (ds · W

) e

+ (ds · W

) e

+ (ds · W

) e

ovvero, posto ds = e ds:

dA

ds = (e · W

) e

+ (e · W

) e

+ (e · W

) e

L’operatore differenziale ∇ Del (o Nabla)

grad φ =



e

1 h

∂φ

∂q

+ e

1 h

∂φ

∂q

+ e

1 h

∂φ

∂q



= ∇ φ

da cui:

∇ =



e

1 h

∂

∂q

+ e

1 h

∂

∂q

+ e

1 h

∂

∂q



coor. curv.

=



e

∂

∂r + e

1 r

∂

∂θ + e

∂

∂z



coor. cilindriche

=



e

∂

∂r + e

1 r

∂

∂θ + e

1 r sin θ

∂

∂φ



coor. sferiche

Divergenza e rotore di un campo vettoriale

∇ · A

∇ × A =



e

1 h

∂

∂q

+ e

1 h

∂

∂q

+ e

1 h

∂

∂q

 ·

× (e

A

+ e

A

+ e

A

) Attenzione! Nell’effettuare i prodotti bisogna applicare l’operatore

di derivazione anche ai versori.

In coordinate cartesiane:

div A ≡ ∇ · A = ∂A

∂x + ∂A

∂y + ∂A

∂z

e

e

e

Esempio: divergenza in coord. cilindriche

∇ · A =



e

1 h

∂

∂q

+ e

1 h

∂

∂q

+ e

1 h

∂

∂q



· (e

A

+ e

A

+ e

A

)

= e

·



e

∂A

∂r + A

∂e

∂r + e

∂A

∂r + A

∂e

∂r + e

∂A

∂r + A

∂e

∂r



+ e

1 r ·



e

∂A

∂θ + A

∂e

∂θ + e

∂A

∂θ + A

∂e

∂θ + e

∂A

∂θ + A

∂e

∂θ



+ e

·



e

∂A

∂z + A

∂e

∂z + e

∂A

∂z + A

∂e

∂z + e

∂A

∂z + A

∂e

∂z



= ∂A

∂r + 1 r



A

+ ∂A

∂θ



+ ∂A

∂z

= 1 r

 ∂

∂r (r A

) + ∂

∂θ (A

) + ∂

∂z (r A

)



Divergenza in coordinate curvilinee ortogonali

∇ · A = 1

h

h

h

 ∂

∂q

(h

h

A

) + ∂

∂q

(h

h

A

) + ∂

∂q

(h

h

A

)



= 1

r

 ∂

∂r (r A

) + ∂

∂θ (A

) + ∂

∂z (r A

)



= 1

r

sin θ

 ∂

∂r r

sin θ A

+ ∂

∂θ (r sin θA

) + ∂

∂φ (r A

)



La divergenza di un vettore `e uno scalare

Rotore in coordinate curvilinee ortogonali

Si pu`o mostrare che:

∇ × A = 1

h

h

h

h

e

h

e

h

e

∂

∂

∂

h

A

h

A

h

A

= 1

h

h

 ∂

∂q

(h

A

) − ∂

∂q

(h

A

)

 e

+ 1

h

h

 ∂

∂q

(h

A

) − ∂

∂q

(h

A

)

 e

+ 1

h

h

 ∂

∂q

(h

A

) − ∂

∂q

(h

A

)

 e

Il rotore di un vettore `e un vettore

Rotore in coordinate cilindriche e sferiche

Coordinate cilindriche

rot A ≡ ∇ × A = 1 r

e

r e

e

∂

∂

∂

A

r A

A

Coordinate sferiche

rot A ≡ ∇ × A = 1 r

sin θ

e

r e

r sin θ e

∂

∂

∂

A

r A

r sin θ A

Integrali di linea

e s

r

ds

C

A

ds = ds e

; e

versore tangente alla curva C.

Z

C

φ (r) ds vettore Z

C

A (r) · ds scalare Z

C

A (r) × ds vettore

Circolazione:

I

C

A · ds

Integrali di superficie

dS = dS n; n versore normale alla superficie S.

Z Z

S

φdS vettore Z Z

S

A · dS scalare Z Z

S

A × dS vettore

Integrali estesi ad una superficie chiusa

dS = dS n; n versore normale alla superficie S.

Z



 

Z

S

φ dS vettore Z



 

Z

S

A · dS scalare*

Z



 

Z

S

A × dS vettore

*) Flusso netto del vettore A

attraverso la superficie chiusa S.

Integrali di volume

Z Z Z

R

φ (r) dV scalare Z Z Z

R

A (r) dV vettore

Il gradiente come limite di un integrale di superficie

Vogliamo dimostrare che:

dato un punto P in campo scalare φ (r), un volume infinitesimo ∆τ

che circonda il punto P , racchiuso dalla superficie ∆S:

gradφ ≡ lim

∆τ →0

1

∆τ Z



 

Z

∆S

φ ndS.

Il gradiente come limite di un integrale di superficie

Chiamiamo :

e calcoliamo U · e.

Z



 

Z

∆S

φ (n · e) dS = Z Z

wall φ (n · e) dS +

Z Z

Face 1 φ (n · e) dS +

Z Z

Face 2 φ (n · e) dS

Z Z

wall φ (n · e) dS = 0 n ⊥ e sulla sup. laterale Z Z

Face 1 φ (n · e) dS = −φ (P ) ∆σ n = −e sulla faccia 1 Z Z

Face 2 φ (n · e) dS =



φ (P ) + d φ

ds ∆s + O∆s



∆σ n = e

U · e = lim

∆τ →0

1

∆τ Z



 

Z

∆S

φ n · e dS

= lim

∆σ→0∆s→0

1

∆σ ∆s

d φ

ds ∆s + O∆s



∆σ

= d φ

ds = grad φ · e

Poich`e il versore e `e stato scelto arbitrariamente:

U = lim

∆τ →0

1

∆τ Z



 

Z

∆S

φ ndS = grad φ

La divergenza come limite di un integrale di flusso

Dato un punto P in campo vettoriale A (r), un volume infinitesimo ∆τ che circonda il

punto P , racchiuso dalla superficie ∆S:

divA ≡ lim

∆τ →0

1

∆τ Z



 

Z

∆S

A · ndS.

Il rotore quale limite di un integrale di superficie

Dato un punto P in campo vettoriale A (r), un volume infinitesimo ∆τ che circonda il

punto P , racchiuso dalla superficie ∆S:

rotA ≡ lim

∆τ →0

1

∆τ Z



 

Z

∆S

n × AdS.

Riepilogo...

∇



 φ

·A

×A



 ≡ lim

∆τ →0

1

∆τ Z



 

Z

∆S





φ A ·

−A×



 n dS.

La circolazione quale componente del rotore

Dato un punto P in campo vettoriale A (r), un circuito infinitesimo C

che circonda il punto P , indicato con e il versore

normale alla superficie racchiusa dal circuito:

e · rotA = lim

∆σ→0

1

∆σ I

C_e

A · e

ds.

La circolazione quale componente del rotore

e · rotA = lim

∆τ →0

1

∆τ Z



 

Z

∆S

(e · n × A) dS

= lim

∆τ →0

1

∆τ Z



 

Z

∆S

(A · e × n) dS

∆τ = ∆σ ∆h Z



 

Z

∆S

...dS = Z Z

wall (A · e × n) dS +

Z Z

face 1 (A · e × n) dS +

Z Z

face 2 (A · e × n) dS

La circolazione quale componente del rotore (cont.)

Z



 

Z

∆S

... dS = Z Z

wall (A · e × n) dS

=

Z

"I

C_e

A · e × n

| {z }

e_s

! ds

# dh

Poniamo:

f (h) = I

C(h)

(A · e

) ds = f (0)+f

(0) h+...

Integrando:

Z

"I

C(h)

(A · e

) ds

#

dh =

Z

f (h) dh = f (0) ∆h+f

(0) ∆h

2 +....

e · rotA = lim

∆σ→0∆h→0

1

∆σ ∆h Z



 

Z

∆S

(e · n × A) dS

= lim

∆σ→0∆h→0

1

∆σ ∆h



f (0) ∆h + f

(0) ∆h

2 + ...



= lim

∆σ→0

1

∆σ I

C_e

A · e

ds.

e · rotA = lim

∆σ→0

∆h

∆τ I

C_e

A · e

ds.

Teorema della divergenza (o di Gauss-Ostrogradskj)

Z



 

Z

S

(A · n) dS =

Z Z Z

R

∇ · A dV

scegliendo: A = φ (r) c, con c vettore costante e c 6= 0, si ottiene:

Z



 

Z

S

φn dS =

Z Z Z

R

∇φ dV

Il teorema di Stokes

Il rotore `e un campo solenoidale.

Dato un circuito C ed una qualsiasi superficie S che ad esso

si appoggi:

I

C

A · ds = Z Z

S

(∇ × A) · n dS

Ne consegue che:

Z



 

Z

S

(∇ × A) · n = 0

qualunque sia la sup. chiusa S.

di Taylor rispetto ad O:

(A)

= A − 1

2 (c

· ∇) A + O c

(A)

= A + 1

2 (c

· ∇) A + O c

(A)

= A − 1

2 (c

· ∇) A + O c

(A)

= A + 1

2 (c

· ∇) A + O c

c

e c

sono vettori di modulo

infinitesimo.

I

ABCD

A · ds = (A)

· c

+ (A)

· c

− (A)

· c

− (A)

· c

= c

· [(c

· ∇) A] − c

· [(c

· ∇) A]

= [(c

· ∇) c

− (c

· ∇) c

] · A

= [(c

× c

) × ∇] · A = (c

× c

) · (∇ × A)

= (∇ × A) · dS

Riepilogo: I teoremi della divergenza e di Stokes

Z



 

Z

S





φ A · A ×



 n dS =

Z Z Z

R

∇





φ

·A

× − A



 dV Gauss

I

C

A · ds = Z Z

S

(∇ × A) · n dS Stokes

Campi conservativi (irrotazionali) e potenziale scalare

Se

A = gradφ

in un dominio Ω, allora si dice che A `e un campo vettoriale conservativo in Ω e la funzione φ `e detta potenziale scalare di A in

Ω.

Campi irrotazionali e potenziale scalare (cont.)

Si consideri il campo vettoriale A = gradφ e si applichi:

Poich`e la direzione n `e arbitraria, ne consegue che:

rot (gradφ) = ∇ × ∇φ = 0

Se il rotore di un campo vettoriale A `e nullo in una certa regione Ω dello spazio, il campo si definisce irrotazionale in Ω.

Ogni campo vettoriale conservativo `e irrotazionale.

Viceversa, se in Ω il campo A `e irrotazionale, esso pu`o essere espresso come il gradiente di un potenziale scalare, A = ∇φ se il

dominio Ω soddisfa certe condizioni topologiche, ovvero se il

dominio `e a connessione semplice.

Alcune nozioni di topologia

Una regione dello spazio si definisce connessa se due punti qualsiasi appartenenti alla regione possono essere collegati mediante

una curva (o percorso) senza che questa attraversi la frontiera della

regione.

Percorsi riconciliabili ed irriconciliabili

Prese due curve qualunque C

e C

che colleghino i punti P e Q, queste si definiscono (ir)riconciliabili se (non) possono essere

portate a coincidere senza mai abbandonare la regione.

(c) Corpo chiuso: tutti i percorsi sono riconciliabili.

(d) Cilindroide indefinito: i percorsi C₁ e C₂ sono riconciliabili; i percorsi C₁ e C₃ sono irriconciliabili.

Circuiti riducibili ed irriducibili

Un circuto C si definisce riducibile/irriducibile se esso pu`o (non pu`o) essere ridotto ad un punto senza mai abbandonare la regione.

(e) Corpo chiuso: tutti i circuiti sono (f) Cilindroide indefinito: i circuiti C₂ e C₄

Condizioni necessarie per la conservativit` a

Le tre proposizioni seguenti sono equivalenti:

• Il campo A `e conservativo in Ω, ovvero A = gradφ.

•

Γ

= I

C

A · ds = 0 per ogni curva chiusa C contenuta in Ω.

• Dati due punti P e Q appartenenti a Ω, l’integrale Z

P

A · ds = 0

assume lo stesso valore per tutte le curve che uniscono P a Q.

Campi irrotazionali e circolazione

C

A = gradφ Γ

=

I

C

A · ds = I

C

gradφ · ds

= lim

Q→P

Z

d φ

= lim

Q→P

(φ(Q) − φ(P ))

La circolazione Γ `e nulla se la

funzione φ `e ad un sol valore.

Campi irrotazionali in regioni semplicemente connesse

Q

C

P

C

1 2

A = gradφ

Γ =

Z

via

A · ds −

Z

via

A · ds

= Z Z

σ

rotA · n dS = 0 [φ(P ) − φ(Q)]

1

= [φ(P ) − φ(Q)]

2

Il potenziale φ `e una funzione ad un sol valore in una regione

semplicemente connessa.

Campi irrotazionali in regioni doppiamente connesse

In una regione dello spazio doppiamente connessa la circolazione di un vettore irrotazionale intorno ad un circuito riducibile (C

) `e nulla.

Γ

= I

A · ds = Z Z

rotA · n dS = 0

Campi irrotazionali in regioni doppiamente connesse

In una regione dello spazio doppiamente connessa la circolazione di un vettore irrotazionale intorno ad un circuito irriducibile (C

) NON

`e, in generale, nulla (NON `e possibile applicare il Th. di Stokes).

Γ

= I

C₁

A · ds =?

Campi irrotazionali in regioni doppiamente connesse

In una regione dello spazio doppiamente connessa la circolazione di un vettore irrotazionale intorno a due qualsiasi circuiti irriducibili

assume lo stesso valore (in generale 6= 0).

I

A · ds − I

A · ds = Z Z

rotA · n dS = 0 → Γ = Γ

Campi solenoidali e potenziale vettore

divA ≡ lim

∆τ →0

1

∆τ Z



 

Z

∆S

A · n dS.

Se A = rotv, poich`e, per il Th. di Stokes:

Z



 

Z

S

rotv · ndS ≡ 0 ne consegue che la divergenza del rotore di un vettore `e identicamente

nulla: div (rotv) = ∇ · (∇ × v) ≡ 0

Se ∇ · A (r) = 0 in una regione Ω dello spazio, semplicemente connessa rispetto alle superfici, `e possibile rappresentare il campo

A (r) tramite il rotore di un altro campo B (r)

A = ∇ × (B + ∇ψ + c)

Campi solenoidali

Z



 

Z

S

A · n dS =

Z Z Z

R

divA dV (1)

Se il campo vettoriale A (r) = 0 `e solenoidale in una regione Ω, ovvero divA = 0, in virt` u del T. della divergenza, Eq. (1):

Z



 

Z

S

A · n dS = 0 S ⊆ Ω

In un campo vettoriale solenoidale il flusso del vettore attraverso

Campi solenoidali

Tubo di flusso

Se A `e un campo solenoidale e

Σ = S

∪ S

∪ S

0 = Z



 

Z

Σ

A · n dS = Z Z

S_w

(..) dS +

Z Z

S₁

(..) dS + Z Z

S₂

(..) dS RR

S_w

= 0 poich`e A ⊥ n sulla la superficie S

.

In un campo solenoidale il flusso del campo vettoriale ` e costante in

ciascuna sezione di un tubo di

flusso

∇u in coord. cilindriche

∇u = 

e

∂

+ e

r ∂



(e

u

+ e

u

)

= e

∂

(e

u

) + e

∂

(e

u

) + e

r ∂

(e

u

) + e

r ∂

(e

u

)

= e

∂e

∂r u

+ e

∂u

∂r + ∂e

∂r u

+ e

∂u

∂r



+ e

r

∂e

∂θ u

+ e

∂u

∂θ + ∂e

∂θ u

+ e

∂u

∂θ



= e



e

∂u

∂r + e

∂u

∂r



+ e

r



e

u

+ e

∂u

∂θ − e

u

+ e

∂u

∂θ



= ∂u

e e + ∂u

e e + 1 ∂u

− u



e e + u

+ 1 ∂u



e e

Velocit` a di deformazione lineare

u dt

rA(t) rB(t)

du dt (u+du) dt

dx

dx’

A B

traiettoria di A traiettoria di B

x

y z

A’

B’

u

(t) = u

(t) + dx · ∇u + O dx

= u + dx · (Ω + E) + O dx

= u + 1

2 ω × dx + dx · E + O dx

dx

= dx + (dx · E) dt

+ 1

2 ω × dx



dt + O dx

dt

Velocit` a di deformazione angolare

dx . gradu dt

dX . gradu dt dx

dX dx’

dX’

B

A O

φ

φ’

dx

= dx + (dx · E) dt + 1

2 ω × dx



dt + O dx

dt