Astronomia
Lezione 4/11/2011
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it Slides: oberon.roma1.infn.it/alessandro/
Libri di testo:
- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A.
Ostlie, Addison Wesley
- The Physical Universe, an introduction to Astronomy F. Zhou, University Science Books
- Elementi di Astronomia, P. Giannone.
Esempio: Le linee dell’idrogeno (Hg e Hd) diventano piu’ forti da O9 a A0, poi diminuiscono da A0 a F5 e scompaiono nei tipi ultimi K. Righe dell’Elio sono evidenti sono negli spettri primo tipo O e B.
Altri spettri: notare come il picco di corpo nero si sposti verso frequenze minori diminuendo La classe. Le righe dell’idrogeno della serie di Balmer (656.2 nm, 486.1 nm, 434.0 nm, 410.2 nm) incrementano da O a A e poi decrescono. Gli spettri per ultimi tipi (K) hanno righe un po’
Dovunque caratteristiche della presenza di molecole.
Perche’ ho questa variazione nelle righe ? Non dipende da una diversa composizione delle stelle perche’ queste hanno piu’ o meno le stesse quantita’ di elementi (chiaramente
In prima approssimazione).
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Ha un picco (velocita’ di massima probabilita’ vmp) per:
ma la distribuzione non e’ simmetrica Intorno a vmp e quindi ha una valore quadratico medio pari a:
Atomo di Bohr
Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:
riscrivendo la formula per l’energia:
Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:
Solo multipli del raggio di Bohr:
Ad ogni orbita corrisponde una energia:
Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.
La conservazione dell’energia stabilisce che:
Atomo di Bohr
Eccitazione, Diseccitazione, Ionizzazione e Ricombinazione
Quando un elettrone salta da un livello a bassa energia ad uno ad energia piu’ elevata (da piccoli n a grandi n), l’atomo si dice essere eccitato ed il processo e’ chiamato eccitazione.
Dell’energia deve essere ceduta all’atomo perche’ avvenga questo salto tra orbite.
Vi sono due vie perche’ l’atomo venga eccitato:
1- Se l’atomo subisce una collisione questo puo’ causare che un elettrone salti da uno stato ad energia piu’ bassa ad uno ad energia piu’ alta. Questo processo e’ chiamato eccitazione
collisionale.
2- Se un elettrone cattura un fotone di energia hn corrispondente alla differenza tra due livelli energetici e quindi salta da uno stato ad energia piu’ bassa ad uno ad energia piu’ alta. Questo processo e’ chiamato eccitazione radiativa.
Analogamente ci sono anche I due processi inversi di diseccitazione collisionale e diseccitazione radiativa. Nell’ultimo caso vi e’ una transizione spontanea, cioe’ senza intervento esterno.
Oltre a questi processi c’e’ la possibilita’ che l’elettrone salti completamente fuori dall’atomo (ionizzazione) o che un elettrone libero venga catturato in un livello energetico
(ricombinazione).
Righe Spettrali: Serie di Balmer e Ionizzazione
La serie di Balmer e’ costituita da transizioni da/verso il livello n=2 dell’atomo di idrogeno neutro. Ci aspettiamo che le righe di Balmer nello spettro siano piu’ evidenti quando una grande quantita’ di atomi hanno elettroni nel livello 2. Questo avviene se abbiamo una temperatura elevata del gas. D’altra parte se la temperatura e’ troppo elevata l’atomo puo’
rimanere ionizzato.
Richiamiamo la seguente notazione di ionizzazione:
H I = Idrogeno
H II = Idrogeno ionizzato He I = Elio neutro
He II = Elio ionizzato una volta He III = Elio ionizzato due volte.
Questi sono chiamati livelli di ionizzazione.
Per capire l’andamento della profondita’ delle righe in funzione della temperatura dobbiamo rispondere alle seguenti domande:
- Come la popolazione dei livelli dipende da T ? - Come la ionizzazione dipende da T ?
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Ha un picco (velocita’ di massima probabilita’ vmp) per:
ma la distribuzione non e’ simmetrica Intorno a vmp e quindi ha una valore quadratico medio pari a:
Equazione di Boltzmann
Quando gli atomi collidono, I loro elettroni possono trasferirsi a livelli energetici piu’
alti se gli atomi in collisione hanno sufficiente energia (eccitazione collisionale).
L’elettrone puo’ anche essere completamene strappato (ionizzazione).
Guardando al problema da un punto di vista statistico, la probabilita che un atomo sia In uno stato energetico sa e’ proporzionale a:
Mentre allo stesso modo la probabilita’ di uno stato sb:
Dove Ea ed Eb sono le energie degli stati (ad esempio E=-13.6 eV per il livello base dell’atomo di idrogeno). Il rapporto tra queste probabilita’ e’ dato da:
Equazione di Boltzmann
Il termine esponenziale e’ detto fattore di Boltzmann.
Ora supponiamo che Eb>Ea.
Per temperature molto basse (T che tende a zero) l’esponenziale tende a zero perche’
l’esponente tende a meno infinito.
Quindi gli stati ad energie superiori tendono ad essere meno popolati rispetto agli stati ad energie inferiori.
Per temperature molto alte abbiamo che la probabilita’ tende a 1.
Quindi tutti gli stati sono ugualmente popolati.
Stati Quantistici e Degenerazioni
E’ importante pero’ notare che ad uno stesso Livello energetico possono corrispondere Piu’ stati quantistici.
Ad esempio, nell’orbita fondamentale dell’atomo di idrogeno io posso avere due gradi di liberta’
dovuti allo spin.
Nel caso con n=2 io posso avere ancora piu’
stati quantistici considerando il numero quantico orbitale l (che va da 0 a n-1), il
numero quantico magnetico (che va da –l a l) e lo spin.
Se non ci sono campi magnetici (non c’e’
Effetto Zeeman) questi hanno tutti la stessa Energia. Per l’atomo di idrogeno ho che per un valore di energia n ho 2n^2 stati con la stessa energia.
Equazione di Boltzmann
Dobbiamo quindi tener conto delle degenerazioni quando vogliamo sapere quando confrontiamo la probabilita di avere un certo livello energetico invece di uno stato quantistico. Quindi contiamo le degenerazioni in un numero g che conta i gradi di liberta’ :
Dato che il numero di atomi N ad un dato livello energetico e’ proporzionale alla probabilita’ abbiamo l’equazione di Boltzmann:
Enorme !!!!
Se usiamo questa formula pero’ sembra che il livello di Balmer e’ popolato per
temperature sempre piu’ elevate. Come mai non osserviamo pero’ le righe dell’idrogeno nelle stelle piu’ calde di classe O ?
Dobbiamo considerare anche la ionizzazione.
Per avere un elettrone nell’atomo di Idrogeno al livello 2 e necessaria una collisione con almeno 10.2 eV di energia. D’altra parte, una volta che stiamo a livello 2, bastano 3.4 eV di energia per rimuoverlo completamente dall’atomo. Quindi il primo stato eccitato e’ una posizione assai precaria per l’elettrone !
Il vero numero di atomi a livello 2 sara’ quindi un bilancio tra le collisioni che eccitano l’atomo e le collisioni che lo ionizzano.
Equazione di Saha
Definiamo come ci il potenziale di ionizzazione per il livello i-simo. Questa e’ la quantita’
di energia necessaria per rimuovere un elettrone dal suo stato fondamentale.
Per lo stato H I, ad esempio, e’ 13.6 eV. Per lo stato He I e’ 24.6 ev, mentre per He II e’ 54.4 eV . Possiamo assumere che il numero di atomi in un certo stato di ionizzazione rispetto ad un altro sia dato da:
Equazione di Saha
Dobbiamo pero’ tener conto che la ionizzazione puo’ avvenire a partire da diversi livelli energetici (non solo da quello fondamentale !).
Si introduce quindi la funzione di partizione Z:
Tenendo conto di questo la formula corretta e’ l’equazione di Saha:
