Moto che accelera
Figure 1:
Un motociclista parte con la sua motocicletta su una strada rettilinea e pianeggiante con una accelerazione di modulo a. Si consideri la motoci- cletta, tranne le ruote, e il motociclista come un unico corpo rigido di massa M e centro di massa nel punto G posto ad una altezza h dal suolo. La verticale passante per G divide il segmento che congiunge i centri delle due ruote, lungo L, in due parti di cui quella anteriore `e doppia di quella poste- riore. Le due ruote hanno ugual raggio r e massa m concentrata sul bordo (quest’ultima approssimazione non `e del tutto giustificata per moto di grossa cilindrata nelle quali la ruota posteriore `e pi`u spessa di quella anteriore).
Si determini:
1. il momento delle forze K che il motore esercita sulla ruota posteriore rispetto all’asse di tale ruota;
2. le forze verticali ed orizzontali di reazione che la strada esercita sulle due ruote;
3. l’accelerazione massima, ed il corrispondente momento motore, alla quale la motocicletta si impenna.
Dati numerici: a = 5m/s2(0-100 km/h in 5.6 sec), M = 246kg, m = 2kg, h = 75cm, L = 130cm, r = 30cm
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Soluzione Domanda 1
Siano ~S e ~R le forze applicate dalla strada sulle ruote posteriore ed anteriore, rispettivamente. La prima equazione cardinale si scrive:
S + ~~ R + (M + 2m)~g = (M + 2m)~a
Proiettando su una terna cartesiana con asse x orizzontale e positivo verso destra, asse z verticale e positivo verso l’alto, asse y perpendicolare al foglio, con verso positivo entrante si ha:
Sz+ Rz− (M + 2m)g = 0
Sx+ Rx = (M + 2m)a (1)
Le componenti lungo x delle reazioni ~S e ~R corrispondono alle forze di attrito fra le due ruote e la strada. Queste sono responsabili, insieme al momento K esercitato dal motore, della rotazione delle ruote. Si pu`o quindi scrivere la seconda equazione cardinale rispetto ai centri delle ruote, proiettando lungo l’asse y:
K − rSx= Iα = mra
−rRx= Iα = mra (2)
dove abbiamo usato lo stesso valore di I = mr2 e di α per le due ruote, secondo le ipotesi del problema, e posto α = a/r in quanto le ruote non scivolano.
Il momento K si ottiene dal sistema 2 combinato con la seconda equazione del sistema 1:
K = (M + 4m)ra = 381N m (3)
(quale ´e la tensione sulla catena per un raggio della corona di 10cm?).
Domanda 2
Le componenti orizzontali (=forza di attrito) delle reazioni della strada sulle due ruote, si ricavano dalla seconda equazione del sistema 1 e 2:
Rx= −Iα/r = −ma = −10N
Sx = K − Iα/r = (M + 3m)a = 1240N (4) Notare la differenza, sia in segno che in valore assoluto, delle due forze di attrito in fase di accelerazione!
Per ricavare le reazioni normali Sz e Rz `e necessaria una equazione ag- giuntiva che si ottiene applicando la seconda equazione cardinale al sistema motocicletta+ruote. Rispetto al polo G, l’unico contributo al momento delle forze ~τ `e quello delle due ruote, per cui la sua componente y `e data da:
τy = −1
3Lmg+L
3Sz−hSx+2
3Lmg−2L
3 Rz−hRx = L
3(Sz−2Rz)−h(M +2ma)+L 3mg (5) 2
Il momento della quantit`a di moto ~Q rispetto allo stesso polo G `e dato dal momento della velocit`a lineare v di ogni ruota pi`u il contributo della rotazione intorno all’asse con velocit`a angolare w = v/r:
Qy = 2(−m(h − r)v + Iω) = 2(mr2v
r − m(h − r)v) = 2mv(2r − h) (6) Applicando la seconda equazione cardinale ~τ = Q, valida per il centro di~˙ massa G anche se questi `e un polo mobile, si ricava:
L
3(Sz− 2Rz) − h(M + 2ma) +L
3mg = 2ma(2r − h) (7) Combinando con la prima di 1, e sostituendo i valori di Rx e Sx trovati in precedenza:
Sz= (23M + m)g + hM +4rmL a = 2347N
Rz = (13M + m)g − hM +4rmL a = 105N (8) Domanda 3
La moto si impenna al valore limite RZ = 0, corrispondente ad una accelerazione:
amax= 1 3
L(M + 3m)
hM + 4rm g = 5.73m/s2 (9)
Nella approssimazione m << M : amax ' L
3hg = 5.66m/s2 (10)
che coincide entro l’1% con il valore vero. Una moto da corsa pu`o raggiungere accelerazioni di 8m/s2 (0-100 km/h in 4sec); in gara, si osserva spesso la ruota anteriore sollevarsi in fase di accelerazione dopo una curva.
Il corrispondente momento motore vale:
Kmax = (M + 4m)ramax = 429N m (11)
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