Prova intermedia di Analisi Matematica 1

Prova intermedia di Analisi Matematica 1 4 novembre 2019 COMPITO 1

1. Sia dato l’insieme A =

⇢2 3arctan



[cos((n + 1)⇡) 1] 4n

8n + 3 + [1 + ( 1)ⁿ⁺¹](10n n²) : n2 N . Allora

Risp.: A : inf A = ^⇡₃, max A = 2 arctan(50)

3 B : inf A = ^⇡₆, max A = 0 C : inf A =

⇡

3, sup A = ^⇡₃ D : inf A = ^⇡₃, max A = 0

2. Il luogo dei punti z2 C tali che il numero complesso

(1 i)⁴⁰ln⇥

|e^3⇡i| + 49 z ¯z⇤ +1

i 2 4s✓

z + ¯z 2ie ^32⇡i

◆2

+ (1 e ^4⇡i)¹⁰ Im(z) 3 5

`e reale non negativo `e dato da

Risp.: A : l’unione di una retta e una circonferenza B : l’unione di due semirette C : un segmento D : l’unione di due segmenti

3. Il limite

x!0lim⁺

ln 2 cos[(1 e^3x) tan x] + e ^x23 (1 + x)^{arctan x7} [p

x⁴+ 3x⁶+ 7x⁸ x²] vale

Risp.: A : _e³7 B : 3 C : 3e ³ D : _e¹7

4. Il limite

n!+1lim

[(n + 2)!]²ⁿh

(7n!)^(n+1)!1 1i n²ⁿ[((n + 1)!)^{2n 1}+ n³+ 2e ⁿ] ln[(n!)²] vale

Risp.: A : 1 B : ¹₃e⁴ C : ¹₂e⁴ D : ¹₂

5. Siano ↵2 R e f : R ! R definita da

f (x) = 8>

>>

><

>>

>>

:

ln(e^2x+ 1) + ↵(arctan x p x) x +p

x se x > 0 3x + 2

x 3 se x 0

Stabilire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false.

(a) f `e continua in x = 0 se e solo se ↵ = ln 2 <sup>2</sup><sub>3</sub> V F (b) y = 3x `e asintoto obliquo per x! +1. V F

(c) f (] 1, 0]) = [0, 3[ V F