Lezione 5 Masse dei nuclei Modelli nucleari Momenti magnetici nucleari

Lezione 5

Masse dei nuclei Modelli nucleari

Momenti magnetici nucleari

Corso di Fisica nucleare e subnucleare Paolo Maestro

a.a. 2017/18

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Costituenti dell’atomo

R

_nucleo

≈ 10

^-15

m = 1 fm R

_atomo

≈ 10

^-10

m = 1 Å

Z protoni

m_p = 1.673 × 10^-27 kg = 938.27 MeV/c² +e = 1.6 × 10^-19 C R~1 fm

N neutroni

m_n = 1.675 ×10^-27 kg = 939.57 MeV/c² q = 0 R~1 fm

Z elettroni

m_e = 9.109 × 10^-31 kg = 0.511 MeV/c²

-e = -1.6 × 10^-19 C R<10^-18 cm

Z=numero atomico N=numero di neutroni

Numero di massa: A = Z + N

A X

Z

energia di ionizzazione media per elettrone singolo 1-25 eV

naturali: da idrogeno (Z=1) a uranio (Z=92)

artificiali: tecnezio (Z=43) e transuranici (Z>92)

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Abbondanza isotopica

Linea di stabilità

Linea di stabilità

Isotopi: elementi con uguale Z (stessa specie chimica diversa massa)

Isotoni: elementi con uguale N Isobari: elementi con uguale A

Stabilità dei nuclei:

Nuclei leggeri (Z ≤ 20) à N = Z Nuclei pesanti (Z > 20) à N≈1.5 Z Linea di simmetria N=Z

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Nel nucleo la forza di repulsione elettrica fra ogni coppia di protoni è

quindi deve esistere nei nuclei una ulteriore forza di attrazione, capace di “incollare”

tra loro i protoni vincendo la loro repulsione coulombiana.

La forza nucleare forte è

•  attrattiva a corto range (~ 1 fm); repulsiva a range ancora minori per evitare il collasso dei nucleoni l’uno nell’altro.

•  è uguale per p-p, p-n, n-n

Inoltre si osserva che quando un nucleo contiene troppi o pochi neutroni (cioè non si trova nella valle di stabilità) non è stabile.

Radioattività = trasformazione spontanea o indotta (à radioattività naturale o artificiale) dei nuclei con emissione di radiazione

La forza responsabile dei decadimenti è la forza nucleare debole

Forze nucleari

F_E = + 1 4πε0

q_pq_p

r² = 9 ⋅10⁹ (1.6 ⋅10⁻¹⁹)²

(10⁻¹⁵)² = 230 N

Le 4 forze fondamentali della natura

Interazione Intesità relativa

Range Mediatori Teoria Fenomeni

gravitazionale 10^-38 ∞ (~1/r²) gravitoni (?) Relatività generale

Corpi celesti

elettromagnetica 10^-2 ∞ (~1/r²) fotoni QED Atomi,

molecole nucleare debole 10^-7 10^-18 m bosoni W^±, Z⁰ elettrodebole Radioattività

nucleare forte 1 10^-15 m gluoni QCD Nucleo

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Energia di legame dei nuclei

Si osserva sperimentalmente che la massa di un nucleo M(A,Z) è minore della somma delle masse dei protoni (m_p) e neutroni (m_n) che lo compongono.

Ciò rappresenta una verifica dell’equivalenza massa-energia.

I nuclei sono formati da protoni e neutroni legati dalla forza nucleare forte. L’energia del legame è negativa; come nel caso dell’atomo occorre fornire energia per “strappare” un elettrone, così occorre fornire energia al nucleo per “togliere” un nucleone.

Per l’equivalenza di massa-energia, a questa energia potenziale negativa è associata un difetto di massa

Le forze attrattive tra nucleoni sono cosí forti che l’energia di legame

risulta essere una frazione significativa (≤1%) della massa totale.

Δm = Z m

_p

+ N m

_n

− M (A, Z )

B(A, Z ) = Δm c

²

Si può misurare l’energia di legame nucleare con grande precisione, misurando le masse degli atomi con gli spettrometri di massa

Per differenza si determina la massa del nucleo M(A,Z)

Poiché l’energia di legame degli elettroni atomici è B_e≈10 eV×Z <<m_e si può trascurare

M (A, Z )

_Atomo

= M (A, Z ) + Z m (

_e

) ^c

²

^{− B}

^e

M (A, Z ) = Z m (

_p

+ N m

_n

) ^c

²

^{− B(A, Z )}

B(A, Z ) = Z m (

_p

+ N m

_n

− M (A, Z ) ) ^c

²

B(A, Z ) = Z m (

_p

+ N m

_n

− (M (A, Z )

_Atomo

− Zm

_e

) ) ^c

²

M (A, Z ) = M (A, Z) (

_Atomo

− Z m

_e

) ^c

²

B(A, Z ) = Z m (

_H

+ N m

_n

− M (A, Z )

_Atomo

) ^c

²

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Deuterio ²H

Somma delle masse: M = m_p+m_e+m_n= (938.27+939.57+0.51) MeV/c² = 1878.35 MeV/c² Misura sperimentale: M_D = 1876.12 MeV/c²

Energia di legame: B_D = M-M_D =(1878.35-1876.12) MeV = 2.23 MeV/c² = 1.2×10^-3 M_D Energia di legame per nucleone: E_A = B_D/A = (2.23 MeV)/2 = 1.11 MeV/c²

Ossigeno ¹⁷O

Somma delle masse: M = 8 m_p+8 m_e+9 m_n = 15966.37 MeV/c² Misura sperimentale: M_O = 15843.93 MeV/c²

Energia di legame: B_O= M-M_O =122.44 MeV/c² = 7.7×10^-3 M_O

Energia di legame per nucleone: E_A = B_O/A = (122.44 MeV)/17 = 7.20 MeV/c²

Spettrometro di massa

qV 2 mv

1

₂

=

q V 2 m B 1 qB

R = mv =

Misura rapporto q/m di ioni Separazione isotopica degli elementi

Ø  Ioni entrano con velocità v in camera di separazione dove B uniforma ⊥ v ⇒

descrivono semicirconferenze di raggio:

Ø  Ioni con stessa q e diversa m (isotopi) percorrono circonferenze di R diversi

x Δ x Δ = 2

m m

Ø  Ioni emessi da sorgente S accelerati da d.d.p. continua V

Ø  Potere risolutivo in massa

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

( ) ( ) _{3 . 3863 10 kg 203.93 amu}

8000

6254 .

1 10

6 . 1 08 . 0 V

8 q

m B

²⁵

19 2 2 2

2

=

⋅

⋅ =

⋅

= ⋅

=

⁻

x

−

Esempio numerico

Sia V=1 kV, la carica dello ione +e, B=0.08 T. Calcolare la massa dello ione in unità di massa atomica (1 amu = 1.6605 10^-27 kg) supponendo di avere misurato x = 1.6254 m. Qual è la risoluzione in massa dello strumento?

Si ricava m dalla formula del raggio R che è uguale a x/2:

Dato che x è espresso con precisione di 4 cifre decimali, assumiamo Δx = 10^-4 m.

Quindi si ottiene:

Δm = 2 m Δx/x = 2 · 203.93 · 10^-4/1.6254 = 0.025 amu

In alcuni casi non è possibile utilizzare la spettroscopia di massa ad esempio nella misura delle masse dei nuclidi instabili. In questo caso si utilizzano le reazioni nucleari.

Ad esempio consideriamo la reazione

e supponiamo di volere determinare la massa di ¹²N.

Scriviamo la conservazione dell’energia

Se le masse degli altri 3 nuclei sono note e si misurano le energie cinetiche in gioco

si può determinare la massa del nucleo instabile per differenza

Q = T

¹²_N

+ T

³_H

− T

_p

− T

¹⁴_N

= m

_p

+ m

¹⁴_N

− m

¹²_N

− m

³_H

= −22.1355 MeV/c

²

Misura delle masse da reazioni nucleari

m

_p

+ T

_p

+ m

¹⁴_N

+ T

¹⁴_N

= m

¹²_N

+ T

¹²_N

+ m

³_H

+ T

³_H

p +

¹⁴

N →

¹²

N +

³

H

m

12N

= m

_p

+ m

¹⁴_N

− m

³_H

− Q

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Abbondanza relativa degli elementi nel sistema solare

Elementi fino al Fe prodotti da fusione nucleare nelle stelle

Nuclei > Fe prodotti in esplosioni di supernovae.

Energia di legame per nucleone

Nucleo B(MeV) B/A (MeV)

2H 2.23 1.11

4He 28.29 7.07

7Li 39.24 5.61

12C 92.1 7.68

27Al 224.9 8.33

40Ca 342.0 8.55

127I 1072.3 8.44

•  Energia di legame per nucleone E_A = B/A ≈ 8 MeV

•  La forza fra i nucleoni è saturata, cioè ogni nucleone interagisce solo con i nucleoni vicini. Se invece interagisse con tutti gli altri nucleoni (cioè se la forza nucleare fosse a lungo range), si avrebbe B~A(A-1)

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

B(A, Z ) = a

_V

A − a

_S

A

^2/3

− a

_C

Z

²

A

^1/3

− a

_A

( N − Z )

²

4A + δ A

^1/2

I primi 3 termini derivano da modello a goccia (liquid drop model), mentre gli ultimi due sono introdotti per riprodurre l’andamento sperimentale.

1)  Termine di volume: l’energia di una goccia è proporzionale al volume del nucleo Saturazione della forza nucleare.

Densità centrale costante (0.17 nucleoni/fm³ ~ 3×10¹⁷ kg/m³) Distanza media nucleone-nucleone ~ 1.8 fm

2)  Termine superficiale. I nucleoni sulla superficie del nucleo sono meno legati, perché circondati da meno nucleoni. L’energia di legame è diminuita di un contributo proporzionale alla superficie del nucleo.

3)  Termine coulombiano. Tra i protoni c’e’ repulsione elettrica proporzionale a Z(Z-1) che riduce l’energia di legame.

Formula semi-empirica di massa (Weizsacker,1935)

M (A, Z ) = Z m (

_p

+ N m

_n

) ^c

²

^{− B(A, Z )}

Il termine Coulombiano si può ricavare nel modo seguente. Assumiamo che il nucleo si una sfera di carica totale Q=Ze e raggio R. Se la carica è distribuita omogeneamente nel volume della sfera, la densità di carica è

Ad un generico istante, la sfera avrà raggio r e carica La sfera è caricata aggiungendo una carica infinitesima

sulla superficie della sfera formando un guscio sferico di spessore dr.

L’ aumento di energia della sfera è

ρ =

Ze

4 3 π

R³

q =

ρ ⁴ 3 π

r³

dq = ρ dV = ρ ⁴ π ^r

²

^dr dU = q

4πε

₀

r dq

L’energia elettrostatica della sfera si ottiene sommando tutti questi contributi, fino a che la sfera abbia carica totale Q e raggio R.

La carica dei nucleoni è discreta. Inoltre per Z=1 E=0 per cui nel caso discreto:

E = q

4 πε

₀

r

0 Ze

∫ ^{dq = 4 π}

2

ρ

²

3 πε

₀

^r

4 0 R

∫ ^{dr = 4 π}

2

ρ

²

R

⁵

15 πε

₀

⁼

3Ze 4 π R

³

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

4 π

²

R

⁵

15 πε

₀

⁼

3 Ze ( )

²

20 πε

₀

R

E = 3Z Z −1 ( ) ^e

²

20 πε

₀

R = 3Z Z −1 ( ) ^{α !c}

5R = 3Z Z −1 ( ) ^{α !c}

5R

₀

A

^1/3

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Un passaggio da N=Z a N>Z richiede un’energia

dove ΔE è la separazione tra i livelli energetici nucleari.

I nuclei con N=Z sono più fortemente legati

4) Termine di asimmetria: all’aumentare di A, aumenta il numero N di neutroni per compensare la repulsione coulombiana dei protoni.

N − Z

( )

²

^ΔE ₈ ^∝ ( ^{N − Z} )

²

8A

5) Termine di accoppiamento: studi sistematici sperimentali hanno mostrano che nuclei più stabili hanno numero pari di protoni e/o neutroni, cioè protoni/neutroni si dispongono a coppie nei livelli energetici (strong-pairing).

Per nuclei con:

•  A dispari δ=0

•  A pari (Z pari, N pari) δ<0

•  A pari (Z dispari, N dispari) δ>0

Z N Nuclei stabili

Pari Pari 159

Pari Dispari 53

Dispari Pari 50 Dispari Dispari 4

E

_coupling

= δ ^A

^−1/2

δ ≈ ±12 MeV

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

•  Set di parametri della formula sono ottenuti da fit a dati sperimentali.

•  Per A>20 la formula semi-empirica d i m a s s a r i p r o d u c e i d a t i sperimentali con precisione <1.5%

Nuclei speculari

Sono nuclei isobari (stesso A) con N e Z scambiati ad esempio.

Notiamo dalla formula semi-empirica di massa, che l’energia di legame di due nuclei speculari differisce solo per il termine coulombiano.

Se si potesse spegnere l’interazione e.m., l’energia di legame per i due nuclei sarebbe uguale. Quindi l’interazione forte non dipende dalla carica elettrica.

Consideriamo due nuclei speculari con A dispari e |N-Z|=1, cioè

Calcoliamo la differenza di energia di legame dei due nuclei che è uguale alla differenza di energia di interazione coulombiana

8

15

O

₇

¹⁵₇

N

₈

6

14

C

₈

¹⁴₈

O

₆

Z = A

∓1

2 N =

A ±1

2

B

_C

= − 3Z Z −1 ( ) ^α!c

5R

₀

A

^1/3

= −k Z Z −1 ( )

R = −0.86 Z Z −1 ( )

R(fm) MeV

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Per cui la differenza di energia coulombiana fra due nuclei speculari

ΔB

_C

= − k R

A −1 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ A −1 2 −1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ − A +1 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ A +1 2 −1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ = k

R ( A −1 ) ^{≈ k}

R A = k

R

₀

A

^2/3

•  Sperimentalmente si misura la dipendenza di ΔB_C da A^2/3.

•  R₀ ricavato da slope è in accordo con valore ottenuto dallo studio dei fattori di forma.

•  Interazioni forti sono indipendenti dalla carica elettrica

Modello a goccia (liquid drop model)

•  Il nucleo è assimilato ad una goccia di liquido incomprimibile, e i nucleoni alle molecole nella goccia.

•  Il nucleo come la goccia ha un “core” centrale di densità costante, in cui le forze fra nucleoni sono completamente saturate.

•  I nucleoni sulla superficie sono meno legati di quelli interni e creano una

“tensione superficiale” (cioè un’attrazione verso l’interno) che riduce l’energia di legame. Questa correzione è maggiore per i nuclei leggeri in cui il rapporto superficie/volume del nucleo è grande.

•  La repulsione coulombiana fra i protoni riduce l’energia di legame e ciò si manifesta maggiormente per i nuclei con alto Z

•  Il modello a goccia rende conto in maniera fenomenologia dei primi tre termini dell’energia di legame dati dalla formula semi-empirica di massa.

•  Non riesce a spiegare la maggiore stabilità dei nuclei con Z e N pari, la rarità dei nuclei stabili dispari-dispari.

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro 24

Modello nucleare a gas di Fermi

•  Protoni e neutroni sono due sistemi a particelle indipendenti.

•  I nucleoni si possono muovere liberamente nel volume del nucleo.

•  Il potenziale di ogni singolo nucleone è una sovrapposizione dei potenziali degli altri nucleoni. Si assume che il potenziale risultante sia rappresentabile come una buca a simmetria sferica che si estende in una regione di spazio fino al raggio R.

•  Essendo fermioni, i nucleoni sono descritti dalla statistica di Fermi-Dirac

•  La probabilità di occupazione di uno stato di energia E è data da

Per un gas degenere

Quindi kT<<E_F tutti i livelli energetici nella buca sono riempiti fino all’energia massima E_F. In ogni livello si hanno due p (o n) con spin up e down.

Gas degenere di nucleoni

f (E) =

1

e

E−E_F

( )

kT

+1

kT → 0 E < E_F

f (E) →1

E > E_F

f (E) → 0

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

La densità di stati con impulso fra p e p+dp nel volume V è

dove il 2 a moltiplicare deriva dai due stati di spin possibili per ciascun livello e f(E)=1 per E<E_F.

dn = 2

4 π

V p²dp

2 π !

( )

^{3 f (E)}

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Il numero di n e p si ottiene integrando dn fino all’impulso massimo p_F (impulso di Fermi) in ciascuna buca

Sostituendo si ottiene

N = A − Z = dn

∫

^{= 2 4πV p}

2dp 2π!

( )

³

0 p_Fⁿ

∫

^{= 2V pF}

( )

n ³

6π²!³ Z = dn

∫

^{= 2 4πV p}

2dp 2π!

( )

³

0 p_F^p

∫

^{= 2V pF}

( )

p ³

6π²!³ V = 4

3π R³ = 4

3π R₀³A R₀ = 1.2 fm

N = A − Z = 2V p

( )

_F^{n 3}

6π²!³ ⇒ p_Fⁿ = 9π 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1/3 ! R₀

N A

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1/3

Z = 2V p

( )

_F^{p 3}

6π²!³ ⇒ p_F^p = 9π 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1/3 ! R₀

Z A

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1/3

Se N = Z = A

2 ⇒ p_Fⁿ = p_F^p = p_F A

2 = 2V p_F³

6π²!³ ⇒ p_F = 9

π

8

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1/3 !

R₀ ≈ 250 MeV/c ⇒ E_F ≈ 33 MeV

•  La differenza B’ fra la sommità della buca e il livello di Fermi corrisponde all’energia di legame.

La profondità della buca è

ed è quindi in buona approssimazione indipendente da A.

E_F è circa uguale per p e n altrimenti anche per i nuclei stabili sarebbe energeticamente vantaggioso trasformare n in p. Ne consegue che la buca di potenziale dei n è più profonda di quella dei p, che sono meno legati a causa della repulsione elettrostatica.

•  L’impulso dei nucleoni è elevato, quindi all’interno del nucleo, i nucleoni si muovono quasi liberi e non occupano posizioni fisse.

•  I nuclei sono debolmente legati nel nucleo, cioè le distanze medie fra nucleoni (~1.8 fm) sono maggiori del loro raggio (~0.8 fm).

•  L’impulso di Fermi e il raggio dei nucleoni sono misurati sperimentalmente con diffusione elettrone-nucleone (Lez. 4 pag. 37)

Uⁿ

= E

_Fⁿ

+

B

A

≈ 33+ 8 = 41 MeV

U^p

= E

_F^p

+

B

A

− α !c

R

(Z −1)

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

< E

_K

>=

p²

2m

dn

∫

∫

dn

⁼

p²

2m

8πV p

²dp

2π !

( )

³

0 p_F

∫

8πV p

²dp

2π !

( )

³

0 p_F

∫

= 3p

_F²

10 m

< E

_K

>

_Tot

= N 3 10 m

9π 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2/3

!

² R₀²

N A

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2/3

+ Z 3 10 m

9π 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2/3

!

² R₀²

Z A

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2/3

< E

_K

>

_Tot

= 3 10m

9π 4

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2/3

!

R₀

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2 N^5/3

+ Z

^5/3 A^2/3

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

Calcoliamo l’energia cinetica dei nucleoni

I nuclei leggeri hanno 2Z~A mentre i nuclei pesanti hanno eccesso di neutroni, che si può esprimere come 2Z = A (1-x), da cui si ricava x = (A-2Z)/A. Sostituendo questa espressione nell’ultima formula sopra

Se l’eccesso di neutroni x è piccolo, si può sviluppare il termine fra parentesi quadre in serie (x→0)

< E

_K

>

_Tot

= 3 20m

9π 8

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2/3

!

R₀

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

A 1− x

^⎡ _⎣ ( )

^5/3

^{+ 1+ x} ( )

^5/3

^⎤ _⎦

( 1− x )

^5/3

^{+ 1+ x} ( )

^5/3

^{= 1− 5}

3

x +

5

9

x²

+1+ 5

3

x +

5

9

x²

+... ≈ 2 + 10 9

x²

energia cinetica media di un nucleone

energia cinetica totale media dei nucleoni

L’energia cinetica media in funzione dell’eccesso di neutroni è

che risulta minima per N=Z. Invece per N≠Z l’energia cinetica media aumenta e quindi diminuisce l’energia di legame B’.

In questa formula il primo termine è l’energia di volume, il secondo l’energia di asimmetria.

Il modello di gas degenere di Fermi permette quindi di:

•  determinare l’energia cinetica media di protoni e neutroni all’interno del nucleo

•  dedurre il contributo di asimmetria della formula di Weizsacker

< E

_K

>

_Tot

= 3 10m

9π 8

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2/3

!

R₀

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

A +

5 9

N − Z

( )

²

A

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Richiamo sul modello a shell atomico

Le soluzioni dell’equazione di Schrodinger per gli elettroni nel potenziale coulombiano della carica del nucleo, danno livelli energetici discreti descritti dai numeri quantici n, l, m_l, s, m_s

Atomo H: livelli energetici degeneri in l, m_l , m_s (degenerazione 2n²)

Atomi con più elettroni: potenziale elettrone-elettrone rimuove la degenerazione in l Interazione spin-orbita: rimuove degenerazione m_l, m_s (struttura fine)

n l m_l s m_s degenerazione stato shell

1 0 0 1/2 ±1/2 2 1s I

2 0 0 1/2 ±1/2 2 2s II

2 1 0, ±1 1/2 ±1/2 6 2p

3 0 0 1/2 ±1/2 2 3s III

3 1 0, ±1 1/2 ±1/2 6 3p

3 2 0, ±1, ±2 1/2 ±1/2 10 3d

Gli atomi degli elementi nobili hanno shell o sub-shell complete.

He (Z=2), Ne (Z=10), Ar (Z=18), Kr (Z=36), Xe (Z=54) è numeri atomici magici: 2,10,18,36,54

Tali elementi:

•  sono chimicamente inerti (non hanno elettroni di valenza)

•  sono molto stabili (elevata energia di ionizzazione)

•  hanno momento angolare totale J=L+S=0

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Esistono numeri magici anche per i nuclei èEvidenza di struttura a shell

Nuclei con Z o N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 sono particolarmente stabili (cioè hanno maggiore energia di legame).

Nuclei con Z magico hanno maggior numero di isotopi stabili

Nuclei con N magico hanno maggior numero di isotoni (stesso N e differente Z) stabili

Numeri magici nucleari

I nuclei doppiamente magici (Z e N magici)

•  sono eccezionalmente stabili (grande energia di legame)

•  hanno J_Nucl=0 nello stato fondamentale

•  piccola sezione d’urto di cattura neutronica

2

4

He

¹⁶₂₈

O

₈

₂₀⁴⁰

Ca

₂₀

₂₀⁴⁸

Ca

₂₈

₈₂²⁰⁸

Pb

₁₂₆

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Modello a shell nucleare

E’ stato sviluppato in analogia a modello a shell atomico.

Nell’impostare l’equazione di equazione di Schrodinger per i nucleoni nel nucleo si incontrano due difficoltà:

•  la forma esatta del potenziale nucleare è ignota

•  tutti i nucleoni sono sorgente del potenziale nucleare

Si assume che ogni nucleone si muova in un potenziale medio centrale dovuto alle interazioni con gli altri nucleoni. I potenziali più usati sono:

•  Buca quadrata

•  Oscillatore armonico tridimensionale

•  Potenziale di Woods-Saxon

Come nel caso atomico, se il potenziale è a simmetria sferica, gli autostati dell’

energia sono anche autostati dell’operatore momento angolare (L², L_z) e le funzioni d’onda dei nucleoni si possono scrivere come prodotto di un parte radiale e di una angolare (armoniche sferiche)

La parità della funzione è (-1)^l. I livelli nl sono 2(2l+1) volte denegeri.

ψ ⁽ r ) = R ^!

_nl

(r) Y

_l^m

( θ ^, φ )

Le armoniche sferiche sono autofunzioni degli operatori L² e L_z

Le prime armoniche sferiche:

Trasformazione di parità

in coordinate cartesiane x→-x y→-y z→-z in coordinate polari r→r θ→π-θ φ→φ+π

Le armoniche sferiche sono anche autofunzioni dell’operatore parità

P(Y

_lm

( θ ^, φ )) = Y

_lm

( π − θ ^, φ + π ) = −1 ( )

^l

^Y

^lm

^{( θ , φ )}

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Oscillatore armonico 3D a simmetria sferica U(r)=1/2 mω²r²

Livelli di energia equispaziati con valori

Autofunzioni sono polinomi di Legendre moltiplicati per gaussiane.

Oltre a denerazione su l, c’e’ ulteriore degenerazione dovuta alle combinazioni di l e n che danno lo stesso N.

Degenerazione su N è il numero di protoni e neutroni in ogni shell

= (N+1)*(N+2) Se N pari, l pari

Se N dispari, l dispari

Il potenziale armonico riproduce solo i primi tre numeri magici 2,8,20

E = N +

3 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ! ω N = 0,1, 2,...

N = 2 n −1

( ) ^{+ l}

N n

Il potenziale di Woods-Saxon è più realistico perché ha forma analoga alla distribuzione di carica nucleare

II livelli energetici che si calcolano con questo potenziale hanno rimossa la degenerazione in N (cioè i livelli con n e l differenti hanno energia diversa), ma comunque non cambia la sequenza dei numeri di occupazione e riproduce solo i primi 3 numeri magici

V

_WS

(r) = − V

₀

e

r−R

a

+1

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Interazione spin-orbita dei nucleoni

Gli autovalori sono dati da

dove E_nl sono gli autovalori del potenziale radiale (Woods-Saxon, oscillatore armonico) a cui si va a sommare il potenziale di spin-orbita.

Scrivendo

si ricavano gli autovalori

V

Spin−orbita

= V

_ls

(r) ! l ⋅ !

s

E

_nJ

= E

_nl

+ ψ

_nl

^{(r) V}

_ls

^(r) ψ

_nl

(r) n, J, l, s ! l ⋅ !

s n, J, l, s = E

_nl

+ V

_ls

(r) ! l ⋅ !

s

l ⋅ ! ! s =

J !

²

− !

l

²

− ! s

²

2

l ⋅ ! ! s =

J !

²

− !

l

²

− ! s

²

2 = J(J +1) − l(l +1) − s(s +1)

2 =

l

2 per J = l + 1 2

− ( l +1 )

2 per J = l − 1 2

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩

⎪ ⎪

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro 39

Quindi l’interazione spin-orbita rimuove la denerazione su l dei livelli nl.

A parità di n, la separazione fra i livelli cresce linearmente con l

Sperimentalmente si osserva che V_ls(r)

<0, al contrario di interazione spin-orbita atomica è Lo stato con l+1/2 è più legato di quello con l-1/2.

Lo splitting aumenta con l generando level-crossing.

Spin-orbita nucleare >> spin-orbita atomico (proporzionale a α²)

Il modello a shell spiega:

•  tutti i numeri magici

•  i livelli fondamentali e primi eccitati

•  i momenti magnetici

ΔE

_ls

= V

_ls

(r) l + 1 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Degenerazione 2j+1

Previsioni del modello a shell

•  In una shell piena J=0

•  Due protoni o due neutroni nello stesso stato tendono ad avere J=0

•  J=0 per nuclei con Z pari-N pari

•  Per nuclei con A dispari, J è uguale al momento angolare totale del nucleone non accoppiato

•  La parità del nucleo è uguale al prodotto delle parità dei singoli nucleoni (positiva per convenzione) per la parità orbitale

•  La parità di nuclei con A pari è +1

•  La parità dei nuclei con A dispari è uguale alla parità del nucleone spaiato

•  I nuclei dispari-dispari hanno un protone e un neutrone spaiati. Il momento angolare totale è J = J_p + J_n e ha autovalore |j_p-j_n| < j <j_p+j_n e il modello non fa previsioni definite

•  Se protone e neutrone sono nello stesso stato l, la parità del nucleo è +1

•  Se protone e neutrone hanno l_p = l_n ±1, la parità del nucleo è -1

P = ( ) −1

^lk

k=1 A

∏

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Nuclei speculari

Stato fondamentale

p (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)¹ n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)²

1° stato eccitato

p (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)⁰ (1D_5/2)¹ n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)²

2° stato eccitato

p (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)⁰ (1D_5/2)⁰ (2S_1/2)¹ n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)²

3° stato eccitato

p (1S_1/2)² (1P_3/2)³ (1P_1/2)² n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)²

4° stato eccitato

p (1S_1/2)² (1P_3/2)² (1P_1/2)² (1D_5/2)¹ n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)²

5° stato eccitato

p (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)⁰ (1D_5/2)⁰ (2S_1/2)⁰ (1D_3/2)¹ n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)²

J₀^P

= 1 2

−

7 15

N

J₁^P

= 5 2

+

J₂^P

= 1 2

+

Livelli energetici

J₃^P

= 3 2

−

1P

_3/2⁻¹

J₄^P

= 5 2

+

J^P

= 3 2

+

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Stato fondamentale

p (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)²

n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)² (1D_5/2)¹

1° stato eccitato

p (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)²

n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)² (1D_5/2)⁰ (2S_1/2)¹

2° stato eccitato

p (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)²

n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)¹ (1D_5/2)²

J₀^P

= 5 2

+ 8

17

O

J₁^P

= 1 2

+

J₂^P

= 1 2

−

Livelli energetici di

Stato fondamentale

p (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)² n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)²

Stati eccitati

Hanno energia elevata (vedi pag. 42). Le configurazioni non sono facili da spiegare, perché quando N(Z) è pari, negli stati eccitati si devono considerare le combinazioni di spin di due o più nucleoni spaiati.

Ad esempio si può pensare allo stato eccitato con configurazione di neutroni n (1S_1/2)² (1P_3/2)³ (1P_1/2)² (1D_5/2)¹

in cui i valori di spin J sono dati dal nucleone spaiato in P_3/2 e da quello in D_5/2 J=1,2,3,4 parità = (-1)¹ x (-1)² =-1 è S=1 à J^P=1^-, 2^-, 3^-

Nel modello a shell a particelle completamente indipendenti i nucleoni in ogni livello sono accoppiati; ogni coppia ha spin +J_z e –J_z. Se un numero di nucleoni pari occupa il livello, lo spin totale è 0.

Si può pensare che vi siano stati eccitati in cui una coppia del livello è rotta e i due nucleoni restano nello stesso livello, ma hanno valori di |J_z| differenti. In tal caso si può avere spin diverso da zero anche con un numero pari di nucleoni.

J₀^P

= 0

⁺

8 16

O

Livelli energetici di

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Ad esempio altri possibili stati eccitati di ¹⁶O possono avere configurazioni n (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)⁰ (1D_5/2)²

dove i due neutroni in D_5/2 sono spaiati. In tal caso

J=0,1,2,3,4,5 parità = +1 = (-1)² x (-1)² à S=0 à L=0,1,2,3,4,5

Solo L pari danno funzione simmetrica per scambio (l’antisimmetria per scambio di due fermioni identici è assicurata dal singoletto di spin S=0) à J^P=0⁺, 2⁺, 4⁺

Momento magnetico dell’elettrone

µ

_orb,z

= − e

2m

_e

L

_z

= − e

2m

_e

!m

_l

= − µ

_B

^m

_l

m

_l

= 0, ±1, ±2,..., ±l

µ

_orb

= iA = e

T A = − ev

2 π r π ^r

²

= − evr

2 = − eL

_orb

2m

_e

i

-e

µ

_s,z

= − e

m

_e

S

_z

= ± e

m

_e

!m

_s

= ±2 µ

_B

^m

_s

m

_s

= ± 1

2

Momento magnetico orbitale

Momento di spin

Numero quantico di spin

Numero quantico magnetico

µ

_B

= e !

2m

_e

= 5.79 ×10

⁻¹¹

MeV T

^-1

Classicamente, la corrente elettrica associata al moto orbitale dell’elettrone genera un momento magnetico

µ ! = e 2m

_e

L + g ! !

( S )

µ = µ

_B

( ^m

_l

+ g m

_s

)

Magnetone di Bohr

Per particelle di Dirac cariche, spin ½, puntiformi (e, µ) è

g=2

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Momento magnetico anomalo

I nucleoni (protoni e neutroni) non sono particelle di Dirac, ma hanno struttura interna (quark) che determina valori di g per il momento magnetico intrinseco (spin)

Si trova sperimentalmente da misure dei fattori di forma dei nucleoni (Lez. 4 pag. 32)

µ

_N

=

e!

2m

_p

= 3.1525 ×10

⁻¹⁴

MeV T

^-1

µ !

_p

= g

_p

e 2m

_p

S ! !

µ

_n

= g

_n

e 2m

_n

S !

µ

_p

= g

_p

2

e !

2m

_p

= g

_p

2 µ

_N

= +2.79 µ

_N

g

_p

= +5.58 µ

_n

= g

_n

2

e!

2m

_n

= g

_n

2 µ

_N

= −1.91µ

_N

g

_n

= −3.83

Magnetone nucleare

Il momento magnetico dei nuclei si ottiene sommando i momenti magnetici intrinseci e orbitali dei singoli nucleoni

I nucleoni in shell complete si sommano con spin totale nullo e quindi momento magnetico nullo. Per nuclei con un solo nucleone spaiato, il momento magnetico del nucleo è uguale al momento di tale nucleone

Definiamo un fattore g nucleare in modo che valga

dove J è lo spin totale del nucleo che coincide con quello del nucleone di valenza.

µ !

_Nucleo

= µ

_N

¹

! g

_l

"

l

_i

+ g

_s

"

s

_i

( )

i=1 A

∑ g

_l

= 0 n 1 p

⎧ ⎨

⎩ g

_s

= −3.83 n +5.58 p

⎧ ⎨

⎩

µ

_Nucleo

= µ

_N

¹

! ψ

_Nucleo

^g

_l

l + g ^!

_s

!

( s ) ^ψ

^Nucleo

µ !

_Nucleo

= µ

_N

1

! g

_Nucleo

!

J

Momenti magnetici nucleari

Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 Paolo Maestro

Consideriamo la proiezione su J del momento magnetico nucleare

Utilizziamo ora le relazioni

che sostituite nella precedente danno

Si calcolino ora I valori medi degli operatori

g

_Nucleo

= 1 2

JM

_J

l s g

_l

!

l

²

+ !

J

²

− ! s

²

( ) ^{+ g}

^s

( ^{s !}

²

^{+ J !}

²

^{− l !}

²

) ^JM

^J

^{l s}

JM

_J

l s !

J

²

JM

_J

l s

g

_Nucleo

! J ⋅ !

J = g

_l

! l ⋅ !

J + g

_s

! s ⋅ !

J ⇒ g

_Nucleo

= JM

_J

l s g

_l

! l ⋅ !

J + g

_s

! s ⋅ !

J JM

_J

l s JM

_J

l s !

J

²

JM

_J

l s

s !

²

= ! J − !

( l )

²

^{= l !}

²

^{+ J !}

²

^{− 2 l ⋅ ! J ⇒ 2 ! l ⋅ ! J = ! l !}

²

^{+ J !}

²

^{− s !}

²

l !

²

= ! J − !

( s )

²

^{= s !}

²

^{+ J !}

²

^{− 2 s ⋅ ! J ⇒ 2 ! s ⋅ ! J = ! s !}

²

^{+ J !}

²

^{− l !}

²

g

_Nucleo

= 1 2

g

_l

⎡⎣ j j +1 ( ) ^{+ l l +1} ( ) ^{− s s +1} ( ) ⎤⎦+ g

^s

⎡⎣ j j +1 ( ) ^{− l l +1} ( ) ^{+ s s +1} ( ) ⎤⎦

j j +1 ( )

Dato che

I momenti magnetici nucleari si misurano sperimentalmente con la risonanza magnetica o studiando la struttura iperfine degli atomi (interazione spin elettrone-momento magnetico nucleare).

Il momento magnetico nucleare è definito come il valore misurato quando c’e’

allineamento massimo dello spin con il campo magnetico esterno, cioè M_J = j, per cui

j = l ± 1

2 g

_Nucleo

= g

_l

± g

_s

− g

_l

2l +1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

µ

_Nucleo

= µ

_N

! g

_Nucleo

j = µ

_N

! g

_l

± g

_s

− g

_l

2l +1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ l ± 1 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Osservazioni:

•  I momenti magnetici nucleari hanno valori molto più piccoli dei momenti magnetici atomici (µ_B ~ 2000 µ_N).

•  Il fatto che i momenti magnetici nucleari nucleari siano di quest’ordine è prova che non ci sono elettroni nel nucleo.

•  I momenti magnetici nucleari hanno valori tipici molto piccoli, compresi fra -3 µ_N e 10 µ_N per tutti i nuclei à strong pairing fra nucleoni.