20/01/2010 1)

Prova scritta di Analisi Matematica II V.O.

20/01/2010

1) Enunciare il Teorema di Stokes. Utilizzandolo calcolare

∫

Σ +B

ds t

F ,

^dove

k z

j

e

+ Σ x

i y

F = −

³

+

³

−

³

B

è il bordo della porzione di piano 2x+2y+z=3 intersecata con il cilindro x² + y² = 1, orientata in senso positivo.

2) Data la forma differenziale

ω = ( y − x ) dx + ( 1 + x ) dy

a) dire se è esatta nel suo insieme di definizione,

b) calcolarne l’integrale lungo la curva

0 . 3

cos

: 3 π

γ ≤ ≤

⎩ ⎨

⎧

=

= t

sent y

t x

3) Si consideri il seguente problema di Cauchy:

⎩ ⎨

⎧

=

′ =

0 ) 0 (

2 y

y x y

Si dimostri che è verificato il teorema di Peano ma non quello di Cauchy. Trovare le Soluzioni.

4) Condizioni sufficienti per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Calcolare i massimi e minimi relativi di

f ( x , y ) = ( y − x

²

+ 1 )( y − 3 x

²

)

5) Definizione di derivate parziali di una funzione di due variabili. Verificare che f(x,y)= x² +y² non ammette derivate parziali in (0,0).

Prova scritta di Analisi Matematica II V.O.

5/02/2010

1) Enunciare e dimostrare la prima formula di Green-Gauss. Verificarla ( svolgere sia l’integrale doppio che il curvilineo) per

∫

dove

D

∂ +

−

D

dy y

x

²

( 1 ) + ∂

è la frontiera del

dominio

^{D : =} { ( ) ^{x , y ∈ ℜ}

²

^{: 0 ≤ y ≤ 1 − x}

²

^{, − 1 ≤ x ≤ 0} }

2) Enunciare e dimostrare il teorema sull’integrale generale di un’equazione lineare non- omogenea di grado n. Calcolarlo per l’equazione y’’’-2y’’+y’=(x+1)².

3) Condizioni sufficienti per l’esistenza di massimi e minimi relativi. Data la funzione

y

x

trovare i valori di

y

x y x

f ( , ) =

³

+

²

+ λ + μ λ

e

μ

affinché il punto

( )

¹₃

^{, 0}

^{sia un}

estremo relativo. Dimostrare inoltre che è un minimo.

4) Definizione di integrale superficiale. Calcolare l’area della porzione di superficie di equazione

z = x

²

− y

² che si proietta nel cerchio di centro (1,0) e raggio ¹₂.

5) Definizione di serie di funzioni convergente semplicemente, totalmente,uniformemente.

Dire se converge semplicemente la seguente serie

( )

in

ℜ

.

1

) 1

∑

( +∞

=

+

−

−

−

n

x n nx

e e

Prova scritta di Matematica II N.O.

5/02/2010

1) Illustrare il metodo di integrazione per parti e utilizzandolo calcolare

x dx

.

e

e

log

1

∫

2

−

2) Trovare l’integrale generale dell’equazione differenziale di Clairaut

y = xy − ln y ′ − 1

e tracciare il grafico del suo inviluppo.

3) Calcolare i massimi e minimi assoluti di

f ( x , y ) = x

²

ye

^−(x+y) nel triangolo di vertici (0,0), (4,0), (0,4).

4) Calcolare il volume del solido compreso tra il paraboloide di equazione

2 z − x

²

− y

²

= 0

e la sfera di equazione

x

²

+ y

²

+ z

²

= 3

.

5) Definizione di curva rettificabile e lunghezza di una curva. Calcolare la lunghezza della curva

r ( t ) = t

²

i G + 2 t G j + ln t k G , 1 ≤ t ≤ 2 .

Prova scritta di Analisi Matematica II V.O.

23/2/2010 1) Calcolare il seguente integrale

∫∫

dove

D

xydxdy { ( x , y ) ∈ ℜ

²

: x

²

+ 4 y

²

≤ 1 , y ≥ x }

.

2) Serie geometrica: scrivere la somma negli intervalli di convergenza. Trovare per quali x reali converge la serie

^+∞

∑

.

=0

(log )

n

x

n

3) Enunciare il teorema di esistenza e unicità per il problema

⎩ ( )

⎨ ⎧

=

′ =

0 0

) , (

y x y

y x f

y

.

Applicarlo al problema:

⎪⎩ ( )

⎪ ⎨

⎧

=

−

′ =

1 2 2

³

1 y

x y x

y

e trovare la soluzione.

4) Massimi e minimi assoluti: definizione e loro ricerca. Calcolare i massimi e minimi assoluti della funzione g(x,y)= x³-y³+x²+3y nel triangolo di vertici (0,0);(1,0);(0,1).

5) Teorema di Stokes: enunciarlo mettendo in evidenza il caso di superfici in forma cartesiana.

Legami con le forme differenziali esatte e con i flussi.

Prova scritta di Matematica II N.O.

23/2/2010

1) Determinare gli estremi assoluti della funzione f(x,y)=

( ^y

²

)

²nel quadrato di vertici (0,0) (1,0),(0,1),(1,1)

x −

2) Calcolare l’area della porzione di piano compresa tra il cerchio di centro (1,0) e raggio r =1 e la parabola di equazione y=(x-2)².

3) Trovare l’integrale generale della seguente equazione differenziale

y ′′′ − 6 y ′′ = ( x − 1 ) e

^2x

4) Utilizzando una formula di Green Gauss calcolare

∫∫

D

y dxdy x

3

4 , dove

⎩ ⎨

⎧

≤

≤

≤

= ≤

_x

e y D x

1

: 0

²

1

.

5) Data la forma differenziale dy

x y

x dx y

x y

x

+

− +

= + 2

ω dire se è esatta e calcolare

∫

dove

+γ

ω

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

≤

=

=

=

+ 0 2

cos 2

: π

γ t

sent y

t x

.

Prova scritta di Analisi Matematica II 25/03/2010

1) Definizione di integrale generale, particolare e singolare per un’equazione differenziale del primo ordine. Integrare la seguente equazione differenziale y=xy′−ln( y′).

2) Calcolare i massimo e minimo relativi e assoluti per la funzione nel dominio

) (

2 ^{2 2}

2 ) ,

(x y y e ^{x y}

f = − + ^{− +}

{ ( )

^{, : 1}

}

:= x y ∈R² x² +y² ≤ D

3) Formule di Green-Gauss nel piano. Utilizzandole calcolare

∫∫ (

⁺

)

D

dxdy y

x ² dove D è la porzione di piano delimitata dall’ellisse di semiassi a e b.

4) Calcolare il volume del solido così definito

( )

{

^{x y z R x y z x y}

}

T:= , , ∈ ³: ²+ ²−2≤ ≤4− − .

5) Definizione di forma differenziale esatta in R . Definizione di ²

∫

e proprietà. Dire in quale dominio

+γ

ω y dy

ydx x

x ln 2

+

2

ω =

è esatta e calcolare l’integrale

∫

^dove

+γ

ω + γ

è

l’arco di ellisse di eq.

ϕ ϕ π

ϕ

^π3

sin

cos

2 ≤

⎩ ⎨

⎧

=

= y x

3

≤

2 .

Prova scritta di Analisi Matematica II

V.O

9/6/2010

1) Definizione di forma differenziale chiusa ed esatta, proprietà.

Trovare un dominio dove la seguente forma differenziale

dy

y dx x

tgy

x

² ₂

cos ) 1 ) (

( + + +

ω =

è esatta. Calcolare poi la funzione potenziale.

2) Enunciare il Teorema di Stokes. Utilizzandolo calcolare

∫

Σ +B

ds t

F ,

dove

k

e

z j x i y

F = −

³

+

³

−

³

+ B Σ

è il bordo della porzione di piano 2x+2y+z=3 intersecata con il cilindro x² + y² = 1, orientata in senso positivo.

3) Si consideri il seguente problema di Cauchy:

⎩ ⎨

⎧

=

−

′ =

1 ) 1 (

2

1 y

y x

y

Si dimostri che è verificato il teorema di Peano ma non quello di Cauchy. Trovare le soluzioni.

4) Definizione di funzione continua e differenziabile in un punto. Legami tra differenziabilità e continuità.

5) Determinare gli estremi assoluti della funzione f x y( , )=(x²−y)³ nel dominio ^D=

{ (

^{x y,}

)

^{∈ℜ2:y≤ −3 x, y≤ +3 x, y≥0}

}

^.

Prova scritta di Matematica II N.O.

9/6 /2010

1) Determinare gli estremi assoluti della funzione f(x,y)=

1 + ( y − x )

² nel triangolo di vertici A=(0,-2), B= (-1,1), C=(0,2).

2) Calcolare l’area della porzione di dominio piano compreso tra l’asse x, le rette

3

= 2

x

e x =2 e la curva di equazione

y = x ln( 2 x − 1 )

.

3) Trovare l’integrale generale della seguente equazione differenziale

( ^{4 1} )

²

1

⁴

3

= −

′ +

x y y

y x

,

x > 0.

4) Enunciare il Teorema di Stokes. Proprietà relative alle porzioni di superfici con uguale bordo.

5) Data la forma differenziale

dy

y y

dx x y

arctg x

) 2 2 (

2 )

1

(

2

2

+ + −

−

ω =

dire se è esatta

nel suo campo di definizione e calcolare

∫

^{dove .}

+γ

ω

⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

≤

≤

=

−

=

=

+ 0 1

2

) 1 arcsin(

:

2

t y

t x

t

γ