Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 02-07-2020. 1.

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti I-III) del 02-07-2020.

1. Discutere il seguente argomento:

• moto di un punto materiale in tre dimensioni: forze conservative ed energia meccanica. Fare un esempio di forza non conservativa.

Moto in un campo di forze centrali, conservazione dell’energia, conservazione del momento angolare. Moti radiali (unimension- ali). Moti non radiali, piano di Laplace, coordinate polari e sec- onda legge di Keplero. (15 pt)

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• si studi qualitativamente il moto unidimensionale di un punto materiale soggetto alla forza posizionale di potenziale V = −xe ^−x ; (7,5 pt)

• per il sistema del precedente esercizio si assuma m = 1 e si calcoli il periodo delle piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile e si dia una stima del tempo necessario per raggiungere +∞ se la posizione iniziale ` e x <sub>0</sub> = −1 e la velocit` a iniziale ` e v ₀ = 0.

(7,5 pt)

1

2

Esame di Meccanica Razionale e di Meccanica Classica e Ana- litica (Parti IV-VI) del 02-07-2020.

1. Discutere il seguente argomento:

• derivazione delle equazioni di Hamilton dalle equazioni di La- grange. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton in assenza di vincoli. Hamiltoniana come energia generalizzata del sistema, condizioni per la sua conservazione. Conservazione dei momenti cinetici coniugati alle variabili cicliche. (15 pt)

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• un punto materiale pesante di massa m sia vincolato senza attrito alla superficie z = − sin(x ² + y ² ) e sia collegato da una molla di costante k all’origine. Si scriva la lagrangiana utilizzando le variabili x e y. Si mostri che la posizione (x = 0, y = 0) ` e di equilibrio e se ne discuta la stabilit` a al variare dei parametri; (8 pt)

• relativamente al problema precedente si riscriva la lagrangiana

utilizzando le variabili polari ρ e θ. Si trovi un secondo integrale

del moto (oltre all’energia meccanica) e se ne discuta il significato

fisico. (7 pt)

3

Esame di Meccanica Razionale e di Complementi di Meccanica Analitica (Parti VII-IX) del 02-07-2020.

1. Discutere il seguente argomento:

• moti periodici dei sistemi a un grado di libert` a: definizione della variabile azione. Energia come funzione dell’azione e viceversa.

Definizione della variabile angolo: variabili azione-angolo come nuove variabili hamiltoniane e soluzione delle relative equazioni;

(15 pt)

2. Risolvere i seguenti esercizi:

• un punto materiale pesante di massa m = 1 `e vincolato alla su- perficie z = x <sup>2</sup> + y <sup>2</sup> + xy + x <sup>2</sup> y <sup>2</sup> . Scrivere la lagrangiana, scrivere la lagrangiana ridotta intorno alla posizione di equilibrio stabile (0, 0) dopo aver verificato che la matrice hessiana ` e definita posi- tiva. Trovare le pulsazioni proprie; (7 pt)

• data l’hamiltoniana H(q, p) = p ² + q ⁶ trovare la variabile azione

(a meno di una costante moltiplicativa). Esprimere l’energia in

funzione dell’azione e quindi ottenere la relativa frequenza Ω(A)

(anch’essa a meno di una costante moltiplicativa). (8 pt)