Astronomia
Lezione 28/11/2011
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it Slides: oberon.roma1.infn.it/alessandro/
Libri di testo:
- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A.
Ostlie, Addison Wesley
- The Physical Universe, an introduction to Astronomy F. Zhou, University Science Books
- Elementi di Astronomia, P. Giannone.
L’interno delle Stelle
Equilibrio Idrostatico
Consideriamo un volumetto di base A, altezza dr e massa infinitesimale dm dentro la stella e distante r dal centro. Per questo volumetto la seconda legge di Newton si scrive come:
Definendo:
Si ha:
Considerando che:
Possiamo riscrivere:
Considerando:
Abbiamo:
Che dividendo per A fornisce:
Otteniamo infine l’equazione per l’equilibrio idrostatico:
Deve esistere un gradiente di pressione per controbilanciare la forza di gravita’
Prima equazione fondamentale della struttura stellare..
Equilibrio Idrostatico
Equilibrio Idrostatico
Calcoliamo in modo molto approssimato la pressione al centro del Sole.
I parametri del Sole sono :
Una stima rozza del gradiente di pressione puo’ essere data facendo il rapporto Incrementale tra la pressione sulla superficie ed al centro del Sole:
Sostituendo nell’equazione dell’equilibrio idrostatico si ottiene ( ):
Per un conto piu’ preciso dovremmo integrare l’equazione:
pero’ questo richiede una conoscenza tra M e la densita’ che non abbiamo.
Sono necessari modelli del Sole, da cui otteniamo:
Conservazione della Massa
Per una stella a simmetria sferica, consideriamo un guscio di spessore dr a distanza r dal centro.
Se dr << r allora il volume del guscio sara’ dato da:
La massa nel guscio sara’:
Dove la densita’ e’ la densita’ a distanza r dal centro.
Riarrangiando si ottiene:
Che stabilisce come la massa vari allontandosi dal centro.
Questa e’ la seconda equazione fondamentale della struttura stellare.
Equazione di stato
Deriviamo la legge dei gas perfetti PV=NkT.
Consideriamo un volumetto di base A e lunghezza Dx.
La forza esercitata da una particella sara’ data da:
Mentre il tempo tra due urti e’ dato da:
La forza media esercitata sulla parete da una particella e’ quindi data da:
L’impulso p lungo x e’ proporzionale a vx quindi a numeratore abbiamo un quadrato delle velocita’. Dato che
Allora possiamo scrivere f in funzione del modulo della velocita’:
Definendo ora una funzione di distribuzione Np che fornisce il numero di particelle con Impulso compreso tra p e p+dp e tale che:
Si ha che la forza sulla parete data da tutte le particelle e’:
Dividendo per l’area A, e dato che ADx=DV otteniamo l’integrale di pressione:
dove:
Equazione di stato
Conoscendo la distribuzione np possiamo ricavarci l’equazione di stato.
Ad esempio per particelle di massa m e non-relativistiche (v<<c) si ha p=mv e:
Ma come distribuzione delle velocita’ possiamo utilizzare quella di Maxwell-Boltzmann:
Integrando (dimostrare per esercizio) si ottiene l’usuale legge dei gas perfetti:
Che puo’ essere espressa in funzione della densita’:
Dove la massa al denominatore e’ la massa media delle particelle.
Equazione di stato
Introducendo il peso molecolare medio:
equivalente alla massa media di una particella libera in unita’ della massa dell’atomo di idrogeno:
Possiamo riscrivere la legge per i gas perfetti come:
Che e’ la terza equazione fondamentale per la struttura stellare.
La massa media delle particelle di un gas non e’ facile da calcolare perche’ tiene conto Anche degli elettroni ed e’ quindi necessario sapere quali sono gli atomi ionizzati o meno Il calcolo si semplifica quando tutti gli atomi sono neutri o tutti ionizzati.
Quando sono neutri possiamo scrivere:
Dividendo per la massa dell’atomo di idrogeno e definendo Si ha:
Mentre se gli atomi sono tutti ionizzati:
Dove zj tiene conto degli elettroni tutti strappati ad ogni atomo (si assumono con massa nulla al numeratore).
Peso Molecolare Medio
Quindi nel caso neutro abbiamo:
Ricordando che A e’ la massa della particella diviso la massa dell’idrogeno:
Per il Sole:
Nel caso completamente ionizzato abbiamo invece:
Che possiamo scrivere come:
Ora dato che per elementi pesanti z>>1 e che gli atomi hanno lo stesso numero di neutroni e protoni (ed elettroni strappati) si ha:
Nel caso di stelle con abbondanze Si ha
Equazione di stato
L’equazione di stato trovata e’ valida per i gas ideali. Se pero’ andiamo in limite relativistico (m<<T) allora non e’ piu’ chiaramente valida.
In quel caso la distribuzione segue o una statistica di Bose-Einstein (per i cosidetti
Bosoni quali i fotoni) o una statistica di Fermi-Dirac (per i fermioni quali elettroni, protoni, neutroni, etc). Per i fermioni vale il principio di esclusione di Pauli, per i bosoni no.
Nel caso in cui si considerino fotoni abbiamo che l’integrale di pressione si puo’
scrivere come:
Considerando che l’impulso di un fotone e’ dato da e avendo preso c come velocita’ delle particelle nell’integrale. Si ha quindi:
e utilizzando la
distribuzione di corpo nero:
Quello che si ha normalmente e’ quindi la somma di due componenti:
Sorgenti di Energia per le Stelle
Cosa fornisce alle Stelle l’energia necessaria per mantenere l’equilibrio ? Proviamo prima con solo l’energia potenziale gravitazionale:
Se prendiamo un guscio di massa dm distante r dal centro si ha:
E quindi l’energia potenziale e’ data da:
Assumendo una densita’ costante si ha
Da cui (ricordarsi che per il teorema del viriale l’energia totale e’ meta’ di quella potenziale)
Scala di Kelvin-Helmholtz
Consideriamo ad esempio il Sole e supponiamo che questo sia nato da una nube molto Piu’ grande con l’energia rilasciata e’ dell’ordine di:
Supponendo che avvenga con luminosita’ costantte, tutto questo deve essere avvenuto In un tempo:
Detto scala temporale di Kelvin-Helmholtz.
Questo fissa un limite superiore all’eta’ del Sole che e’ ovviamente sbagliato dato che, ad esempio, la luna sarebbe 100 volte piu’ vecchia.
Quindi non e’ solo l’energia gravitazionale quella responsabile.
Energia Nucleare
Chiaramente la forma di energia che sostiene le stelle e’ di tipo nucleare.
Le energie in gioco nella fusione dei nuclei sono dell’ordine del MeV , quindi Molto maggiori rispetto a quelle delle orbite degli elettroni (eV).
Per i nuclei Z indica il numero di protoni, N il numero di neutroni (isotopi) e A il numero di nucleoni A=Z+N.
Per l’idrogeno N=0, il deuterio N=1, il trizio N=2. Z=1.
Le masse delle particelle sono:
Dove
In un processo di fusione, quattro nuclei di idrogeno posso produrre un nucleo di Elio. La massa del nucleo di Elio e’ minore della somma delle masse dei nuclei di Idrogeno per il 0.7%. Una energia di circa 26.731 MeV detta energia di legame del nucleo di Elio. Questa e’ l’energia che serve alla struttura della stella.
Che temperatura e’ necessaria per avere la fusione ? Caso classico:
Troppo alta Caso Quantistico:
OK!!!
