Si calcoli la lunghezza d’onda di De Broglie associata alle “particelle”
nelle situazioni seguenti:
1. Un automobile di massa 1000 Kg che viaggi alla velocita’ di 180 Km/h
p
h
La lunghezza d’onda di De Broglie e’ data da :
6. Un elettrone di energia cinetica di 1 GeV 5. Un elettrone di energia cinetica di 150 eV 4. Un elettrone di energia cinetica di 1 eV
3. Un virus che si muova alla velocita’ di 2mm/s e la cui massa sia dell’ordine di 10-15 Kg 2. Un proiettile di massa 10 g sparato alla velocita’ di 500 m/s
s m h
km / 50 /
180 p mv 1000 50 5 10
4Kg ms
138
m
4 34
10 325 .
10 1 5
10 626 .
6
La risposta alla prima domanda e’ : = 1.33 10-38 m
-2
Kg 10 g
10 p mv 10
2 500 5 Kg ms
134
m
34
10 325 .
5 1 10 626 .
6
La risposta alla terza domanda e’ : = 3.31 10-16 m
1
10
32
2 mm/s
-ms
p mv 10
15 2 10
3 2 10
18Kg ms
116
m
18 34
10 31 . 10 3
2
10 626 .
6
c
c p mE
m
E p
2 2
2
mE
ch p
h
2
ricordo che 1 eV = 1.6 10 –19 J
9m
25 34 49
34 19
31 34
10 227 .
10 1 399 . 5
10 626 . 6 10
915 . 2
10 626 . 6 10
6 . 1 10
109 . 9 2
10 626 .
6
La risposta alla quarta domanda e’ : = 1.23 10-9 m = 1.23 nm
Attenzione :
se p = mv = 5.399 10 –25 ne consegue che v ~ 6 105 ms-1 . Si tratta di velocita’ piuttosto alte.
Prima di procedere oltre con la risoluzione dell’ esercizio bisogna fare una considerazione: nel contesto delle particelle elementari possono entrare in gioco anche velocita’ veramente molto elevate.
Subentrano gli effetti della relativita’ ristretta.
La relazione che lega l’energia e la quantita’ di moto in relativita’ e’:
Occorrera’ tenere conto delle formule relativistiche.
2
2
2 mc E
E
hc p
h
c c
Dunque :
2 4
2 2
2
c m c E mc
p
E
t
c pc Ec2 2 mc E
c 2
c
c
E
E mc
hc p
h
2
2 1
ossia
Nel caso sia Ec << mc2 il termine 2mc2/Ec diviene molto grande rispetto
all’unita’ che puo’ quindi essere trascurata e si ritorna alla formula classica
c
c
E
E mc
hc p
h
2
2 1
Il discriminante e’ il rapporto tra l’ energia a riposo mc2 della particella e l’energia cinetica della particella .
Al limite ultrarelativistico = hc/Ec
Mentre se Ec >> mc2 e’ il termine 2mc2/Ec a divenire molto piccolo rispetto all’unita’ e a poter essere trascurato.
Esaminiamo nel dettaglio i vari casi :
Dato che la massa a riposo dell’elettrone e’ 0.51 Mev/c2 e’ chiaro che
l’elettrone da 150 eV non e’ relativistico e dunque si potra’ ancora usare la relazione classica tra quantita’ di moto ed energia cinetica.
( Ec << mc2 ed in effetti il termine 2mc2/Ec e’ ~ 3 103 >> 1 )
c
c
p mE
m
E p 2 2
2
10m
24 34 47
34 19
31
34
10 00 . 10 1
612 . 6
10 626 . 6 10
372 . 4
10 626 . 6 10
6 . 1 150 10
109 . 9 2
10 626 .
6
La risposta alla quinta domanda e’ : = 1.00 10-10 m
1 GeV = 109 eV = 1.6 10 –10 J Dato che la massa a riposo dell’elettrone e’
0.51 Mev/c2 e’ chiaro che l’elettrone da 1 GeV e’ relativistico e dunque il termine 2mc2/Ec sara’ trascurabile ripetto all’unita’ ( in effetti e’
dell’ordine di 10-3)
La risposta alla sesta domanda e’ : = 1.24 10-15 m
E m hc E
E mc
hc p
h
c c
c
15 10
25
2
1 . 24 10
10 6 . 1
10 986 .
1 2
1
Nota bene : la lunghezza d’onda dell’elettrone da un GeV e’
comparabile con le dimensioni del protone ~ 10 –15 m = 1 Fermi
