Problema Studio del moto di una palla che rimbalza

Problema

Studio del moto di una palla che rimbalza

Analisi di alcuni aspetti della fisica nascosti nel rimbalzo di una palla

Sonar fisso alla parete con cui si misura la distanza dalla palla

• costruiamo una tabella con i dati raccolti

• una misura ogni 0.04 secondi

• trasferiamo la tabella su un foglio EXCEL (per fare l’esercizio, aprire il file palla.xls)

• nella cella G2 si trova la massa della palla espressa in kg

t(s) s(m)

0.04 0.4157 0.08 0.4161 0.12 0.4160 0.16 0.4159 0.20 0.4175 0.24 0.4178 0.28 0.4179 0.32 0.4175 0.36 0.4176 0.40 0.4171 0.44 0.4160 0.48 0.4161 0.52 0.4238 0.56 0.4756 0.60 0.5434

• Rappresentiamo su un grafico i dati raccolti:

– selezione grafico

– dispersione (no linee congiungenti i punti)

distanza tra la palla e il sonar

0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

tempo (s)

distanza (m)

Per capire meglio il grafico operiamo una trasformazione rappresentando la distanza tra la palla e il pavimento:

1 – calcoliamo la distanza massima tra il sonar e la palla:

funzione MAX( )

2 – sottraiamo dal massimo così ottenuto la distanza tra sonar e palla

3 – otteniamo così la distanza dal pavimento d

N.B.: ricordate di inserire il simbolo “$” tra la lettera ed il numero che caratterizza la cella per mantenere fisso il valore durante i calcoli.

distanza tra la palla e il sonar distanza tra la palla e il pavimento

0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

tempo (s)

distanza (m)

Rappresentiamo su un grafico il risultato:

distanza tra la palla e il sonar distanza tra la palla e il pavimento

0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

tempo (s)

distanza (m)

Dati iniziali: posizione della palla rispetto al pavimento Obiettivo: studio dell’energia meccanica della palla

• quanto vale l’energia meccanica della palla?

• si conserva?

• se non si conserva, come cambia?

• perchè?

qualche richiamo di fisica sull’energia meccanica

Una palla che rimbalza è soggetta solo alla forza di gravità sulla superficie terrestre.

La sua energia meccanica totale è :

E

= E

+ E

dove E

= 1/2 m v

è l’energia cinetica della palla

(energia legata al movimento della palla, alla sua velocità) e E

= mgd è l’energia potenziale della palla

(energia legata alla posizione della palla nel campo di gravità della terra)

v = velocità(m/s), m = massa (kg), d = distanza dal pavimento (m),

g = accelerazione di gravità = 9.81 m/s

studio dell’energia meccanica

• Calcoliamo l’energia cinetica e l’energia potenziale : 1. Energia cinetica: E_cin = 1/2 m v²

calcoliamo la velocità media della palla

v = s/t

v_i = [d(t_i+1) – d(t_i-1)]/(0.08)

2. Energia potenziale: E_pot = m g d

• Rappresentiamola in un grafico in funzione del tempo:

A che cosa corrispondono i “pianerottoli” ?

sovrapponiamo al grafico dell’energia quello della posizione

rimbalzo 1 rimbalzo 2 rimbalzo 3 rimbalzo 4

Tenendo conto degli errori sperimentali l’energia totale in un rimbalzo si conserva ma diminuisce tra un rimbalzo e l’altro

Dopo ogni rimbalzo l’energia totale diminuisce, ma tra un rimbalzo e l’altro la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale resta costante

Si vede chiaramente che nell’istante del rimbalzo tutta l’energia della palla è energia cinetica  il modulo della velocità è massimo.

Per calcolare come diminuisce l’energia meccanica possiamo considerare come cambia l’altezza massima raggiunta in ciascun rimbalzo.

Nel punto di massima altezza, l’energia cinetica = 0 (la velocità è nulla), quindi:

E_TOT = E_POT = mgd nel punto di massima altezza l’energia meccanica tra 2 rimbalzi diminuisce della stessa percentuale di cui diminuisce l’altezza massima 1. individuiamo i massimi di ciascun rimbalzo e costruiamo una tabella

2. riportiamo in un grafico l’altezza massima in funzione del numero del rimbalzo 3. cerchiamo quale linea di tendenza si adatta meglio a questi punti e chiediamo al

programma di scrivere l’equazione sul grafico

n. rimbalzo altezza max (m)

0 1,4

1 1,1

2 0,8

3 0,6

4 0,5

Come diminuisce l’energia meccanica da un rimbalzo all’altro?

• la funzione esponenziale descrive bene la diminuzione dell’altezza dei rimbalzi.

• la funzione y = 1.40 e^-0.27x fornisce alcune informazioni quantitative:

• dopo ogni rimbalzo l’altezza massima del rimbalzo è e ^-0.27 ≈ 0.76 volte quella precedente

• l’altezza iniziale è 1.40 m

• poiché :

energia meccanica totale nel punto di max altezza = energia potenziale E _TOT = E_POT = m g d  se d diminuisce ≈ 24 % ad ogni rimbalzo,

anche l’energia potenziale e, quindi, l’energia totale diminuiscono della stessa percentuale

Verifica: durante il rimbalzo 0 (t₁= 0.64 s) E_TOT = 4.54 J durante il rimbalzo 1 (t₂ = 1.52 s) E_TOT = 3.32 J

E = [E(t ) –E(t )]/E(t ) *100 ≈ 26 % che considerando gli errori associati alle

Studiamo il moto della palla attraverso la sua velocità:

• facciamo il grafico della velocità:

• il risultato sono una serie di rette parallele

• la pendenza delle rette rappresenta…..

l’accelerazione della palla = accelerazione di gravità

• rette parallele  accelerazione costante

• grande cambiamento di velocità al momento del rimbalzo

• perchè le rette non partono tutte dallo stesso livello?

ad ogni rimbalzo la velocità diminuisce leggermente perché si perde un po’ di energia meccanica

• l’intersezione con l’asse x corrisponde alla velocità nulla, cioè alla pallina nel punto più alto.

• possiamo calcolare la forza impressa dal pavimento ad ogni rimbalzo?

Ricordare che: F = m a (a = accelerazione ); a = v/t

|a| = |(-4.62 -4.18)/(0.96-0.88)| ~ 110 m/s²  F ~ 110· 0.313= 34.4 N  forza media

v (m/s)

-6.0000 -5.0000 -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

t (s)

velocità (m/s)