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, la funzione g x ( ) ammette un massimo ed un minimo assoluti. Determinare i valori di

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Academic year: 2021

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(1)

• Provare che, comunque siano scelti i valori di

a

e

b

in  con

a0

, la funzione g x ( ) ammette un massimo ed un minimo assoluti. Determinare i valori di

a

e

b

in corrispondenza dei quali i grafici delle due funzioni f x ( ) e g x ( ) si intersecano nel punto A ( ) 2,1 .

( )

dom g x = g x ( ) ( ax b e )

2x x2

ax b

x2 2x

e

= + = +

Comportamento della funzione agli estremi del dominio lim ( ) lim

2 2

x x

x x

g x ax b

e

→±∞ →±∞

+ ∞

= =

Per calcolare tale limite applico il teorema di De l’Hospital:

( )

2 2

( )

2 2

lim lim lim 0

2 1

x x x x

x x x

ax b a

g x

e

x e

→±∞ →±∞ →±∞

= + = =

Questo ci consente di affermare che la funzione proposta ( ) ( )

2 2

2

2 x x

x x

g x ax b e ax b

e

= + = + è continua e

finita in  . Il teorema di Weierstrass ci garantisce l’esistenza di un massimo e di un minimo assoluti per la funzione g x ( ) ( = ax b e + )

2 x x 2

.

Per determinare i massimi ed i minimi della funzione occorre calcolare la derivata prima della

funzione ( ) ( )

2 2

2

2 x x

x x

g x ax b e ax b

e

= + = + .

( )

2x x2 2

( )(

1

)

2x x2 2 2 2

( )

2 2x x2

g x′ = ⋅a e + ax b+ x− ⋅e = − ax + a b− + +a b⋅e

( ) 0

g x ′ = ⇒ 2 ax

2

+ 2 ( a b − + + ) a 2 b = Il delta di questa equazione è sempre positivo 0

Questa equazione ammette sempre due radici reali e distinte in quanto il suo delta è sempre positivo essendo la somma di due quadrati.

( )

2 2

(

2

)

3 2 2 2 2 2

( )

2

4 a b a a b a ab b a a b

∆= − + + = + + = + +

(2)

Queste due radici reali sono le ascisse dei punti di massimo e di minimo assoluti come dimostrato in precedenza.

Siano σ γ i rispettivi grafici delle funzioni f x ( ) e g x ( ) . ( ) 2,1

A ∈ σ ⇒ f ( ) 2 = 1

4a− + =2 b 1

( ) 2,1

A ∈ γ ⇒ g ( ) 2 = 1 ( 2 a b e + ⋅ = )

0

1

2a b+ =1

( 2 a b e + ⋅ = )

0

1 Il sistema da risolvere è: 2 1

4 3

a b a b

 + =

 + =

1 2

4 1 2 3

b a

a a

 = −

 + − =

1 2

2 2

b a

a

 = −

 =

1

1 a b

 =

 =− 

• Si assuma. d’ora in avanti, di avere

a=1

e

b= −1

. Studiare le due funzioni così ottenute, verificando che il grafico di g x ( ) ammette un centro di simmetria e che i grafici di f x ( ) e g x ( ) sono tangenti nel punto B ( ) 0;1 . Determinare inoltre l’area della regione piana

S

delimitata dai grafici delle funzioni f x ( ) e g x ( ) .

Posto 1

1 a b

 =

 =−  le funzioni da studiare diventano: f x ( ) = − − x

2

x 1 g x ( ) ( = − x 1 ) e

2x x 2

La funzione f x ( ) = − − x

2

x 1 è una parabola ad asse verticale il cui vertice coincide col punto 1 ; 5

2 4

V    −    . La parabola incontra gli assi cartesiani nel punti B ( ;0, 1 ) ,

1 5 2 ;0 C − 

 

 

 

,

1 5;0 D +2 

 

 

 

.

(3)

( )

dom g x = ( )

( )

2 2 2 2

lim lim lim 0

2 1

x x x x

x

g x

x x

e

x e

→±∞

=

→±∞

=

→±∞

=

0

y=

(asse delle ascisse) è l’asintoto orizzontale della funzione.

0

x=

y= −1

B ( 0; 1 )

y=0

⇒ ( x 1 ) e

2x x 2

= 0

x=1

E ( ) 1;0 ( ) 0

g x > ( g x ( ) < 0 ) se

x>1

(

x<1

)

Monotonia della funzione ed eventuali punti estremanti ( ) (

2 2 4 1

)

2x x2

g x′ = − x + x− ⋅e

g x ( ) = 0 2 x

2

+ 4 x − = 1 0 2 2

x = ± 2

+ x

_

O O g′ ( ) x

2 _

2 2 −

2 2 2 +

1 4 2

2

+ −

x x

2 2 2

2 ; 2

N − − e

immagine geometrica del minimo assoluto

2 2 2 2 ; 2

M + e

 

 

 

immagine geometrica del massimo assoluto Concavità della funzione ed eventuali punti di flesso

( )

2 2

(

3 6 2 3 1

)

2x x2 2

(

1 2

) (

2 4 1

)

2x x2

g′′ x = xx + x+ ⋅e = xxx− ⋅e

( ) 0

g ′′ x = ⇒ 2 ( x 1 2 ) ( x

2

4 x − = 1 ) 0

x=1

2 6

x = ± 2

(4)

2 6

x = − 2 punto di flesso ascendente 2 6

x = + 2 punto di flesso ascendente

1

x=

punto di flesso discendente

Le immagini geometriche dei punti di flesso della funzione g x ( ) sono:

1

2 6 6

2 ; 2

F − − e

F

2

( ) 1;0

3 2 6; 6

2 2

F  + e

 

 

 

I punti M N F F , ,

1

,

3

sono simmetrici rispetto al punto F

2

( ) 1;0 e questo ci consente di

affermare che il grafico della funzione g x ( ) è simmetrico rispetto al punto F

2

( ) 1;0 .

(5)

 2

dimostrare che il grafico della funzione g x ( ) è simmetrico rispetto al punto F

2

( ) 1;0

basta

x

con

2 x

e y con − y e, effettuati tutti i calcoli, ritrovare l’espressione ( 1 )

2x x2

( )

y = − x e

= g x . (

2 1

)

2 2( x) (2 x)2

y x e − − −

− = − + − ⋅

y = − ⋅ ( x 1 ) e

4 2 x− +4 4x x 2

= − ⋅ ( x 1 ) e

2x x 2

= g x ( )

Due curve sono tangenti in un punto se in tale punto ammettono la stessa tangente.

Poiché entrambi i grafici passano per il punto B ( 0; 1 ) basta verificare che risulta ( ) 2 1

fx = xf ′ ( ) 0 =− 1

g x

( )

= −

(

2x2+4x− ⋅1

)

e2x x 2

g′ ( ) 0 =− 1

1

y= − −x

è l’equazione della tangente comune.

Per calcolare l’area

S

della regione finita di piano delimitata dalle curve σ γ , basta

calcolare il seguente integrale definito:

(6)

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 3 2

2 2 2

0 0 0

1 1 1

2 3 2

x x x x x x

S=

g xf x d x=

 x− ⋅e − + +x x d x= − e − + +x

1 8 1 4

2 3 2 2 2 3

S = − − + + −       = (

x− ⋅1

)

e2x x 2d x= −12

e2x x 2d

( )

2x x 2 = −12e2x x 2

(7)

La circuitazione del vettore campo magnetico

B

, calcolata lungo un percorso C chiuso qualsiasi, è uguale al prodotto della permeabilità magnetica μ

o per la corrente totale ic

somma algebrica di tutte le correnti concatenate col percorso.

Per una sola corrente abbiamo:

C (B) =μ io

Per più correnti concatenate abbiamo:

( ) ∑

n

o 1 2 n o s o c

s = 1

C (B) =μ i + i + + i = μ i = μ i

• Si supponga che nel riferimento

Oxy

le lunghezze siano espresse in metri ( m ).

Si considerino tre fili conduttori rettilinei disposti perpendicolarmente al piano

Oxy

e passanti rispettivamente per i punti

1

3

2 ;0 P  

 

  ,

2

3 2 ;1 P  

 

  ,

3

3 1 2 ; 2

P    −    . I fili

sono percorsi da correnti continue di intensità

i1=2, 0A

,

i2

e

i3

. Il verso di

i1

è

indicato in figura mentre gli altri due versi non sono indicati. Stabilire come varia

la circuitazione del campo magnetico, generato dalle correnti

i1

,

i2

e

i3

, lungo il

contorno di

S

, a seconda dell’intensità e del verso di

i2

e

i3

.

(8)

Stabilito il verso di percorrenza della linea chiusa su cui si calcola la circuitazione del campo magnetico, la corrente concatenata con la linea è assunta con segno positivo se circola nel verso indicato dal pollice della mano destra quando le altre dita sono avvolte nel verso della linea; in caso contrario è assunta con segno negativo

La circuitazione del campo magnetico lungo il percorso chiuso

ABCDA , con il quale la corrente i che genera il campo non è concatenata, è nulla

E’ concatenata con una linea chiusa ogni corrente che attraversi una qualunque

superficie, anche non piana, avente come contorno la linea considerata

Percorrendo la linea chiusa in senso antiorario, la corrente concatenata

i

1, uscente dal foglio, è positiva; la corrente concatenata

i

2, entrante, è negativa.

La corrente totale concatenata con la linea è i = i - ic 1 2

Abbiamo: i

2

= 2 A ,

1

3 ;0 P  2 

 

  ,

2

3 ;1 P  2 

 

  ,

3

3 ; 1

2 2

P    −    . Stabiliamo quali delle tre corrente risultano concatenate col contorno γ .

3 9 3

2

2 4 4

3 3 1

1 1, 06

2 2 2

g          = − ⋅    e

⋅ −

= ⋅ ≈ e 3 9 3 1 9 6 4 1 0, 25

2 4 2 4 4

f  = − − =     − − = − = −

1 0,5 0, 25 1 1, 06

− = −2 < − < <

Questo ci consente di affermare che sono concatenate col contorno γ soltanto le correnti i

1

e i

2

. La corrente i

3

, non essendo concatenata col contorno γ , non influisce sul calcolo della circuitazione del vettore

B

. C B ( ) = µ

o

( 2 A i +

2

)

(9)

Per stabilire i segni delle tre correnti orientiamo in senso orario il contorno γ . Risulta sicuramente positiva la corrente i

2

= 2 A > 0 .

Se i

1

ha lo stesso segno di i

2

e quindi ha verso uscente abbiamo: C B ( ) = µ

o

( 2 A i +

2

) > 0

Se i

2

ha segno opposto rispetto ad i

1

(ha verso entrante) abbiamo: C B ( ) = µ

o

( 2 A i +

2

) ( ) 0

C B  >

⇒ µ

o

( 2 A i +

2

) > 0 ⇒ i

2

>− 2 A

( ) 0

C B  <

⇒ µ

o

( 2 A i + <

2

) 0 ⇒ i

2

<− 2 A

Se i

2

=− 2 A abbiamo: C B ( ) = µ

o

( 2 A 2 A ) = 0

Se orientiamo il contorno γ in verso antiorario otteniamo risultati opposti.

(10)

La rotazione della spira attorno all’asse

x

genera nella spira un flusso del vettore

B

che varia secondo la legge: Φ

S

( ) B = ⋅ ⋅ B S cos α = ⋅ ⋅ B S cos ω t avendo supposto che all’istante

t=0

il piano della spira coincida col piano

Oxy

e che α ω

= t

è l’angolo formato dal vettore

B

con la normale al piano della spira. Abbiamo calcolato in precedenza :

4

S=3

La variazione nel tempo del flusso del vettore

B

concatenato col circuito genera in esso una corrente indotta la cui

f.e.m.

vale:

(

cos

)

sin

d B

f d B S t B S t

d t d t

ω ω ω

 → Φ  

= − = − =

Il suo valore massimo si ottiene se risulta

sin

ω

t=1

f

max

= B S ω la relazione i f

= R ci consente di scrivere:

3 3

max max 5 10 0, 2 10 f =i ⋅ = ⋅R ⋅ = V

f

max

= B S ω ⇒

3 max

2

10 0, 05

1,5 10 4 3

f rad

B S s

ω

= =

=

⋅ ⋅

(11)

La somma t

2

+ è possibile solo se sono fra loro omogenee le grandezze b

2 t

e

a

. Per questo motivo la grandezza

a

rappresenta un tempo e va misurata in secondi. { } { } a = t = sec

Per determinare l’unità di misura della grandezza k bisogna ricorrere all’analisi dimensionale:

(

2 2

)

3

B k t r

t a

= ⋅

+

B ( t

2

t

2

)

3

k t r

⋅ +

= ⋅ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

3 2

B t B t

k t L L

   

⋅  ⋅ 

= =

(12)

{ } { } { }

{ }

2 2

(

sec

)

2

B t T s telsa ondo

k L m metro

⋅ ⋅ ⋅

= = =

In base all’ipotesi di Maxwell, il campo elettrico variabile nel tempo presente fra le armature del condensatore genera un

campo magnetico indotto

. Le linee del campo magnetico sono mostrate nei due casi in cui il campo elettrico, d’intensità crescente, sia diretto

(a) verso l’alto e (b) verso il basso

Ogni qual volta in una certa regione di spazio c’è un campo elettrico variabile nel tempo nasce in quella stessa zona di spazio un campo magnetico anch’esso variabile nel tempo.

Maxwell riteneva che una variazione del campo elettrico

E

creasse una corrente di spostamento i il cui valore era:

s

( )

s o

dΦ E i =ε

d t

La corrente di spostamento

s

( )

o S

dΦ (E) i t =ε

d t

produce un effetto magnetico simile a quello generato dal movimento delle cariche elettriche di un conduttore.

Si genera così un campo magnetico indotto variabile.

Le linee del campo magnetico generato dalla corrente di spostamento sono circonferenze concentriche con l’asse di simmetria del condensatore.

I vettori

E

e

B

sono perpendicolari fra loro in ogni punto.

(13)

La differenza di potenziale variabile, produce, tra le piastre del condensatore, un campo elettrico variabile il quale , a sua volta, genera un campo magnetico variabile e così di seguito.

La quarta equazione di Maxwell

. .

1

( ) ( )

n

S

c o k o

k

d E

C B i

µ ε

d t

=

 Φ 

=  + ⋅ 

 

, nel caso previsto dal problema

diventa . .

( )

( )

S

c o o

d E

C B

µ ε Φ d t

= ⋅

 

( )

2

. . 2 2 3

( ) 2 2

c

C B r B k t r

t a π π

= = ⋅

+

 e

. .

( )

( )

S

c o o

d E

C B

µ ε Φ d t

= ⋅

 

( )

2 . .

2 2 3

( ) ( ) 2

S c

o o o o

d E C B k r t

d t t a

π

µ ε µ ε

Φ = = ⋅

+

 

( )

2

3

0 2 2

( ) 2 t

S

o o

k r t

E d t

t a

π

Φ =

µ ε

+

( ) (

3

) (

2 2

)

32 1

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

0

0 0

2 1

( ) 1

2

t

t t

S

o o o o o o

t a

k r k r k r

E t a d t a

t a

π π π

µ ε µ ε µ ε

− +

 

 

 +  −

Φ = ⋅ + + = ⋅  = ⋅ 

+

 

 −   

 

2

S 2 2

o o

2kπr 1 1

Φ (E)= - +

μ ε t + a a

(14)

( )

2

S

E E S π r E

Φ  = ⋅ =

2

S 2 2

o o

2kπr 1 1

Φ (E)= - +

μ ε t + a a

⇒ π r

2

2 k r

2

E π

=

2 2

1 1

-

o o

t a a

µ ε

 

 

⋅ +

 + 

 

2 2

2 1 1

-

o o

E k

t a a µ ε

 

 

= ⋅ +

 + 

 

La differenza di potenziale tra le armature di un condensatore piano si calcola applicando la seguente formula:

∆ =V E d

2 2

2 1 1

-

o o

V k d

a t a

µ ε

 

 

∆ = ⋅

 + 

 

(

2 2

)

3 6 3 2

lim lim lim lim lim 1 0

t t t t t

t t t

B k r k r k r k r

t t

t a t

→+∞ = ⋅→+∞ = ⋅→+∞ = ⋅→+∞ = ⋅ →+∞ =

+

2 2

2 1 1 2

lim lim - costante

t t

o o o o

k d k d

V µ ε a t a µ ε a

→+∞ →+∞

 

 

∆ = ⋅ = =

 + 

 

Se la differenza di potenziale agli estremi del condensatore si mantiene costante il campo elettrico tra le sue armature è costante e non genera nessun campo magnetico. In questa situazione non c’è corrente di spostamento.

Per verificare che la funzione F t = ( )

2

1

2

- 1

t + a a

è la primitiva della funzione ( )

(

2 2

)

3

f t = - t

t + a

basta dimostrare che F t ( ) ( ) = f t

∀ ∈t

.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 3

2 2 2 2 2 2

2 2 3

1 1

2 2

F t D t a t a t t f t

a t a

  −

′ =  + −  = − + ⋅ = =

  +

(15)

dom F=  F=0

= 0

2 2

1 1

-a t + a

2 2

1 1

t a a

+ = ⇒

2

1

2

1

2

t a = a

+ a

2

= + t

2

a

2

t=0

0

t=

F=0 Il grafico della funzione

F

passa per l’origine degli assi cartesiani

( ) ( )

2 2 2

( )

2

1 1 1 1

- -

F t F t

a t a a

t a

− = = =

− + +

Si tratta di una funzione pari; il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

( ) 0

F t <

∀ ≠t 0

Si tratta di una funzione non positiva.

Comportamento della funzione agli estremi del dominio

( )

2

1

2

1 1

lim lim -

t

F t

t

a a

t a

→+∞ →+∞

 

 

=   +   =−

la retta di equazione

F 1

= −a

è l’asintoto orizzontale completo del grafico della funzione

Studio della monotonia della funzione e calcolo di eventuali punti estremanti

( ) ( )

( )

3

(

2 2

)

32

2 2

F t f t t t t a

t a

′ = = = − +

+

F t ( ) = 0

t=0

punto di massimo assoluto

( ) 0 0

F = massimo assoluto O ( ) 0, 0 immagine geometrica del massimo assoluto

+ O 0 _ t

( ) t f ( ) t

F ′ =

Studio della concavità della funzioni e calcolo di eventuali punti di flesso

( ) ( ) (

2 2

)

32

(

2 2

)

32 3

(

2 2

)

52 2

(

2 2

)

32 3 2

(

2 2

)

52

F t′′ =ft = −D t t +a = − t +a −2t t +a t= − t +a t t +a 

     

( ) 0

F t ′′ =

⇒ 2 t

2

− = a

2

0

2 t= ± a

(16)

_ +

O O

t 2

a

2 a

+ F ′′ ( ) t

2

t= − a

punto di flesso discendente

2

t= a

punto di flesso ascendente

2 2

1 1 2 1 2 3

2 3 3

2 F a

a a a a

a a

 ±  = − = − = −

 

 

+

ordinata dei due punti di flesso

2 3

2, 3 A a

a

− − 

 

 

 

, 2 3

2 3

B a

a

 − 

 

 

 

immagini geometriche dei due punti di flesso

1 2

2 3 2

: 3 3 3 2

t y x a

a a

−  

− =   −  

2

2 3 2

2

: 3 3 3 2

t y x a

a a

− −  

− =   +   equazioni delle due tangenti

inflessionali

(17)

t

( )t F( )t

f =

Otteniamo il grafico della funzione f t ( ) = F t ( ) dal grafico della funzione F t ( )

in base alle seguenti considerazioni:

F t funzione pari ( ) ⇒ f t ( ) = F t ( ) funzione dispari

f t ( ) > 0 ∀ ∈ −∞ t ] , 0 [ in tale intervallo la funzione F t è strettamente crescente ( )

f t ( ) < 0 ∀ ∈ + ∞ in tale intervallo la funzione t ] 0, [ F t è strettamente decrescente ( )

F ( ) 0 = è un massimo assoluto per la funzione 0 F t e quindi ( ) f ( ) 0 = F′ ( ) 0 = . Il grafico 0 della funzione f t ( ) = F t ( ) passa per l’origine degli assi cartesiani.

• Gli estremi della funzione f t ( ) = F t ( ) coincidono con i flessi della funzione F t . Questo ci ( )

consente di affermare che

2

t= ± a

sono punti di massimo e di minimo assoluti

lim

( )

1 costante

t F t

→∞ = − =a

lim

( ) ( )

0

t f t F t

→∞ = ′ =

t=0

è l’asintoto orizzontale del grafico

della funzione f t ( ) = F t ( )

(18)

La funzione f t è la derivata prima di ( ) F t che è una funzione pari; ne deriva che ( ) f t è una ( )

funzione dispari. Inoltre i punti stazionari della funzione f t si trovano in corrispondenza dei ( )

punti di flesso della funzione F t . ( )

L’andamento del grafico della funzione f t ( ) = F t ( ) è il seguente:

Ricordando che il grafico della funzione f t ( ) = F t ( ) è simmetrico rispetto all’origine degli assi cartesiani possiamo scrivere:

( ) ( )

0

2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 0 2 0 1

2 3 3

2 2

a

S f t d t F F a

a a a

a a a

 

 

=

= −  = − + + = − =  − 

( )

2 3 2 2

3 6 3 3

S a a

 − 

=  = −

(19)

• •

A B

N 2

t= a 2

t= a

t=a1

(

t2+a2

)

( ) t a a t

F 1 1

2

2

= +

t

F(t) f(t)

(20)

Una data funzione è esprimibile nella forma ( ) ( )

2

f x p x

x d

= + , dove

d∈

e p x ( )

è un polinomio. Il grafico di

f

interseca l’asse x nei punti di ascisse

0

e

12 5

ed ha come asintoti le rette di equazione

x=3

,

x= −3

e

y=5

. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione

f

.

( ) 0 12 0

f = f    5    = ⇒ ( ) ( ) 12

p x = a xx x    − 5    con a x polinomio che verifica la relazione ( ) ( )

lim 5

x f x

→∞ =

.

Essendo

x= ±3

le equazioni dei due asintoti verticali avremo: x

2

+ = − d ( x 3 )( x + = − 3 ) x

2

9

Questo ci consente di scrivere la funzione proposta nella seguente maniera: ( ) ( )

⋅ 

 

2

a x x x - 12 f x = 5

x - 9

( )

lim 5

x f x

→∞ =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2 2 2

12 12

- 5 5

lim lim lim lim lim lim lim 1 lim 5

- 9 9

x x x x x x x x

a x x x x x

f x a x a x x a x a x

x x x

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞

 

⋅     −

= = ⋅ = ⋅ = ⋅ = =

+

a x = 5 ( )

La funzione proposta diventa: ( )

 

 

  2

2 2

5x x -12

5x -12x

f x = 5 =

x - 9 x - 9

{ } 3

dom f = − ± 

x= ±3

e

y=5

gli asintoti del grafico della funzione

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2

10 12 9 2 5 12 12 90 108

9 9

x x x x x x x

f x

x x

− − − − − +

′ = =

− −

( ) ( )

( ) ( ( )( ) )

2

2 2

2 2

6 2x -15x +18 6 x - 6 2x - 3

f x = =

x - 9 x - 9

(21)

x =3

2

punto di massimo relativo 3 2 1

f  =     massimo relativo 3 ,1

M  2 

 

  immagine geometrica del massimo relativo

x

( )

f x O

O

O O

+

+

+ +

+

_

_ _

_

−3 2

3

3 6

O

O 2x2− x15 +18

(

x29

)

2

+ +

+ + + +

( ) 9

12 5

2 2

= − x

x x x

f

O x

y

M

N x=-3

x=3

y=5

(22)

E’ assegnata la funzione ( )

1010 2 1 3 5 7 2017 2019

1 n

n

g x x

x x x x x x

=

= ∑ = + + + + + + . Provare che

esiste un solo valore

xo∈

tale che risulti g x ( )

o

= 0 . Determinare inoltre il valore del seguente limite ( )

lim 1,1

x x

g x

→+∞

.

( ) ( 1

2 4 6 2016 2018

)

g x = x + + + + + x x xx + x g x ( ) = 0 x ( 1 + + + + + x

2

x

4

x

6

x

2016

+ x

2018

) = 0

0

x=

è l’unica soluzione di tale equazione in quanto il polinomio

1 x+ + + + +2 x4 x6x2016+x2018

, essendo somma di quantità positive, non si annulla mai. Quindi esiste un solo valore

xo= ∈0

tale che risulti g x ( ) ( )

o

= g 0 = 0

Per calcolare il limite Per calcolare bisogna ricordare la seguente proprietà sull’ordine degli infiniti:

Quando

x→+ ∞

l’infinito

ax

è di ordine superiore rispetto all’infinito

xd

se

a>1

e

d>0

L’infinito di un esponenziale (

ax

) è di ordine superiore rispetto all’infinito di una potenza (

xd

)

per

x→+ ∞

g x ( ) = + + + + + x x

3

x

5

x

7

x

2017

+ x

2019

x

2019

( )

2019

lim lim 0

1,1 1,1

x x x x

g x x

→+∞

=

→+∞

=

Possiamo ottenere lo stesso risultato ricorrendo al teorema degli zeri di una funzione

TEOREMA

(di esistenza degli zeri)

N°7

:

Se

f x

( ) è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [ , ] a b , se risulta

f a

( ) ( )

f b < 0

,

allora

∃ ∈xo ] , [:a b f x

( )

o = 0

.

Se

f x

( ) è anche strettamente crescente o strettamente decrescente in [ , ] a b abbiamo:

*xo] , [:a b f x

( )

o = 0

cioè esiste ed è unico il punto

xo

interno all'intervallo [ , ] a b per il quale risulta

f x

( )

o = 0

.

( ) ( )

g − =− x g xg x funzione dispari ed agli estremi del suo dominio assume valori opposti ( )

come si deduce facilmente dalla relazione:

lim

( )

x g x

→±∞ = ± ∞

(23)

volta.

Possiamo calcolare il limite ( )

lim 1,1

x x

g x

→+∞

, che si presenta nella forma indeterminata

, ricordando che la derivata di ordine

n+1

di un qualsiasi polinomio di grado n è nulla. Infatti la derivata seconda di un polinomio di primo grado è nulla, la derivata terza di un polinomio di secondo grado è nulla e così di seguito.

Per calcolare ( )

lim 1,1

x x

g x

→+∞

possiamo applicare la regola di De L’Hospital. Ricordando che la derivata di ordine

2 n

del polinomio g x si annulla possiamo scrivere: ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2 2

lim lim lim lim 0 0

1,1 ln1,1 1,1 ln1,1 1,1 ln1,1 1,1

n

x x x x x x x n x

g x g x g x g x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

′ ′′

= = = = =

⋅ ⋅  ⋅ ∞

Fra tutti i parallelepipedi rettangoli a base quadrata, con superficie totale di area

S

, determinare quello per il quale la somma delle lunghezze degli spigoli è minima.

La somma s di due variabili numeriche positive x ed y, avente prodotto

p = a

2 costante, è minima quando esse assumono valori uguali

, cioè:

+

costante x , y , p R xy= =p

∈ 

s x= +y è minima per

x y =

Sia x il lato del quadrato base del parallelepipedo e

b

la sua altezza.

y = 8x + 4b

è la funzione da rendere minima.

Risulta:

S=2x2+4b x

4b x S= −2x2>0

essendo x e

b

variabili numeriche positive.

(24)

2 2 0

Sx >

0

6 x S

< <

4b x S= −2x2

⇒ 2

2

4

S x

b x

= − y = + 8 x 4 2

2

4 Sx

8 S 2 6 S

x x x

x x

x = + − = + S

y = 6x + x

La variabile

y

avente prodotto

6 S 6 costante

p x S

= ⋅ =x =

, somma delle due variabili numeriche positive

6x

ed

S

x

, è minima quando le due variabili assumono valori uguali, cioè quando risulta:

6 S x=x

2

6 x =S

6 x = S

2

2 2

2 6 3 6

4 6

4 4

6 6 6

S S

S S

S x S

b x

x S S S

− ⋅ ⋅

= − = = = = =

⋅ ⋅

Il parallelepipedo richiesto è un cubo.

Possiamo trovare lo stesso risultato utilizzando le derivate.

( ) S

y x = 6x +

x ( )

2 22

6 S 6 x S

y x x x

′ = − = − y x ( ) = 0

6x2− =S 0

2

6 x = S

6

x = S punto di

minimo assoluto in quanto risulta ( )

3

2S 0 y x

′′ = x >

0, 6 xS

∀ ∈ 

 

La somma delle lunghezze degli spigoli vale:

6 6

6 6

6

S S S

y S S

S

 

= + = +

 

 

 

6 S

S 6 6 2 6

6

S S S

= + =

(25)

S

e scrivere la sua equazione cartesiana. Verificare che il punto T ( 10,8, 7 )

appartiene ad

S

e determinare l’equazione del piano α tangente in T ( 10,8, 7 ) ad

S

. 2

PA = PB

PA2=2PB

⇒ (

x2

) (

2+ y0

) (

2+ +z 1

)

2=2

(

x+2

) (

2+ y2

) (

2+ −z 1

)

2

2 2 2 2 2 2

4 4 2 1 2 8 8 2 8 8 2 4 2

xx+ +y + +z z+ = x + x+ + yy+ + zz+

2 2 2

x + y + z +12 x - 8 y - 6 z +13 = 0

Si tratta di una sfera di centro , , ( 6, 4,3 )

2 2 2

a b c

C   − − −   ≡ −

 

e raggio

2 2 2

36 16 9 13 48

4 4 4

a b c

r = + + − = d + + − =

r = 4 4

Verifichiamo che il punto T ( 10,8, 7 ) appartiene alla sfera

S

. Un punto appartiene ad una superficie quando le sue coordinate verificano l’equazione della superficie.

( − 10 )

2

+ + + − 8

2

7

2

2 ( 10 ) − ⋅ − ⋅ + = 8 8 6 7 13 0

100 64 49 120 64 42 1300+ + − − − +

0=0

TS

Il vettore

N=a i+b j c k+ =

(

a b c, ,

) è un vettore perpendicolare al piano di equazione

0

ax by cz d+ + + =

.

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1, 1, 1

P P− = −x x i+ −y yj+ −z z k= −x x yy zz

sono le componenti cartesiane del vettore

P P1.

(

P P1

)

×N=0

e quindi

a x x ( −

1

) ( + b yy

1

) ( + c z z

1

) = 0

rappresenta l’equazione del piano passante per il punto

P x y z

1

(

1

,

1

,

1

)

e perpendicolare al vettore

N

.

Il vettore

CT T C= − =

(

xT C ,yT C ,zT C

) (

= −4, 4, 4

)

è perpendicolare al piano α passante per il punto

T

e tangente alla superficie

S

.

(26)

( T C ) (

×

P T ) = 0 è l’equazione vettoriale del piano α con P x y z e T C N ( , , ) − = 

( 4, 4, 4 ) (

×

x + 10, y 8, z − = 7 ) 0

4

(

x+10

)

+4

(

y− +8

)

4

(

z− =7

)

0

x - y - z + 25 = 0

Utilizzando la relazione a x x ( −

T

) ( + b yy

T

) ( + c z z

T

) = otteniamo lo stesso risultato di prima, 0 cioè: 4 ( x + 10 ) ( + 4 y − + 8 ) ( 4 z − = 7 ) 0

x - y - z + 25 = 0

Si lanciano

4

dadi con facce numerate da

1

a

6

.

• Qual è la probabilità che la somma dei

4

numeri usciti non superi

5

?

• Qual è la probabilità che il prodotto dei

4

numeri usciti sia multiplo di

3

?

Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia

4

?

La probabilità p A

( )

di un evento aleatorio

A

coincide col rapporto tra il numero m dei casi favorevoli all’evento

A

ed il numero n dei casi possibili nell’ipotesi che essi siano tutti equiprobabili.

In formule abbiamo:

( )

m

p A =

n

con

mn

0 p A

( )

1

n ,k k

D = n

= disposizioni con ripetizione di n

elementi di classe k.

• Qual è la probabilità che la somma dei

4

numeri usciti non superi

5

?

Il numero dei casi possibili nel lancio dei

4

dadi con le facce numerate da

1

a

6

è uguale al numero delle disposizioni con ripetizione di

6

elementi di classe

4

:

n= =64 1296

I

casi favorevoli

sono

5

, precisamente quando i lanci danno i seguenti risultati:

d

1

d

2

d

3

d

4

d

1

+ d

2

+ + d

3

d

4

1 1 1 1 4

2 1 1 1 5

1 2 2 1 5

1 1 2 1 5

1 1 1 2 5

Riferimenti