Trattamento e Analisi statistica dei dati sperimentali
Modulo III: Distribuzioni di probabilità L4. La distribuzione di Poisson
Prof. Carlo Meneghini
Distribuzione di Poisson
Quale è la probabilità che si verifichino k eventi in un dato intervallo di tempo o di spazio, sapendo che in media se ne verificano λ.
λ
λλ = e
−k k
P
k
) !
| (
Il numero di richieste di intervento in Pronto Soccorso è in media 4.5 per ora. Quale è la probabilità che ne arrivino X?
La densità di globuli rossi (GR) nel sangue è λGR~5 (nL-1).
Distribuzione di Poisson
Quale è la probabilità che si verifichino k eventi in un dato intervallo di tempo o di spazio, sapendo che mediamente sene verificano λ.
λ
λλ = e
−k k
P
k
) !
| (
Condizioni:
• Gli eventi sono indipendenti
• La probabilità che gli eventi avvengano insieme (luogo o spazio) non è nulla
Distribuzione di Poisson
Parametri della distribuzione di Poisson
λ=3.7
λ σ
λ σ
λ µ
=
=
=
2
valore atteso Varianza
dev. st.
λ
λλ = e
−k k
P
k
) !
|
(
Distribuzione di Poisson
Parametri della distribuzione di Poisson
λ
λλ = e
−k k
P
k
) !
| (
=POISSON (k;λ;C)
k = n. successi λ = valore atteso C = cumulativo
λ=3.7
Distribuzione binomiale?
N=10
2p=10
-2( ) (
k)
kk p k
N k
P
−−
− −= −
102
2 2
2 2
10 1
)! 10 10
(
!
! ) 10
,
| (
λ
µ = Np = σ = Np ( 1 − p ) = λ 1 1 − p ≈
)
| ( )
,
|
( k N p P k λ
P ≈
Distribuzione di Poisson
k k
k e k
P =
−) !
|
( λ
=POISSON (k;λ;C)
λ
k = n. successi λ = valore atteso C = cumulativo
Probabilità di non osservare k successi
Probabilità di k successi
Probabilità che osservino fino a k successi...
I telefonisti
Il numero di richieste di intervento in Pronto Soccorso è in media 4.5 per ora.
Quale è la probabilità che in un'ora:
a. ne arrivino 5?
b. ne arrivino più di 7?
c. Che in mezz'ora ne arrivino meno di 4?
= ) 5 . 4
| 5 (
. P
a
) 5 . 4
| 6 (
1 ) 5 . 4
| 7 (
. P k > = − P k ≤
b
=
<
2 5 . 4 4
. P k
c
I Pedoni
Nel momento in cui scatta il verde per i pedoni, ad un semaforo ci sono 12 persone in attesa.
a. Che incertezza puoi associare a questa osservazione?
Quale è la probabilità che nelle medesime condizioni i pedoni siano b. più di 16?
c. Meno di 10?
d. Tra 5 e 10
λ σ
λ µ
=
=
) 12
| 16 (
1 ) 12
| 16 (
. P k > = − P k ≤
b
) 12
| 9 (
. P k ≤
c
a
Le gocce di pioggia
Mentre piove raccogli per un tempo t=0.5s le gocce di pioggia su un foglio di carta A4. Conti 35 gocce.
• Quale è la densità delle gocce di pioggia che cade per secondo?
• Quale è l'incertezza?
Sup(A4)= 21.0 × 29.7 (cm
2)=624 cm
29 . 5 35
=
=
=
= λ σ
λ µ
) s (cm
019 .
624 0 9 . 5
) s (cm
112 .
624 0 70
1 - 2 -
1 - 2 -
=
=
=
=
=
=
Sup d Sup
d
σ λ
µ
( )
s-170 2 =
= λ µ
N. gocce in 0.5 s
N. gocce in 1 s
Il microscopio
In un campione per il microscopio sono sciolte 150 microparticelle (particelle bianche) di polimero per microlitro (d=150 µl-1)
a. Osservi una goccia di liquido al microscopio. Quale è il volume osservato se le particelle osservate (chiare in figura) sono Nb=13?
b. Nella goccia si vedono anche Nr=25 cellule di tipo A (rosse in figura). Quale è la densità di cellule di tipo A nella soluzione?
13
150 =
Vol = 13 ± 13 µ l
a.
Vol d = = Nb
1 150
Nb= 13 Nr= 25
Il microscopio
288 −1
=
= l
Vol
dr Nr µ
Vol ± σ
VolB Y = A
2 2
+
=
B A
y
B
y σA σ
σ
Nr
Nr ± σ
34 . 25 0
1 13
1
2 2
= +
=
+
=
r Vol N
r d
N Vol
d
r
r σ σ
σ
Nb= 13 Nr= 25
25
= 1
r N
N σ r
25 25 ±
l
Vol µ
150 13 150
13 ±
= 13
= 1 Vol σVol
−1
