• Provare che, comunque siano scelti i valori di
ae
bin con
a≠0, la funzione g x ( ) ammette un massimo ed un minimo assoluti. Determinare i valori di
ae
bin corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni f x ( ) e g x ( ) si intersecano nel punto A ( ) 2,1 .
( )
dom g x = g x ( ) ( ax b e )
2x x2ax b
x2 2xe
−
−
= + = +
Comportamento della funzione agli estremi del dominio lim ( ) lim
2 2x x
x x
g x ax b
e
−→±∞ →±∞
+ ∞
= =
∞
Per calcolare tale limite applico il teorema di De l’Hospital:
( )
2 2( )
2 2lim lim lim 0
2 1
x x x x
x x x
ax b a
g x
e
−x e
−→±∞ →±∞ →±∞
= + = =
−
Questo ci consente di affermare che la funzione proposta ( ) ( )
2 22
2 x x
x x
g x ax b e ax b
e
−
−
= + = + è continua e
finita in . Il teorema di Weierstrass ci garantisce l’esistenza di un massimo e di un minimo assoluti per la funzione g x ( ) ( = ax b e + )
2 x x− 2.
Per determinare i massimi ed i minimi della funzione occorre calcolare la derivata prima della
funzione ( ) ( )
2 22
2 x x
x x
g x ax b e ax b
e
−
−
= + = + .
( )
2x x2 2( )(
1)
2x x2 2 2 2( )
2 2x x2g x′ = ⋅a e − + ax b+ x− ⋅e − = − ax + a b− + +a b⋅e −
( ) 0
g x ′ = ⇒ − 2 ax
2+ 2 ( a b − + + ) a 2 b = Il delta di questa equazione è sempre positivo 0
Questa equazione ammette sempre due radici reali e distinte in quanto il suo delta è sempre positivo essendo la somma di due quadrati.
( )
2 2(
2)
3 2 2 2 2 2( )
24 a b a a b a ab b a a b
∆= − + + = + + = + +
Queste due radici reali sono le ascisse dei punti di massimo e di minimo assoluti come dimostrato in precedenza.
Siano σ γ i rispettivi grafici delle funzioni f x ( ) e g x ( ) . ( ) 2,1
A ∈ σ ⇒ f ( ) 2 = 1 ⇒
4a− + =2 b 1( ) 2,1
A ∈ γ ⇒ g ( ) 2 = 1 ⇒ ( 2 a b e + ⋅ = )
01 ⇒
2a b+ =1( 2 a b e + ⋅ = )
01 Il sistema da risolvere è: 2 1
4 3
a b a b
+ =
+ =
1 2
4 1 2 3
b a
a a
= −
+ − =
1 2
2 2
b a
a
= −
=
1
1 a b
=
=−
• Si assuma. d’ora in avanti, di avere
a=1e
b= −1. Studiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di g x ( ) ammette un centro di simmetria e che i grafici di f x ( ) e g x ( ) sono tangenti nel punto B ( ) 0;1 . Determinare inoltre l’area della regione piana
Sdelimitata dai grafici delle funzioni f x ( ) e g x ( ) .
Posto 1
1 a b
=
=− le funzioni da studiare diventano: f x ( ) = − − x
2x 1 g x ( ) ( = − x 1 ) e
2x x− 2La funzione f x ( ) = − − x
2x 1 è una parabola ad asse verticale il cui vertice coincide col punto 1 ; 5
2 4
V − . La parabola incontra gli assi cartesiani nel punti B ( ;0, 1 − ) ,
1 5 2 ;0 C −
,
1 5;0 D +2
.
( )
dom g x = ( )
( )
2 2 2 2
lim lim lim 0
2 1
x x x x
x
g x
x xe
−x e
−→±∞
=
→±∞=
→±∞=
−
0
y=
(asse delle ascisse) è l’asintoto orizzontale della funzione.
0
x=
⇒
y= −1B ( 0; 1 − )
y=0⇒ ( x − 1 ) e
2x x− 2= 0 ⇒
x=1E ( ) 1;0 ( ) 0
g x > ( g x ( ) < 0 ) se
x>1(
x<1)
Monotonia della funzione ed eventuali punti estremanti ( ) (
2 2 4 1)
2x x2g x′ = − x + x− ⋅e −
g x ′ ( ) = 0 ⇒ − 2 x
2+ 4 x − = 1 0 2 2
x = ± 2
+ x
_
O O g′ ( ) x
2 _
2 2 −
2 2 2 +
1 4 2
2+ −
− x x
2 2 2
2 ; 2
N − − e
immagine geometrica del minimo assoluto
2 2 2 2 ; 2
M + e
immagine geometrica del massimo assoluto Concavità della funzione ed eventuali punti di flesso
( )
2 2(
3 6 2 3 1)
2x x2 2(
1 2) (
2 4 1)
2x x2g′′ x = x − x + x+ ⋅e − = x− x − x− ⋅e −
( ) 0
g ′′ x = ⇒ 2 ( x − 1 2 ) ( x
2− 4 x − = 1 ) 0 ⇒
x=12 6
x = ± 2
2 6
x = − 2 punto di flesso ascendente 2 6
x = + 2 punto di flesso ascendente
1
x=
punto di flesso discendente
Le immagini geometriche dei punti di flesso della funzione g x ( ) sono:
1
2 6 6
2 ; 2
F − − e
F
2( ) 1;0
3 2 6; 62 2
F + e
I punti M N F F , ,
1,
3sono simmetrici rispetto al punto F
2( ) 1;0 e questo ci consente di
affermare che il grafico della funzione g x ( ) è simmetrico rispetto al punto F
2( ) 1;0 .
2
dimostrare che il grafico della funzione g x ( ) è simmetrico rispetto al punto F
2( ) 1;0
basta
xcon
2 x−e y con − y e, effettuati tutti i calcoli, ritrovare l’espressione ( 1 )
2x x2( )
y = − x e
−= g x . (
2 1)
2 2( x) (2 x)2y x e − − −
− = − + − ⋅
y = − ⋅ ( x 1 ) e
4 2− x− +4 4x x− 2= − ⋅ ( x 1 ) e
2x x− 2= g x ( )
Due curve sono tangenti in un punto se in tale punto ammettono la stessa tangente.
Poiché entrambi i grafici passano per il punto B ( 0; 1 − ) basta verificare che risulta ( ) 2 1
f ′ x = x − f ′ ( ) 0 =− 1
g x′( )
= −(
2x2+4x− ⋅1)
e2x x− 2g′ ( ) 0 =− 1
1
y= − −x
è l’equazione della tangente comune.
Per calcolare l’area
Sdella regione finita di piano delimitata dalle curve σ γ , basta
calcolare il seguente integrale definito:
( ) ( ) ( )
2 2 22 2 3 2
2 2 2
0 0 0
1 1 1
2 3 2
x x x x x x
S=
∫
g x − f x d x=∫
x− ⋅e − − + +x x d x= − e − − + +x1 8 1 4
2 3 2 2 2 3
S = − − + + − = ∫ (
x− ⋅1)
e2x x− 2d x= −12∫
e2x x− 2d( )
2x x− 2 = −12e2x x− 2La circuitazione del vettore campo magnetico
B, calcolata lungo un percorso C chiuso qualsiasi, è uguale al prodotto della permeabilità magnetica μ
o per la corrente totale icsomma algebrica di tutte le correnti concatenate col percorso.
Per una sola corrente abbiamo:
C (B) = μ ioPer più correnti concatenate abbiamo:
( ) ∑
no 1 2 n o s o c
s = 1
C (B) = μ i + i + + i = μ i = μ i
• Si supponga che nel riferimento
Oxyle lunghezze siano espresse in metri ( m ).
Si considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano
Oxye passanti rispettivamente per i punti
13
2 ;0 P
,
23 2 ;1 P
,
33 1 2 ; 2
P − . I fili
sono percorsi da correnti continue di intensità
i1=2, 0A,
i2e
i3. Il verso di
i1è
indicato in figura mentre gli altri due versi non sono indicati. Stabilire come varia
la circuitazione del campo magnetico, generato dalle correnti
i1,
i2e
i3, lungo il
contorno di
S, a seconda dell’intensità e del verso di
i2e
i3.
Stabilito il verso di percorrenza della linea chiusa su cui si calcola la circuitazione del campo magnetico, la corrente concatenata con la linea è assunta con segno positivo se circola nel verso indicato dal pollice della mano destra quando le altre dita sono avvolte nel verso della linea; in caso contrario è assunta con segno negativo
La circuitazione del campo magnetico lungo il percorso chiuso
ABCDA , con il quale la corrente i che genera il campo non è concatenata, è nulla
E’ concatenata con una linea chiusa ogni corrente che attraversi una qualunque
superficie, anche non piana, avente come contorno la linea considerata
Percorrendo la linea chiusa in senso antiorario, la corrente concatenata
i
1, uscente dal foglio, è positiva; la corrente concatenatai
2, entrante, è negativa.La corrente totale concatenata con la linea è i = i - ic 1 2
Abbiamo: i
2= 2 A ,
13 ;0 P 2
,
23 ;1 P 2
,
33 ; 1
2 2
P − . Stabiliamo quali delle tre corrente risultano concatenate col contorno γ .
3 9 3
2
2 4 4
3 3 1
1 1, 06
2 2 2
g = − ⋅ e
⋅ −= ⋅ ≈ e 3 9 3 1 9 6 4 1 0, 25
2 4 2 4 4
f = − − = − − = − = −
1 0,5 0, 25 1 1, 06− = −2 < − < <
Questo ci consente di affermare che sono concatenate col contorno γ soltanto le correnti i
1e i
2. La corrente i
3, non essendo concatenata col contorno γ , non influisce sul calcolo della circuitazione del vettore
B. C B ( ) = µ
o( 2 A i +
2)
Per stabilire i segni delle tre correnti orientiamo in senso orario il contorno γ . Risulta sicuramente positiva la corrente i
2= 2 A > 0 .
Se i
1ha lo stesso segno di i
2e quindi ha verso uscente abbiamo: C B ( ) = µ
o( 2 A i +
2) > 0
Se i
2ha segno opposto rispetto ad i
1(ha verso entrante) abbiamo: C B ( ) = µ
o( 2 A i +
2) ( ) 0
C B >
⇒ µ
o( 2 A i +
2) > 0 ⇒ i
2>− 2 A
( ) 0
C B <
⇒ µ
o( 2 A i + <
2) 0 ⇒ i
2<− 2 A
Se i
2=− 2 A abbiamo: C B ( ) = µ
o( 2 A − 2 A ) = 0
Se orientiamo il contorno γ in verso antiorario otteniamo risultati opposti.
La rotazione della spira attorno all’asse
xgenera nella spira un flusso del vettore
Bche varia secondo la legge: Φ
S( ) B = ⋅ ⋅ B S cos α = ⋅ ⋅ B S cos ω t avendo supposto che all’istante
t=0il piano della spira coincida col piano
Oxye che α ω
= tè l’angolo formato dal vettore
Bcon la normale al piano della spira. Abbiamo calcolato in precedenza :
4S=3
La variazione nel tempo del flusso del vettore
→Bconcatenato col circuito genera in esso una corrente indotta la cui
f.e.m.vale:
(
cos)
sind B
f d B S t B S t
d t d t
ω ω ω
→ Φ
= − = − =
Il suo valore massimo si ottiene se risulta
sin
ω
t=1f
max= B S ω la relazione i f
= R ci consente di scrivere:
3 3
max max 5 10 0, 2 10 f =i ⋅ = ⋅R − ⋅ = − V
f
max= B S ω ⇒
3 max
2
10 0, 05
1,5 10 4 3
f rad
B S s
ω
−= =
−=
⋅ ⋅
La somma t
2+ è possibile solo se sono fra loro omogenee le grandezze b
2 te
a. Per questo motivo la grandezza
arappresenta un tempo e va misurata in secondi. { } { } a = t = sec
Per determinare l’unità di misura della grandezza k bisogna ricorrere all’analisi dimensionale:
(
2 2)
3B k t r
t a
= ⋅
+
B ( t
2t
2)
3k t r
⋅ +
= ⋅ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
3 2
B t B t
k t L L
⋅ ⋅
= =
⋅
{ } { } { }
{ }
2 2(
sec)
2B t T s telsa ondo
k L m metro
⋅ ⋅ ⋅
= = =
In base all’ipotesi di Maxwell, il campo elettrico variabile nel tempo presente fra le armature del condensatore genera un
campo magnetico indotto. Le linee del campo magnetico sono mostrate nei due casi in cui il campo elettrico, d’intensità crescente, sia diretto
(a) verso l’alto e (b) verso il bassoOgni qual volta in una certa regione di spazio c’è un campo elettrico variabile nel tempo nasce in quella stessa zona di spazio un campo magnetico anch’esso variabile nel tempo.
Maxwell riteneva che una variazione del campo elettrico
Ecreasse una corrente di spostamento i il cui valore era:
s⋅
( )
s o
dΦ E i =ε
d t
La corrente di spostamento
s( )
o⋅ SdΦ (E) i t =ε
d t
produce un effetto magnetico simile a quello generato dal movimento delle cariche elettriche di un conduttore.
Si genera così un campo magnetico indotto variabile.
Le linee del campo magnetico generato dalla corrente di spostamento sono circonferenze concentriche con l’asse di simmetria del condensatore.
I vettori
Ee
Bsono perpendicolari fra loro in ogni punto.
La differenza di potenziale variabile, produce, tra le piastre del condensatore, un campo elettrico variabile il quale , a sua volta, genera un campo magnetico variabile e così di seguito.
La quarta equazione di Maxwell
. .1
( ) ( )
n
S
c o k o
k
d E
C B i
µ ε
d t=
Φ
= + ⋅
∑
, nel caso previsto dal problema
diventa . .
( )
( )
Sc o o
d E
C B
µ ε Φ d t
= ⋅
( )
2
. . 2 2 3
( ) 2 2
c
C B r B k t r
t a π π
= = ⋅
+
e
. .( )
( )
Sc o o
d E
C B
µ ε Φ d t
= ⋅
⇒
( )
2 . .
2 2 3
( ) ( ) 2
S c
o o o o
d E C B k r t
d t t a
π
µ ε µ ε
Φ = = ⋅
+
( )
2
3
0 2 2
( ) 2 t
S
o o
k r t
E d t
t a
π
Φ =
µ ε
⋅∫
+
( ) (
3) (
2 2)
32 12 2 2
2 2 2 2 2
2 2
0
0 0
2 1
( ) 1
2
t
t t
S
o o o o o o
t a
k r k r k r
E t a d t a
t a
π π π
µ ε µ ε µ ε
− +
−
+ −
Φ = ⋅ + + = ⋅ = ⋅
+
−
∫
⋅
2
S 2 2
o o
2kπr 1 1
Φ (E)= - +
μ ε t + a a
( )
2S
E E S π r E
Φ = ⋅ =
⋅
2
S 2 2
o o
2kπr 1 1
Φ (E)= - +
μ ε t + a a
⇒ π r
22 k r
2E π
=
2 21 1
-
o o
t a a
µ ε
⋅ +
+
2 2
2 1 1
-
o o
E k
t a a µ ε
= ⋅ +
+
La differenza di potenziale tra le armature di un condensatore piano si calcola applicando la seguente formula:
∆ =V E d⇒
2 2
2 1 1
-
o o
V k d
a t a
µ ε
∆ = ⋅
+
(
2 2)
3 6 3 2lim lim lim lim lim 1 0
t t t t t
t t t
B k r k r k r k r
t t
t a t
→+∞ = ⋅→+∞ = ⋅→+∞ = ⋅→+∞ = ⋅ →+∞ =
+
2 2
2 1 1 2
lim lim - costante
t t
o o o o
k d k d
V µ ε a t a µ ε a
→+∞ →+∞
∆ = ⋅ = =
+
Se la differenza di potenziale agli estremi del condensatore si mantiene costante il campo elettrico tra le sue armature è costante e non genera nessun campo magnetico. In questa situazione non c’è corrente di spostamento.
Per verificare che la funzione F t = ( )
21
2- 1
t + a a
è la primitiva della funzione ( )
(
2 2)
3f t = - t
t + a
basta dimostrare che F t ′ ( ) ( ) = f t
∀ ∈t.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 3
2 2 2 2 2 2
2 2 3
1 1
2 2
F t D t a t a t t f t
a t a
− −
−
′ = + − = − + ⋅ = =
+
dom F= F=0
⇒
= 0
2 2
1 1
-a t + a
2 2
1 1
t a a
+ = ⇒
21
21
2t a = a
+ a
2= + t
2a
2t=0
0
t=
⇒
F=0 Il grafico della funzioneF
passa per l’origine degli assi cartesiani( ) ( )
2 2 2( )
2
1 1 1 1
- -
F t F t
a t a a
t a
− = = =
− + +
Si tratta di una funzione pari; il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
( ) 0
F t <
∀ ≠t 0Si tratta di una funzione non positiva.
Comportamento della funzione agli estremi del dominio
( )
21
21 1
lim lim -
t
F t
ta a
t a
→+∞ →+∞
= + =−
la retta di equazione
F 1= −a
è l’asintoto orizzontale completo del grafico della funzione
Studio della monotonia della funzione e calcolo di eventuali punti estremanti
( ) ( )
( )
3(
2 2)
322 2
F t f t t t t a
t a
− −
′ = = = − +
+
F t ′ ( ) = 0 ⇒
t=0punto di massimo assoluto
( ) 0 0
F = massimo assoluto O ( ) 0, 0 immagine geometrica del massimo assoluto
+ O 0 _ t
( ) t f ( ) t
F ′ =
Studio della concavità della funzioni e calcolo di eventuali punti di flesso
( ) ( ) (
2 2)
32(
2 2)
32 3(
2 2)
52 2(
2 2)
32 3 2(
2 2)
52F t′′ =f′ t = −D t t +a − = − t +a − −2t t +a − ⋅ t= − t +a − − t t +a −
( ) 0
F t ′′ =
⇒ 2 t
2− = a
20
⇒
2 t= ± a
_ +
O O
t 2
− a
2 a
+ F ′′ ( ) t
2
t= − a
punto di flesso discendente
2t= a
punto di flesso ascendente
2 2
1 1 2 1 2 3
2 3 3
2 F a
a a a a
a a
± = − = − = −
+
ordinata dei due punti di flesso
2 3
2, 3 A a
a
− −
, 2 3
2 3
B a
a
−
immagini geometriche dei due punti di flesso
1 2
2 3 2
: 3 3 3 2
t y x a
a a
−
− = −
22 3 2
2: 3 3 3 2
t y x a
a a
− −
− = + equazioni delle due tangenti
inflessionali
t
( )t F( )t
f = ′
Otteniamo il grafico della funzione f t ( ) = F t ′ ( ) dal grafico della funzione F t ( )
in base alle seguenti considerazioni:• F t funzione pari ( ) ⇒ f t ( ) = F t ′ ( ) funzione dispari
• f t ( ) > 0 ∀ ∈ −∞ t ] , 0 [ in tale intervallo la funzione F t è strettamente crescente ( )
• f t ( ) < 0 ∀ ∈ + ∞ in tale intervallo la funzione t ] 0, [ F t è strettamente decrescente ( )
• F ( ) 0 = è un massimo assoluto per la funzione 0 F t e quindi ( ) f ( ) 0 = F′ ( ) 0 = . Il grafico 0 della funzione f t ( ) = F t ′ ( ) passa per l’origine degli assi cartesiani.
• Gli estremi della funzione f t ( ) = F t ′ ( ) coincidono con i flessi della funzione F t . Questo ci ( )
consente di affermare che
2
t= ± a
sono punti di massimo e di minimo assoluti
•
lim( )
1 costantet F t
→∞ = − =a
⇒
lim( ) ( )
0t f t F t
→∞ = ′ =
⇒
t=0è l’asintoto orizzontale del grafico
della funzione f t ( ) = F t ′ ( )
La funzione f t è la derivata prima di ( ) F t che è una funzione pari; ne deriva che ( ) f t è una ( )
funzione dispari. Inoltre i punti stazionari della funzione f t si trovano in corrispondenza dei ( )
punti di flesso della funzione F t . ( )
L’andamento del grafico della funzione f t ( ) = F t ′ ( ) è il seguente:
Ricordando che il grafico della funzione f t ( ) = F t ′ ( ) è simmetrico rispetto all’origine degli assi cartesiani possiamo scrivere:
( ) ( )
0
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 0 2 0 1
2 3 3
2 2
a
S f t d t F F a
a a a
a a a
−
=
∫
= − = − + + = − = − ( )
2 3 2 2
3 6 3 3
S a a
−
= = −
•
•
• •
A B
N 2
t=− a 2
t= a
t=−a1
(
t2+a2)
( ) t a a t
F 1 1
2
2 −
= +
t
F(t) f(t)
Una data funzione è esprimibile nella forma ( ) ( )
2
f x p x
x d
= + , dove
d∈e p x ( )
è un polinomio. Il grafico di
finterseca l’asse x nei punti di ascisse
0e
12 5ed ha come asintoti le rette di equazione
x=3,
x= −3e
y=5. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione
f.
( ) 0 12 0
f = f 5 = ⇒ ( ) ( ) 12
p x = a x ⋅ x x − 5 con a x polinomio che verifica la relazione ( ) ( )
lim 5
x f x
→∞ =
.
Essendo
x= ±3le equazioni dei due asintoti verticali avremo: x
2+ = − d ( x 3 )( x + = − 3 ) x
29
Questo ci consente di scrivere la funzione proposta nella seguente maniera: ( ) ( )
⋅
2
a x x x - 12 f x = 5
x - 9
( )
lim 5
x f x
→∞ =
⇒
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
12 12
- 5 5
lim lim lim lim lim lim lim 1 lim 5
- 9 9
x x x x x x x x
a x x x x x
f x a x a x x a x a x
x x x
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞
⋅ −
= = ⋅ = ⋅ = ⋅ = =
+
⇒ a x = 5 ( )
La funzione proposta diventa: ( )
2
2 2
5x x -12
5x -12x
f x = 5 =
x - 9 x - 9
{ } 3
dom f = − ±
x= ±3e
y=5gli asintoti del grafico della funzione
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
10 12 9 2 5 12 12 90 108
9 9
x x x x x x x
f x
x x
− − − − − +
′ = =
− −
( ) ( )
( ) ( ( )( ) )
′
2
2 2
2 2
6 2x -15x +18 6 x - 6 2x - 3
f x = =
x - 9 x - 9
x =3
2
punto di massimo relativo 3 2 1
f = massimo relativo 3 ,1
M 2
immagine geometrica del massimo relativo
x
( )
′ f x O
O
O O
+
+
+ +
+
_
_ _
_
∞
−3 2
3
3 6
O
O 2x2− x15 +18
(
x2−9)
2∞
+ +
+ + + +
( ) 9
12 5
2 2
−
= − x
x x x
f
O x
y
M
N x=-3
x=3
y=5
E’ assegnata la funzione ( )
1010 2 1 3 5 7 2017 20191 n
n
g x x
−x x x x x x
=
= ∑ = + + + + + + . Provare che
esiste un solo valore
xo∈tale che risulti g x ( )
o= 0 . Determinare inoltre il valore del seguente limite ( )
lim 1,1
x x
g x
→+∞
.
( ) ( 1
2 4 6 2016 2018)
g x = x + + + + + x x x x + x g x ( ) = 0 ⇒ x ( 1 + + + + + x
2x
4x
6 x
2016+ x
2018) = 0
0
x=
è l’unica soluzione di tale equazione in quanto il polinomio
1 x+ + + + +2 x4 x6 x2016+x2018, essendo somma di quantità positive, non si annulla mai. Quindi esiste un solo valore
xo= ∈0tale che risulti g x ( ) ( )
o= g 0 = 0
Per calcolare il limite Per calcolare bisogna ricordare la seguente proprietà sull’ordine degli infiniti:
Quando
x→+ ∞l’infinito
axè di ordine superiore rispetto all’infinito
xdse
a>1e
d>0L’infinito di un esponenziale (
ax) è di ordine superiore rispetto all’infinito di una potenza (
xd)
per
x→+ ∞g x ( ) = + + + + + x x
3x
5x
7 x
2017+ x
2019 x
2019( )
2019lim lim 0
1,1 1,1
x x x x
g x x
→+∞
=
→+∞=
Possiamo ottenere lo stesso risultato ricorrendo al teorema degli zeri di una funzione
TEOREMA
(di esistenza degli zeri)
N°7:
Se
f x( ) è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [ , ] a b , se risulta
f a( ) ( )
⋅f b < 0,
allora
∃ ∈xo ] , [:a b f x( )
o = 0.
Se
f x( ) è anche strettamente crescente o strettamente decrescente in [ , ] a b abbiamo:
∃*xo∈] , [:a b f x( )
o = 0cioè esiste ed è unico il punto
xointerno all'intervallo [ , ] a b per il quale risulta
f x( )
o = 0.
( ) ( )
g − =− x g x ⇒ g x funzione dispari ed agli estremi del suo dominio assume valori opposti ( )
come si deduce facilmente dalla relazione:
lim( )
x g x
→±∞ = ± ∞
volta.
Possiamo calcolare il limite ( )
lim 1,1
x x
g x
→+∞
, che si presenta nella forma indeterminata
∞∞
, ricordando che la derivata di ordine
n+1di un qualsiasi polinomio di grado n è nulla. Infatti la derivata seconda di un polinomio di primo grado è nulla, la derivata terza di un polinomio di secondo grado è nulla e così di seguito.
Per calcolare ( )
lim 1,1
x x
g x
→+∞
possiamo applicare la regola di De L’Hospital. Ricordando che la derivata di ordine
2 ndel polinomio g x si annulla possiamo scrivere: ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2
lim lim lim lim 0 0
1,1 ln1,1 1,1 ln1,1 1,1 ln1,1 1,1
n
x x x x x x x n x
g x g x g x g x
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
′ ′′
= = = = =
⋅ ⋅ ⋅ ∞
Fra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, con superficie totale di area
S, determinare quello per il quale la somma delle lunghezze degli spigoli è minima.
La somma s di due variabili numeriche positive x ed y, avente prodotto
p = a
2 costante, è minima quando esse assumono valori uguali, cioè:
+
costante x , y , p R xy= =p
∈
⇒
s x= +y è minima perx y =
Sia x il lato del quadrato base del parallelepipedo e
bla sua altezza.
y = 8x + 4b
è la funzione da rendere minima.
Risulta:
S=2x2+4b x4b x S= −2x2>0
essendo x e
bvariabili numeriche positive.
2 2 0
S− x >
⇒
0
6 x S
< <
4b x S= −2x2
⇒ 2
24
S x
b x
= − y = + 8 x 4 2
24 S − x
8 S 2 6 S
x x x
x x
x = + − = + S
y = 6x + x
La variabile
yavente prodotto
6 S 6 costantep x S
= ⋅ =x =
, somma delle due variabili numeriche positive
6xed
Sx
, è minima quando le due variabili assumono valori uguali, cioè quando risulta:
6 S x=x
2
6 x =S
6 x = S
2
2 2
2 6 3 6
4 6
4 4
6 6 6
S S
S S
S x S
b x
x S S S
− ⋅ ⋅
= − = = = = =
⋅ ⋅
Il parallelepipedo richiesto è un cubo.
Possiamo trovare lo stesso risultato utilizzando le derivate.
( ) S
y x = 6x +
x ( )
2 226 S 6 x S
y x x x
′ = − = − y x ′ ( ) = 0 ⇒
6x2− =S 02
6 x = S
6
x = S punto di
minimo assoluto in quanto risulta ( )
32S 0 y x
′′ = x >
0, 6 x S
∀ ∈
La somma delle lunghezze degli spigoli vale:
6 6
6 6
6
S S S
y S S
S
= + = +
6 S
⋅ S 6 6 2 6
6
S S S
= + =
S
e scrivere la sua equazione cartesiana. Verificare che il punto T ( − 10,8, 7 )
appartiene ad
Se determinare l’equazione del piano α tangente in T ( − 10,8, 7 ) ad
S
. 2
PA = PB ⇒
PA2=2PB⇒ (
x−2) (
2+ y−0) (
2+ +z 1)
2=2(
x+2) (
2+ y−2) (
2+ −z 1)
22 2 2 2 2 2
4 4 2 1 2 8 8 2 8 8 2 4 2
x − x+ +y + +z z+ = x + x+ + y − y+ + z − z+
2 2 2
x + y + z +12 x - 8 y - 6 z +13 = 0
Si tratta di una sfera di centro , , ( 6, 4,3 )
2 2 2
a b c
C − − − ≡ −
e raggio
2 2 2
36 16 9 13 48
4 4 4
a b c
r = + + − = d + + − =
r = 4 4Verifichiamo che il punto T ( − 10,8, 7 ) appartiene alla sfera
S. Un punto appartiene ad una superficie quando le sue coordinate verificano l’equazione della superficie.
( − 10 )
2+ + + − 8
27
22 ( 10 ) − ⋅ − ⋅ + = 8 8 6 7 13 0
100 64 49 120 64 42 1300+ + − − − +0=0
⇒
T∈SIl vettore
N=a i+b j c k+ =(
a b c, ,) è un vettore perpendicolare al piano di equazione
0ax by cz d+ + + =
.
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1, 1, 1
P P− = −x x i+ −y y j+ −z z k= −x x y−y z−z
sono le componenti cartesiane del vettore
P P− 1.(
P P− 1)
×N=0e quindi
a x x ( −
1) ( + b y − y
1) ( + c z z −
1) = 0
rappresenta l’equazione del piano passante per il puntoP x y z
1(
1,
1,
1)
e perpendicolare al vettoreN
.
Il vettore
CT T C= − =(
xT C− ,yT C− ,zT C−) (
= −4, 4, 4)
è perpendicolare al piano α passante per il punto
Te tangente alla superficie
S.
( T C − ) (
×P T − ) = 0 è l’equazione vettoriale del piano α con P x y z e T C N ( , , ) − =
( − 4, 4, 4 ) (
×x + 10, y − 8, z − = 7 ) 0
−4(
x+10)
+4(
y− +8)
4(
z− =7)
0x - y - z + 25 = 0
Utilizzando la relazione a x x ( −
T) ( + b y − y
T) ( + c z z −
T) = otteniamo lo stesso risultato di prima, 0 cioè: − 4 ( x + 10 ) ( + 4 y − + 8 ) ( 4 z − = 7 ) 0
x - y - z + 25 = 0Si lanciano
4dadi con facce numerate da
1a
6.
• Qual è la probabilità che la somma dei
4numeri usciti non superi
5?
• Qual è la probabilità che il prodotto dei
4numeri usciti sia multiplo di
3?
• Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia
4?
La probabilità p A
( )
di un evento aleatorioA
coincide col rapporto tra il numero m dei casi favorevoli all’eventoA
ed il numero n dei casi possibili nell’ipotesi che essi siano tutti equiprobabili.In formule abbiamo:
( )
mp A =
n
con
m ≤ n0 p A
≤( )
≤1
′n ,k k
D = n