Astronomia
Lezione 24/11/2011
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it Slides: oberon.roma1.infn.it/alessandro/
Libri di testo:
- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A.
Ostlie, Addison Wesley
- The Physical Universe, an introduction to Astronomy F. Zhou, University Science Books
- Elementi di Astronomia, P. Giannone.
Opacita’
Un raggio di luce che attraversa un gas perde fotoni per assorbimento.
L’equazione che descrive questo processo e’ la seguente:
vale a dire che l’assorbimento per lunghezza d’onda e’ proporzionale al cammino ds nel gas, alla densita’ del gas e alla intesita’ iniziale stessa. La quantita’ kl e’ detta coefficiente di
assorbimento o opacita’ e dipende dalla densita’, temperatura e composizione del gas.
Sorgenti Generali di Opacita’
I processi che danno luogo all’opacita’ di un raggio di luce ed ad un diminuire della sua
Intensita’ possono provenire da un assorbimento dei fotoni che lo costituiscono (i fotoni in questo caso scompaiono e la loro energia si trasforma in energia termica del gas) o in uno scattering del fotone in un’altra direzione (quindi ne vediamo meno). Se questi processi variano lentamente con la lunghezza d’onda, allora il coefficiente di assorbimento kl dipende lentamente dalla lunghezza d’onda e l’assorbimento e’ continuo nello spettro.
Altrimenti se varia rapidamente abbiamo la formazione di righe. Essenzialmente si hanno Quattro meccanismi fisici che portano ad assorbimento o scattering di fotoni:
1- Transizioni legato-legato (bound-bound): In questo caso il fotone viene assorbito da un atomo e un elettrone si sposta a livello energetico piu’ alto. L’elettrone puo’ quindi tornare al livello di partenza e riemettere lo stesso fotone. In questo caso e’ un processo di scattering.
Oppure puo’ tornare ad un livello diverso, quindi il fotone originario e’ perso come in un
processo di assorbimento. Un importante sotto-prodotto di questo processo di assorbimento e’
la degradazione dell’energia media dei fotoni del campo di radiazione.
Se infatti l’elettrone si diseccita passando per due stati, emettera’ due fotoni di energia inferiore di quello iniziale.
Per questo processo l’opacita’ klBB e’ piccola per il continuo ed e’ rilevante solo per alcune frequenze (righe)
2- Assorbimento legato-libero (bound-free): in questo caso il fotone ha abbastanza energia per Ionizzare l’atomo. Chiaramente tutti i fotoni con lunghezza d’onda minore di:
(dove cn e’ l’energia di ionizzazione si un atomo al livello di eccitazione n) saranno assorbiti. Quindi questo processo con opacita’ klBF contibuisce al continuo.
Il processo inverso (un elettrone viene catturato da un atomo emettendo un fotone) puo’
anch’esso ridurre l’energia media Dei fotoni perche’ l’elettrone puo’ essere catturato in un’
orbita piu’ esterna.
3- Assorbimento libero-libero (free-free). Se un elettrone passa accanto ad uno ione,
questo puo’ frenare emettendo un fotone (radiazione di bremsstrahlung o di frenamento). Il Processo che ci interessa e’ quello inverso, un elettrone passa accanto ad uno ione ed
accelera assorbendo un fotone. L’opacita di questo processo klFF contribuisce quindi al continuo.
4- Thomson Scattering (electron-scattering): quando un elettrone libero si scontra con un fotone si ha lo scattering Thomson. Questo puo’ avvenire a qualunque frequenza e quindi il coefficiente di opacita’ dello scattering Thomson klES non dipende dalla frequenza
e quindi ha un effetto sul continuo dello spettro.
Il valore della sezione d’urto dello scattering Thomson e’:
che e’ molto minore della sezione d’urto per ionizzazione dell’atomo di Idrogeno:
Quindi lo scattering Thomson ha effetto considerevole solo a grandi temperature, quando vi sono molti elettroni liberi nell’atmosfera stellare.
L’energia di ionizzazione di un atomo di idrogeno eccitato con l’elettrone nello stato n=2 e’ pari a:
si ha quindi che se n=2 e’ popolato l’intensita’ della luce a lunghezze d’onda inferiori a
subira’ un assorbimento continuo dovuto all’assorbimento legato-libero.
Questo Salto di Balmer e’ chiaramente visibile, ad esempio nel Sole (figura sopra).
In generale quindi l’opacita’ totale in una stella sara’ la somma di diversi termini piu’ o meno importanti:
l’opacita’ totale non dipende solo dalla lunghezza d’onda ma dalla temperatura, composizione e densita’ dell’atmosfera stellare.
E’ utile considerare una opacita’ che non dipende dalla lunghezza d’onda e considerarne una media pesata. La media maggiormente utilizzata e’ la media di Rosseland che ha
Il maggior contributo dai valori di opacita’ k minori, pesata per le variazioni del corpo nero a quelle frequenze:
questo valore medio non dipende piu’ dalla frequenza ma dalla temperatura, densita’ e composizione della stella.
Opacita’ totale e media di Rosseland
Equazione del Trasporto Radiativo
Durante il suo cammino il raggio luminoso potra’ anche incrementare la sua intensita’
grazie a fenomeni di emissione. In questo caso:
dove jl e’ detto coefficiente di emissione.
Considerando sia assorbimento che emissione si ha:
Dividendo ambo i membri si puo’ riscrivere come:
Ovvero:
Detta equazione del trasporto radiativo, definendo come funzione sorgente:
Equazione del Trasporto Radiativo
Se l’intensita’ e’ uguale alla funzione sorgente allora e’ costante.
Se l’intensita’ e’ maggiore della funzione sorgente allora decresce.
Se l’intensita’ e’ minore della funzione sorgente allora cresce.
L’intensita’ tende ad avere il valore della funzione sorgente, vale a dire pari al rapporto tra emissione e assorbimento nel punto
(esempio con targhe di macchine in autostrade americane).
Ipotesi di atmosfera piana
E’ chiaramente molto difficile da risolvere ma e’ necessario farlo per conoscere a quale profondita’ si formano le righe.
Si possono fare alcune approssimazioni come quella di atmosfera piana (l’atmosfera Stellare puo’ essere pensata come a strati paralleli, trascurando la curvatura).
Abbiamo introdotto la profondita’ ottica come:
Consideriamo adesso una profondita’ ottica verticale come:
Ipotesi di atmosfera piana
La profondita’ ottica verticale incrementa con l’incrementare di –z vale a dire della
Profondita’ e non dipende dalla direzione del raggio.
Un raggio proveniente da una direzione diversa avrebbe profondita’ ottica maggiore alla
stessa profondita’ -z.
La profondita’ ottica verticale puo’ essere usata come utile coordinata nel caso di ipotesi di
atmosfera piana.
Ipotesi di atmosfera piana
Ipotesi di atmosfera piana
Questa equazione si puo’ ulteriormente semplicare assumendo che la profondita’
ottica sia indipendente dalla frequenza (si puo’ ad esempio utilizzare il coefficiente di assorbimento di Rosseland). Questa approssimazione viene detta approssimazione di atmosfera grigia.
In questo caso si puo’ integrare sulle lunghezze d’onda ottenendo:
Con:
Ipotesi di atmosfera piana
Integrando sull’angolo solido abbiamo:
E ricordando le espressioni del flusso radiativo e dell’intensita’ media:
si ha:
Ipotesi di atmosfera piana
Una seconda equazione si puo’ ottenere moltiplicando per il coseno e integrando sull’angolo solido:
Ricordando adesso l’espressione della pressione di radiazione:
Il primo termine e’ essenzialmente la pressione di radiazione moltiplicata per la velocita’ della luce, il secondo termine e’ il flusso radiativo mentre il terzo termine:
Ipotesi di atmosfera piana
Si ha quindi:
e’ possibile dimostrare che per una stella a simmetria sferica con r distanza dal centro si ha:
Ora una stella e’ in equilibrio (a tanti processi di emissione corrispondono gli stessi Processi di assorbimento. Quindi questo comporta che il flusso radiativo sia costante In tutti i punti dell’atmosfera stellare e pertanto uguale al suo valore sulla superficie:
Se pero’ e’ costante, ricordando che:
Si deve avere:
Inoltre se il flusso e’ costante l’equazione:
Puo’ essere integrata fornendo:
con C costante di integrazione.
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Quello che noi vogliamo trovare e’ un andamento che leghi la profondita’ ottica alla temperatura della stella nell’atmosfera. Per fare questo e’ necessario assumere una
Distribuzione angolare per l’intensita’ specifica. Si puo’ assumere il modello di Eddington Dove abbiamo semplicemente due valori, uno uscente nella direzione dell’asse z ed
uno entrante. In questo caso si hanno delle importanti relazioni tra intensita’ media, flusso e pressione.
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Considerando l’equazione:
Utilizzando l’ultima delle espressioni per la pressione dalla pagina precedente:
La costante puo’ essere determinata sulla superficie della stella dove
(l’ultima relazione si ottiene considerando l’approssimazione di Eddington)
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Quindi la costante vale:
Inserendo otteniamo:
Ora dato che il flusso radiativo e’ costante abbiamo:
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Per continuare dobbiamo fare l’ulteriore approssimazione di equilibrio termodinamico Locale (LTE) vale a dire che localmente l’intensita’ specifica e’ data da un corpo nero.
In questo caso non si hanno variazioni di intensita’ specifica, quindi abbiamo che l’intensita’ specifica e’ pari alla funzione sorgente.
Ricordando quindi che per l’approssimazione di atmosfera piana:
Si ha:
La temperatura Effettiva indica La temperatura Della stella a t=2/3 !!!
Oscuramento al bordo
Consideriamo l’equazione del trasporto:
E cerchiamo una soluzione generale moltiplicando per un esponenziale
Integrando da dove alla superficie con
E’ somma di due contributi positivi (ricordate che la profondita’ ottica diminuisce).
Oscuramento al bordo
Consideriamo ora la profondita’ ottica verticale:
Ponendo uno dei punti quando la profondita’ ottica e’ infinita (molto dentro la stella):
La quale puo’ essere risolta conoscendo l’andamento della funzione sorgente con la profondita’ ottica. Assumendo:
Si ottiene:
Oscuramento al bordo
Nel caso di atmosfera piana, approssimazione di Eddington e LTE avevamo trovato:
Ovvero:
Usano l’oscuramento al bordo possiamo Verificare:
