Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 15-09-2020.
1. Discutere il seguente argomento:
• stabilit` a di un equilibrio: definizione e teorema di Lyapunov. Ap- plicazione alla meccanica [12 pt].
2. Risolvere i seguenti esercizi:
• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto ma- teriale di massa m = 1 soggetto alla forza posizionale di potenziale V = x 6
6− x 4
4. Si calcoli inoltre il periodo delle piccole oscillazioni intorno ad una delle posizioni di equilibrio stabile [10 pt];
• un punto materiale di massa m = 2 sia soggetto alla forza po- sizionale di potenziale V = −x 4 . Si calcoli quanto tempo ` e nec- essario per raggiungere +∞ se la posizione iniziale ` e x 0 = 1 e la velocit` a iniziale ` e v 0 = 1 [8 pt].
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Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti IV-VI) del 15-09-2020.
1. Discutere il seguente argomento:
• in ambito lagrangiano: conservazione dell’energia, variabili ci- cliche e relativi integrali del moto [12 pt].
2. Risolvere i seguenti esercizi:
• un punto materiale pesante di massa m sia vincolato senza attrito alla superficie z = (a+x 2 +y 2 ) 2 con a ≥ 0. Si scriva la lagrangiana utilizzando le variabili x e y. Si determini la posizione di equilibrio e se ne discuta la stabilit` a [10 pt];
• relativamente al problema precedente si riscriva la lagrangiana
utilizzando le variabili polari ρ e θ. Si trovi un secondo integrale
del moto (oltre all’energia meccanica) [8 pt].
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