Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 09-1-2020.
1. Discutere il seguente argomento:
• definizione di punto di equilibrio, di equilibrio stabile e di equilib- rio asintoticamente stabile per il sistema descritto dall’equazione
˙
x = f (x). Mostrare che le equazioni della meccanica possono essere scritte in questa forma e qundi discutere l’equilibrio dei sistemi meccanici [12 pt].
2. Risolvere i seguenti esercizi:
• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto materiale di massa m soggetto alla forza posizionale di potenziale V = xe −x
2. Si calcoli inoltre il periodo delle piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile [10 pt];
• relativamente al problema precedente si dia una stima rigorosa del tempo necessario a raggiungere −∞ se la posizione iniziale ` e x = 0 e la velocit` a iniziale ` e v = −1 [8 pt].
1
2
Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti IV-VI) del 09-11-2020.
1. Discutere il seguente argomento:
• derivazione delle equazioni di Lagrange dal principio di D’Alembert [12 pt].
2. Risolvere i seguenti esercizi:
• due punti materiali pesanti di uguale massa m sono vincolati senza attrito alla retta verticale x = 0, y = 0. Ognuno dei due punti
` e collegato all’origine da una molla di costante k > 0 e sono inoltre collegati tra loro da una molla di costante 2k. Si scriva la lagrangiana usando le variabili z 1 e z 2 . Si determini la posizione di equilibrio e se ne discuta la stabilit` a. Si riscriva la lagrangiana usando le variabili z g = (z 1 + z 2 )/2 e z = z 1 − z 2 e si trovino le due costanti del moto [10 pt];
• si consideri la trasformazione Q = α(q 3 + 3q) + βp, P = q
2p +1 ;
dire per quali valori di α e β ` e completamente canonica. ` E una
trasformazione naturale? [8 pt].
3
