Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 05-03-2021. 1.

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Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 05-03-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• teorema delle piccole oscillazioni (caso unidimensionale) [10 pt].

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto materiale di massa soggetto alla forza posizionale di potenziale V = x ² e ^−x

²

. Si calcoli inoltre il periodo delle piccole oscillazioni intorno allae posizione di equilibrio stabile [10 pt];

• per il problema precedente si assuma m = 1, la posizione iniziale sia x ₀ = 1 e la velocit` a iniziale sia v ₀ = 1. Si dimostri che il punto non raggiunge +∞ in un tempo finito [10 pt].

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(2)

2

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti IV-VI) del 05-03-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• invarianza delle parentesi di Poisson fondamentali come condizione necessaria e sufficiente per la completa canonicit` a di una trasfor- mazione indipendente dal tempo (con dimostrazione), un esempio e un controesempio [10 pt].

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• un punto materiale pesante di massa m sia vincolato senza attrito alla superficie z = 1 + x ² + y ² . Il punto, oltre alla forza peso, sia soggetto ad una forza verticale (0,0,αz) dove α ` e una costante strettamente positiva. Si trovi la Lagragiana del sistema, si tro- vino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilit` a al variare del parametro α [14 pt];

• relativamente al problema precedente si ponga α = mg. Scri-

vere la lagrangiana in coordinate polari e far vedere che esiste un

ulteriore integrale primo oltre all’energia meccanica [6 pt].

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Esame di Meccanica Razionale e di Complementi di Meccanica Analitica (Parti VII-IX) del 05-03-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• sistemi hamiltoniani e conservazione dei volumi nello spazio delle fasi: teorema di Liouville. Teorema di ricorrenza di Poincar` e come importante conseguenza del teorema di Liouville [10 pt].

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• data la lagrangiana L = ˙q ₁ ² + ˙ q ₂ ² − q ₁ ² − q ₂ ² − q ₁ q ₂ + q ⁴ ₁ , mostrare che la posizione (0, 0) ` e di equilibrio stabile con matrice hessiana definita positiva, scrivere la relativa lagrangiana ridotta e trovare le pulsazioni proprie [12 pt];

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 05-03-2021. 1.

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 05-03-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• teorema delle piccole oscillazioni (caso unidimensionale) [10 pt].

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto materiale di massa soggetto alla forza posizionale di potenziale V = x ² e ^−x

. Si calcoli inoltre il periodo delle piccole oscillazioni intorno allae posizione di equilibrio stabile [10 pt];

• per il problema precedente si assuma m = 1, la posizione iniziale sia x ₀ = 1 e la velocit` a iniziale sia v ₀ = 1. Si dimostri che il punto non raggiunge +∞ in un tempo finito [10 pt].

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti IV-VI) del 05-03-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• invarianza delle parentesi di Poisson fondamentali come condizione necessaria e sufficiente per la completa canonicit` a di una trasfor- mazione indipendente dal tempo (con dimostrazione), un esempio e un controesempio [10 pt].

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• relativamente al problema precedente si ponga α = mg. Scri-

vere la lagrangiana in coordinate polari e far vedere che esiste un

ulteriore integrale primo oltre all’energia meccanica [6 pt].

Esame di Meccanica Razionale e di Complementi di Meccanica Analitica (Parti VII-IX) del 05-03-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• sistemi hamiltoniani e conservazione dei volumi nello spazio delle fasi: teorema di Liouville. Teorema di ricorrenza di Poincar` e come importante conseguenza del teorema di Liouville [10 pt].

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• data la lagrangiana L = ˙q ₁ ² + ˙ q ₂ ² − q ₁ ² − q ₂ ² − q ₁ q ₂ + q ⁴ ₁ , mostrare che la posizione (0, 0) ` e di equilibrio stabile con matrice hessiana definita positiva, scrivere la relativa lagrangiana ridotta e trovare le pulsazioni proprie [12 pt];

• data la hamiltoniana H(q, p) = p

p ² + q ⁴ determinare la vari-

abile azione A in funzione dell’energia E (a meno di una costante

moltiplicativa) e conseguentemente determinare la velocit` a ango-

lare Ω(A) [8 pt].

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 05-03-2021. 1.

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 05-03-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• teorema delle piccole oscillazioni (caso unidimensionale) [10 pt].

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto materiale di massa soggetto alla forza posizionale di potenziale V = x 2 e −x

. Si calcoli inoltre il periodo delle piccole oscillazioni intorno allae posizione di equilibrio stabile [10 pt];

• per il problema precedente si assuma m = 1, la posizione iniziale sia x 0 = 1 e la velocit` a iniziale sia v 0 = 1. Si dimostri che il punto non raggiunge +∞ in un tempo finito [10 pt].

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti IV-VI) del 05-03-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• invarianza delle parentesi di Poisson fondamentali come condizione necessaria e sufficiente per la completa canonicit` a di una trasfor- mazione indipendente dal tempo (con dimostrazione), un esempio e un controesempio [10 pt].

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• relativamente al problema precedente si ponga α = mg. Scri-

vere la lagrangiana in coordinate polari e far vedere che esiste un

ulteriore integrale primo oltre all’energia meccanica [6 pt].

Esame di Meccanica Razionale e di Complementi di Meccanica Analitica (Parti VII-IX) del 05-03-2021.

1. Discutere il seguente argomento:

• sistemi hamiltoniani e conservazione dei volumi nello spazio delle fasi: teorema di Liouville. Teorema di ricorrenza di Poincar` e come importante conseguenza del teorema di Liouville [10 pt].

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• data la lagrangiana L = ˙q 1 2 + ˙ q 2 2 − q 1 2 − q 2 2 − q 1 q 2 + q 4 1 , mostrare che la posizione (0, 0) ` e di equilibrio stabile con matrice hessiana definita positiva, scrivere la relativa lagrangiana ridotta e trovare le pulsazioni proprie [12 pt];

• data la hamiltoniana H(q, p) = p

p 2 + q 4 determinare la vari-

abile azione A in funzione dell’energia E (a meno di una costante

moltiplicativa) e conseguentemente determinare la velocit` a ango-

lare Ω(A) [8 pt].

• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto materiale di massa soggetto alla forza posizionale di potenziale V = x ² e ^−x

• per il problema precedente si assuma m = 1, la posizione iniziale sia x ₀ = 1 e la velocit` a iniziale sia v ₀ = 1. Si dimostri che il punto non raggiunge +∞ in un tempo finito [10 pt].

• data la lagrangiana L = ˙q ₁ ² + ˙ q ₂ ² − q ₁ ² − q ₂ ² − q ₁ q ₂ + q ⁴ ₁ , mostrare che la posizione (0, 0) ` e di equilibrio stabile con matrice hessiana definita positiva, scrivere la relativa lagrangiana ridotta e trovare le pulsazioni proprie [12 pt];

p ² + q ⁴ determinare la vari-